11.3. Неравномерное движение грунтовых вод

Формула Дюпюи

Рассмотрим неравномерное безнапорное плавно изменяющееся движение грунтового потока воды в фильтрационном пласте грунта (рис. 11.3). Кривизна линий тока, изображенных на рисунке, весьма мала.

Рис. 11.3. Схема плавно изменяющегося движения фильтрационного потока

Так как кривизна линий тока невелика, то живые сечения можно считать плоскими. Расстояние между сечениями 1-1 и 2-2 для линий тока будет одинаковым и равным dl. Потери напора на участке dl относительно плоскости сравнения 0-0 равны dH. Для любой линии тока при переходе от сечения 1-1 к сечению 2-2 значение dH будет одинаково. Следовательно, при плавно изменяющемся неравномерном движении фильтрационного потока величина гидравлического (пьезометрического) уклона относительно всех точек рассматриваемых сечений, через которые проходят линии тока, является постоянной. Гидравлический уклон будет соответствовать уклону свободной поверхности воды в выбранной области фильтрации . Если гидравлический (пьезометрический) уклон постоянен, то и скорости u в различных точках выбранного живого сечения фильтрационного потока будут одинаковы. Таким образом, средняя скорость в данном живом сечении фильтрационного потока будет равна скорости и в любой его точке:

(11.15)

Фильтрационный расход Q через живое сечение , перпендикулярное линиям тока,

(11.16)

Формула (11.16) для определения средней скорости в плоском вертикальном сечении при плавно изменяющемся движении фильтрационного потока в грунтах называется формулой Дюпюи.

Формула Дюпюи является частным случаем закона Дарси.

Из всего изложенного выше следует, что при неравномерном плавно изменяющемся движении фильтрационного потока гидравлический уклон и средняя скорость фильтрации в пределах выбранного поперечного сечения остаются постоянными по направлению фильтрационного движения в определенной области.

Формула Дюпюи позволяет определять среднюю скорость фильтрации и расход в плоском вертикальном сечении фильтрационного потока жидкости при его плавно изменяющемся ламинарном движении.

11.4. Приток воды к водозаборным сооружениям

Общие положения

Подземные воды, находящиеся в грунтах и горных породах на различных глубинах, являются одними из основных существующих и перспективных источников водоснабжения.

Подземные воды по сравнению с поверхностными водами (водохранилища, озера, реки) обладают лучшими потребительскими качествами. Они не так загрязнены различными веществами неорганического и органического происхождения, а также микроорганизмами. Поэтому, как правило, не требуют достаточно дорогостоящих операций по осветлению, обесцвечиванию, обеззараживанию и удалению отдельных видов солей и соединений (азотистые соединения, сульфаты, хлориды и т.д.).

В настоящее время на долю подземных вод приходится более 1/3 всего объема вод, используемых в хозяйственно-бытовом водоснабжении.

Для отбора подземных вод с целью водоснабжения применяются трубчатые колодцы (скважины), шахтные колодцы, горизонтальные трубчатые дрены, галереи, лучевые горизонтальные трубчатые скважины.

Трубчатые колодцы, нижним концом своим достигающие водоупора и вскрывающие пласт водоносного грунта, называются совершенными. Колодец, вскрывающий водоносный пласт и не доведенный до водоупора, является несовершенным. Вскрываемый трубчатым колодцем водоносный пласт может быть безнапорным или напорным.

Водозаборные сооружения применяются в различных гидрогеологических условиях. Эти условия включают: фильтрационную характеристику водоносного грунтового пласта; расстояние его до границы области питания; мощность пласта и расположение его относительно водоупора. Данные условия (параметры) водоносного пласта определяются в результате гидрогеологических изысканий.

Главной задачей при расчете водозаборных сооружений является определение притока к ним грунтовых или артезианских вод в зависимости от гидрогеологических условий.

Приток воды к совершенному грунтовому колодцу при безнапорном движении фильтрационного потока

На рис. 11.4 изображена схема трубчатого колодца радиусом r₀, погруженного до водоупора. Уровень грунтовых вод располагается на высоте H₀ над водоупором. Глубина воды водонасыщенного слоя H₀ называется мощностью водоносного пласта.

При отборе воды из колодца движение фильтрационного потока будет неравномерным. Полагаем, что стенки колодца полностью водопроницаемы.

В результате отбора воды из трубчатого колодца уровень ее в нем будет понижаться, так же как и уровень около колодца. Вокруг колодца в водоносном пласте образуется воронкообразная свободная поверхность с центром в колодце. Эта свободная поверхность является депрессионной воронкой. Кривая, ограничивающая эту воронку, - депрессионная линия.

