Дискретный канал дискретного времени

На схеме преобразований в системе передачи данных ДК – это участок системы, который включает устройства преобразования сигналов в передающей и приемной части и непрерывный канал связи. На входе и выходе этого участка действуют взаимосвязанные дискретные случайные последовательности. В нашем курсе мы будем рассматривать двоичные (битовые) последовательности.

Понятие «дискретный канал» и его свойства используют для выбора помехоустойчивого кода и защиты информации от ошибок на канальном уровне.

Для описания свойств дискретного канала необходимо задать:

1. Модель ошибок в дискретном канале, то есть формулы, которые позволяют рассчитывать вероятность возникновения ошибок разного веса на выходе дискретного канала.

2. Скорость передачи информации по дискретному каналу (бит/с) и время задержки, вносимое каналом.

Модели ошибок в дискретном канале

Обозначим входной алфавит ДК через А:

A={a₁, a₂,…,a_k}.

В общем случае выходной алфавит дискретного канала обозначим через В, он не обязательно равен входному. Пусть выходной алфавит содержит символы:

B={b₁, b₂,…..,b_j).

Для описания свойств дискретного канала необходимо задать совокупность вероятностей приема последовательностей при условии передачи последовательности. При большой длине последовательности символов на входе канала и соответственно на выходе число переходных вероятностей будет стремиться к бесконечности. В связи с этим при построении математических моделей дискретных каналов вводятся ограничения, то есть рассматриваются последовательности ограниченной длиныn, так чтобы число переходных вероятностей было ограничено и могло быть задано.

Пример .

Пусть входной и выходной алфавит дискретного канала содержат все двоичные последовательности длины n=2 символа. Рассчитаем число переходных вероятностей для этого дискретного канала.

Канал без памяти (канал с независимыми ошибками)

Если в любой момент времени вероятность появления символа на выходе дискретного канала зависит только от символа на входе канала для всех пар символов на входе и выходе, то такой дискретный канал называется каналом без памяти.

Для канала без памяти условная вероятность получения на выходе последовательности

при том, что на входе задана последовательность

определяется равенством

n – длина последовательности.

Примером дискретного канала без памяти является двоичный симметричный канал ДСК, который имеет двоичный алфавит на входе и выходе. Другое название – канал с независимыми ошибками.

Модель независимых ошибок, описываемая биномиальным распределением, является наиболее простой. Биномиальное распределение хорошо описывает ошибки в дискретном канале, причиной которых служит флуктуационный шум.

Каждый символ последовательности, поступивший на вход ДСК, с вероятностью (1-) воспроизводится на выходе канала правильно

Р(0/0)=Р(1/1)=1- 

и с вероятностью  искажается шумом на противоположный символ

Р(1/0)=Р(0/1)= 

вероятность правильного приема двоичного символа

вероятность ошибки в двоичном символе.

Канал называется симметричным, когда вероятность ошибки и правильного приема не зависят от символа на входе (1 или 0).

Пример.

В ДСК с  =0,1 входной алфавит содержит все двоичные последовательности длины n=3. Выходной алфавит равен входному. Требуется выбрать из пяти нижеприведенных записей правильные.

Р(101/101)=Р(101/010)

Р(100/001)=10^-3

Р(000/000)=Р(111/111)=Р(010/010)

Р(111/000)=10^-3

Р(101/010)=Р(000/111)

Двоичный симметричный канал представляют как сумматор по модулю 2, к которому подключены источник сообщений и источник ошибок. Оба источника выдают двоичные последовательности длиной n. Будем обозначать символы в последовательности ошибок e_i. Каждый элемент последовательности {e} складывается с соответствующим элементом последовательности, поступающей от источника сообщений {a}, в двоичном канале по модулю 2.

ИДС

ДСК

 Mod2

a_i

e_i

b_i=a_i e_i

Источник ошибок

Там, где в последовательности ошибок {e} стоит 1, передаваемый символ изменится на обратный. То есть в принятой последовательности {b} будет ошибка.

Переходные вероятности для двоичного симметричного канала теперь можно записать как P(b_i/a_i)=P(e_i). Таким образом, канал полностью описывается статистикой последовательности ошибок.

Мы рассматриваем передачу последовательностей длиной n символов. Последовательность ошибок длины n называют вектором ошибок. Вектор ошибок имеет единицы только на позициях, соответствующих неправильно принятым символам. Число единиц в векторе ошибок t называют его весом.