Рис. 11.4. Приток воды к совершенному трубчатому колодцу

Расстояние R, на котором депрессионная линия соединяется с начальным уровнем воды, называется радиусом депрессии (радиус влияния отдельного колодца). Влияние откачки воды из колодца за пределами радиуса депрессии не наблюдается, там уровень воды остается постоянным.

Проведем координатные оси: ось х проходит по поверхности водоупора, а ось у - по вертикальной оси колодца (см. рис. 11.4).

Выделим объем водоносного грунта вокруг колодца в виде цилиндра, высота, которого у, радиус х. Через поверхность этого цилиндра будет протекать расходQ.

Расход воды, притекающей к цилиндру,

, (11.17)

где ; V - средняя скорость.

В выбранном сечении будет иметь место плавно изменяющееся безнапорное движение воды. Следовательно, средняя скорость в данном сечении, согласно формуле Дюпюи .

Дифференциальное уравнение притока воды к колодцу

. (11.18)

Разделим переменные в выражении (11.18):

. (11.19)

Уравнение (11.19) интегрируем согласно граничным условиям - значения х изменяются от r₀ до R, а у - от h₀ до H₀:

; .

Окончательно получим

. (11.20)

Отсюда приток к совершенному колодцу (дебит его) после преобразований (11.20)

. (11.21)

Используя понятие понижения уровня воды в колодце S₀=H₀ - h₀, приток воды к колодцу

. (11.22)

Уравнение кривой депрессии можно получить из уравнения (11.20), приняв изменения линейных параметров от r₀ до х и от h₀ до у:

(11.23)

где х и у - координаты кривой депрессии.

Глубина воды на расстоянии х равна у=h, тогда уравнение кривой депрессии будет иметь следующий вид:

. (11.24)

Радиус влияния колодца R может быть вычислен по формуле В. Зихарда, м,

, (11.25)

где S₀, h - в метрах, k - в метрах в секунду.

В табл. 11.2 приведены ориентировочные значения радиуса влияния (депрессии) для песчаных грунтов в неограниченном пласте грунта.

Таблица 11.2 - Значения радиуса влияния песчаных грунтов

Грунт	R, м
Мелкозернистый песок	100-200
Среднезернистый песок	250-500
Крупнозернистый песок	700-1000

Наиболее достоверные данные о значении радиуса влияния R можно получить только в результате гидрогеологических изысканий.

Приток к совершенному колодцу при напорной фильтрации

Водоносный пласт мощностью Т полностью прикрыт сверху водонепроницаемым слоем (рис. 11.5).

Давление в водоносном пласте больше атмосферного давления. В трубчатом колодце, расположенном в пласте, вода в соответствии с давлением в пласте поднимется на высоту Н₀.

Откачивая воду из колодца, в нем устанавливается глубина h₀, а вокруг него создается условная депрессионная воронка. Однако в этом случае депрессионная линия не является кривой свободной поверхности, а будет показывать линию гидростатических напоров. Установив несколько скважин, доведенных до напорного водоносного пласта, в каждой из них вода поднимется на определенный уровень. Соединив эти уровни, получим напорную линию.

Рис. 11.5. Приток воды к совершенному трубчатому колодцу

при напорной фильтрации

Возьмем живое сечение вокруг трубчатого колода в виде цилиндра, радиус которого х, а высота равна мощности водоносного пласта Т.

Фильтрационный расход, проходящий через выбранный цилиндр,

, (11.26)

где V - средняя скорость.

Во взятом сечении имеет место плавно изменяющееся движение, и согласно формуле Дюпюи .

Дифференциальное уравнение расхода

. (11.27)

В данном случае у является напором в сечении на расстоянии х от оси колодца. Разделив переменные в уравнении, получим

. (11.28)

Интегрируем уравнение (11.28) в следующих пределах: х - от r₀ до R; у -от h₀ до H₀:

. (11.29)

Глубина понижения воды в колодце S₀=H₀ - h₀. В результате преобразования уравнения (11.29) приток воды к совершенному колодцу при напорном движении

. (11.30)

Приток к водосборной галерее

Рассмотрим горизонтальную водосборную прямоугольного сечения галерею, расположенную в водоносном пласте на водоупоре (рис. 11.6).

Ширина галереи - b, а длина - l.

Рис. 11.6. Приток к совершенной водосборной галерее

Фильтрация воды к галерее происходит с двух боковых ее сторон. Высота водоносного пласта грунта Н₀. В результате отбора воды из галереи в ней через определенное время установится глубина h₀ и произойдет понижение уровня воды в пласте грунта. Понижение уровня сопровождается возникновением депрессионной линии, которая соединится со свободной поверхностью на расстоянии L. Это расстояние называют зоной влияния или расстоянием до области питания.

Возьмем живое сечение на расстоянии х от стенки галереи. Глубина воды в этом сечении у, площадь живого сечения . Средняя скорость в данном сечении согласно формуле Дюпюи

.

При двустороннем фильтрационном притоке расход через выбранное сечение . В дифференциальной формуле расход

. (11.31)

Разделим переменные величины

. (11.32)

Интегрируя выражение (11.32), по х - от 0 до L, по у - от h₀ до Н₀, получим приток к галерее с двух сторон:

. (11.33)

При одностороннем притоке воды к галерее

. (11.34)

Депрессионная линия может быть построена по следующему полученному из (11.34) уравнению при Н₀=у, L=x:

(11.35)

Приток к шахтному колодцу

Шахтные колодцы опускаются обычно в водоносный пласт на глубину не более 30 м. Диаметр таких колодцев D, как правило, не превышает 3 м. Фильтрационный приток воды осуществляется через дно колодца (рис. 11.7).

Для определения притока воды к шахтному колодцу применяется формула, предложенная В. Бабушкиным при безнапорной фильтрации, для случая :

(11.36)

где S₀ - понижение уровня воды; Т - расстояние от водоупора до дна колодца.

Рис. 11.7. Приток воды к шахтному колодцу

Приток воды к колодцу можно вычислить по формуле Форгеймера при и:

. (11.37)

На рис. 11.7 показано, что линия депрессии на стенке колодца находится выше линии горизонта воды на величину ∆S. Эта высота называется высотой высачивания, она наблюдается также для трубчатых колодцев, галерей и дрен.

Лучевые водозаборы

Лучевой водозабор включает в себя шахтный колодец и систему трубчатых горизонтальных дрен.

Трубчатые горизонтальные дрены (скважины) являются основными частями лучевых водозаборов. Простой лучевой водозабор представляет собой радиальную систему горизонтальных дрен количеством 2-6 диаметром d=50..100 мм длиной 5..100 м. Горизонтальные дрены отбирают воду из водоносного пласта грунта и подают ее в центральный водосборный колодец диаметром D=2..6 м, из которого ведется откачка воды насосами.

Лучевые водозаборы с увеличением длины и диаметра дрен позволяют получить весьма большие дебиты. По сравнению с группой вертикальных скважин при одинаковом дебите при сооружении лучевого водозабора требуется значительно меньшая территория. Практически все оборудование системы контроля находится в одном сооружении, и в этом случае эксплуатационные затраты значительно снижаются. Например, в группе вертикальных скважин количество погружных насосов n=4..12, тогда как в шахтовом колодце лучевого водозабора устанавливаются один - три насоса, что позволяет существенно уменьшить энергозатраты.

Для определения притока воды к лучевому водозабору, располагающемуся в напорном водоносном пласте, можно в ориентировочных расчетах применить формулу Д. Читрини

, (11.38)

где - эквивалентный радиус колодца по производительности, соответствующей лучевому водозабору.

, (11.39)

где l - длина горизонтальной дрены; n - количество лучей - дрен водозабора.

♦ Пример 11.1

Колодец диаметром d=0,5 м, используемый для водоснабжения, доведен до водоупора. Мощность водоносного пласта мелкозернистого песка H₀=20 м. Понижение уровня воды в колодце S₀=8 м. Определить дебит (приток воды) колодца (см. рис. 11.6).

По табл. 11.1 для крупнозернистого песка принимаем коэффициент фильтрации k=1,5×10^-5 м/с. В связи с тем, что в условии примера не даны значения радиуса влияния R, для данного случая можно принять R=200 м (по табл. 11.2).

Дебит совершенного колодца определяем по формуле (11.14):

,

.

♦ Пример 11.2

Артезианская скважина диаметром d=0,4 м доведена до водоупора нижнего пласта. Напорный водоносный пласт имеет мощность Т=12м. Радиус влияния R=340 м для пласта со среднезернистым песком. Глубина воды в скважине h₀=12 м. Напор H₀=60 м. Определить дебит скважины (см. рис. 11.5).

Дебит (приток воды) вычисляем по формуле (11.30):

.

Глубина понижения воды в скважине м.

Коэффициент фильтрации среднезернистого песка принимаем м/с (табл. 11.1).

м³/с м³/ч м³/ч.