Пример.

При передаче в ДСК последовательности , получена последовательность.

Каков вектор ошибки и его весt ?

Ответ:

На практике часто требуется знать вероятность отсутствия ошибок при приеме последовательности длины n , а также вероятность появления одной, двух и т.д. ошибок.

Обозначим:

P_n(t) – вероятность того, что среди n принятых символов имеется t ошибок в любом сочетании

P_n*(t) – вероятность некоторого заданного сочетания ошибок веса t. Для двоичного симметричного канала

P_n(t) определяется как сумма P_n*(t) для всех возможных последовательностей ошибок веса t.

Вероятность отсутствия ошибок Р_n(t=0)=(1-  )ⁿ

Пример.

Из трех формул, которые предложены ниже, выберите те, по которым можно рассчитать вероятность появления хотя бы одной ошибки , то есть ошибки любого весав двоичной последовательности длиныn в ДСК.

В первой формуле вероятность любой ошибки определяется как разность между 1 (суммарной вероятностью ошибочного и безошибочного приема) и вероятностью отсутствия ошибок в последовательности длины n. По второй формуле вероятность ошибки находится как сумма вероятностей возникновения всех возможных векторов ошибок.

Дискретные каналы с памятью

Канал, в котором каждый символ на выходе статистически зависит, как от соответствующего символа на входе, так и от предыдущих входных и выходных символов, называется каналом с памятью. Большинство реальных дискретных каналов, включающих медные кабели, является каналами с памятью.

Причины памяти реальных дискретных каналов.

Память дискретного канала возникает по ряду причин. Например, из-за ограничения полосы частот передаваемых дискретных сигналов в НКС возникают переходные процессы. Длительность переходного процесса зависит от ширины полосы пропускания НКС и степени неравномерности его амплитудно-частотной характеристики АЧХ и нелинейности фазо-частотной характеристики ФЧХ.

представляет собой фильтр нижних частот и передача ведется немодулированными сигналами.

Если длительность переходного процесса превышает длительность единичного элемента сигнала _ , на выходе канала происходит наложение переходных процессов, вызванных разными фронтами сигнала на входе. Это явление называется межсимвольной интерференцией или межсимвольной помехой. В этом случае каждый символ на выходе дискретного канала зависит от нескольких последовательных символов на входе.

Другая причина возникновения памяти – занижение уровня сигнала в канале. Если длительность занижения уровня значительно превышает длительность _ , то на этом отрезке уменьшается мощность сигнала, и возрастает вероятность ошибки. Следовательно, ошибки будут группироваться в пакеты под влиянием занижения уровня, то есть не будут статистически независимыми.

КОДИРОВАНИЕ С ЦЕЛЬЮ ПОВЫШЕНИЯ ВЕРНОСТИ ПЕРЕДАЧИ

Перейдем к рассмотрению кодов, которые используются в системах передачи данных для борьбы с помехами. Такие коды называются помехоустойчивыми или корректирующими.

Рассмотрим общие принципы помехоустойчивого кодирования, на которых базируются все алгоритмы такого кодирования.

Пусть для передачи сообщений используется равномерный двоичный код с длиной кодового слова (кодовых комбинаций) k бит. Тогда общее число кодовых слов равно N₀=2^k.

Предположим, что для передачи сообщений используются все возможные кодовые слова N=N₀. Здесь N – число кодовых слов, используемых для передачи сообщений. Такой код называется простым или примитивным.

Если при приеме произошла ошибка в одном или нескольких символах, приемник заменит переданное кодовое слово другим. И в пункте приема нет оснований сомневаться в правильности решения, так как передатчик имеет право использовать любое слово кода. Таким образом, при использовании простого кода невозможно обнаружить ошибку по принимаемым кодовым словам.

Увеличим длину кодовых слов до значения n. Тогда общее число кодовых слов N₀=2ⁿ будет больше числа слов, используемых для передачи сообщений N=2^k.

N₀>N

Выбранные для передачи кодовые слова называются разрешенными. Остальные кодовые слова, которые не используются и в точке приема появляться не должны, называются запрещенными.

В этом случае ошибки могут привести к появлению в приемнике либо разрешенного кодового слова (ошибка не обнаружена), либо запрещенного кодового слова (обнаружено наличие ошибок).

Рассмотрим несколько примеров.

1. Для передачи сообщений используется простой код.

Кодовые слова отличаются друг от друга в одном либо двух символах. Число символов, в которых одно слово отличается от другого, называется расстоянием Хэмминга (d). А	00
В	01
C	10
D	11

Наименьшее расстояние Хэмминга для данного кода называется кодовым расстоянием d_min.

Для данного кода расстояние Хэмминга d=1 или 2, а d_min=1.

Любая одиночная или двойная ошибка приводит к замене одного разрешенного кодового слова другим, и факт ошибки в приемнике обнаружить невозможно.

2. Для передачи того же набора сообщений используется код с длиной кодового слова n=3:

В данном случае N0=8, N=4. Для данного кода кодовое расстояние d=dmin=2. Любая одиночная ошибка переводит разрешенное кодовое слово в запрещенное, что позволяет обнаружить наличие ошибок. A	000
B	011
C	101
D	110

Действие ошибок большего веса (большей кратности) на данный код выражается в следующем:

• Код не обнаруживает двойные ошибки, любая двойная ошибка переводит одно разрешенное кодовое слово в другое разрешенное слово.

• Код обнаруживает тройную ошибку e=(111), так как она всегда приводит к появлению запрещенного слова.

Итак, для обнаружения ошибок в код должна быть внесена избыточность, то есть длина кодового слова должна быть больше минимально необходимой.

В общем случае, способность кода обнаруживать ошибки определяется следующим образом:

• Если кодовые слова отличаются друг от друга не менее чем на символов, то все ошибки весабудут обнаружены.

• Ошибки веса равного или больше d_min обнаруживаются частично, то есть одни ошибки обнаруживаются, а другие – нет.

Рассмотрим код, который позволяет не только обнаружить, но и исправить ошибки.

3. Построим код, который может исправить одиночную ошибку t=1. Чтобы код мог исправлять одиночные ошибки, то есть определять, какое кодовое слово было передано в действительности, разрешенные слова должны различаться, по крайней мере, в трех символах .

A	00000
B	01101
C	10110
D	11011

В этом случае любая одиночная ошибка переведет переданное кодовое слово в одну из запрещенных комбинаций и, следовательно, будет обнаружена. Полученная запрещенная комбинация будет отличаться от переданного кодового слова только одним символом, а от остальных разрешенных слов не менее чем в двух символах. Другими словами, принятая комбинация ближе к переданному слову и менее похожа на остальные разрешенные слова. Это позволяет нам выбрать среди разрешенных слов действительно переданное, а значит исправить ошибку.

Пусть передавалось кодовое слово 00000. Было принята комбинация 01000. Она является запрещенной. Обнаружено наличие ошибок. Чтобы определить, какое из слов было передано, приемник сравнивает принятую комбинацию со всеми разрешенными. Из четырех разрешенных слов ближе всего к принятой комбинации 00000. Ошибка исправлена.

В общем случае, способность кода исправлять ошибки определяется следующим образом:

• Если код имеет кодовое расстояние , ииспользуется декодирование с исправлением ошибок по ближайшему разрешенному слову, то все ошибки веса t<d_min/2 исправляются.

• Ошибки большего веса могут исправляться частично.

Формулы, выражающие связь между кодовым расстоянием и весом ошибок, которые гарантированно обнаруживаются или исправляются, обычно записываются в виде

Для кода, исправляющего одиночные ошибки, справедливо соотношение

, где

r – число добавочных проверочных символов кода.

N₀=2ⁿ, n=k+r, N=2^k , где

k – число информационных символов кода.

Параметр называютскоростью кода.

Параметр называютизбыточностью кода.

Применение помехоустойчивого кодирования позволяет уменьшить вероятность ошибок при приеме сообщений, но выигрыш в помехоустойчивости не приобретается даром. Чтобы воспользоваться корректирующим кодом, необходимо увеличить длину кодовых слов. При неизменной длине единичных элементов сигнала для передачи сообщения теперь потребуется большее время. Если же число сообщений, передаваемых в единицу времени, должно остаться неизменным, то придется сокращать длительность единичных элементов сигнала _ , то есть увеличивать скорость передачи сигналов. Это вызывает расширение полосы частот передаваемого сигнала. Чем меньше длительность _ , тем больше эффективная полоса частот сигнала. Следовательно, потребуется увеличить полосу частот, отводимую данному каналу системы передачи.