6.5. Истечение жидкости из отверстий и насадков при переменном напоре

Истечение при переменном напоре в резервуаре

Истечение при переменном напоре является примером неустановившегося движения жидкости.

Рассмотрим опорожнение резервуара, имеющего постоянную площадь поперечного сечения, в боковой стенке которого имеется цилиндрический внешний насадок. Поперечная площадь резервуара , а площадь насадка - . Начальный напор над центром отверстия насадка. Предполагаем, что при опорожнении резервуара в него не будет поступать жидкость (рис. 6.13). Необходимо определить время, за которое напор над центром насадка при истечении жидкости в атмосферу установится равным.

Рис. 6.13. Истечение жидкости при переменном напоре в атмосферу

За время dt из резервуара вытечет объем жидкости dW, а уровень жидкости в нем понизится на величину dH.

Полагаем, что за отрезок времени dt напор будет постоянным и равным Н. Расход жидкости, вытекший за время dt из цилиндрического насадка при ,

.

Объем жидкости за dt

. (6.40)

Одновременно с понижением уровня в резервуаре на dH объем жидкости в нем уменьшится на dW:

.

Знак минус принят потому, что напор Н понижается.

Следовательно,

. (6.41)

Отсюда, разделив переменные в дифференциальном уравнении (6.41), получим

. (6.42)

Проинтегрируем уравнение (6.42) в пределах от до:

.

Окончательно получим

. (6.43)

Полное опорожнение резервуара наступит при снижении уровня жидкости до оси насадка, т.е. . Тогда время опорожнения резервуара

. (6.44)

Объем резервуара .

Умножим и разделим уравнение (6.44) на , тогда получим

. (6.45)

Знаменатель уравнения (6.45) - расход Q при напоре Полное опорожнение резервуара при переменном напоре происходит за время, в 2 раза большее, чем истечение того же объема при постоянном напоре.

Истечение при переменном напоре в сообщающихся резервуарах

Рассмотрим два сообщающихся резервуара, соединенных между собой короткой трубой. Площади поперечных сечений резервуаров постоянны. Площадь первого равна , второго -. Жидкость из первого резервуара по короткой трубе площадью поперечного сечения перетекает во второй, при этом уровень жидкости в одном резервуаре понижается, а в другом - увеличивается (рис. 6.14). За времяt уровни в обоих резервуарах сравниваются и переток жидкости прекращается.

Рис. 6.14. Истечение жидкости при переменном напоре в сообщающихся резервуарах

Обозначим напоры в начальный момент времени над центром отверстия трубы в резервуарах через и , разность напоров .

За время dt при перетоке жидкости из резервуара в резервуар уровень уменьшится на величину , в другом увеличится на .

Изменение напора за dt составит

. (6.46)

Объем жидкости в первом резервуаре уменьшится на , во втором увеличится на .

Следовательно, можно записать

, (6.47)

откуда

. (6.48)

Подставив из (6.48) в (6.46), получим

(6.49)

или

.

За время dt при напоре Н произойдет приток жидкости объемом dW во второй резервуар. Этот объем

. (6.51)

Уменьшение объема .

Следовательно,

. (6.52)

Разделим переменные, получим

. (6.53)

Подставим значение из (6.50) в (6.53), получим

. (6.54)

Интегрируем полученное уравнение в пределах от до и выносим постоянные за знак интеграла:

Отсюда время , за которое разность уровней изменится от от до ,

. (6.55)

Полное выравнивание уровней жидкости в резервуарах произойдет, когда .

Время, когда уровни сравняются, вычисляется по формуле

. (6.56)

♦ Пример 6.4

Определить время, за которое разность уровней Н в двух резервуарах уменьшится с до . Уровень воды в правом резервуаре поддерживается постоянным. В левом цилиндрическом резервуаре диаметр м. Резервуары соединены между собой трубой длиной м и диаметроммм. Эквивалентная шероховатость трубымм,м,м (рис. 6.15).

Рис. 6.15. К примеру 6.4

Время изменения уровней в резервуарах находится по формуле (6.43):

.

Коэффициент расхода трубы ;(табл. П.4 приложения).

Полагаем, что движение воды в трубе соответствует квадратичной области сопротивлений. Коэффициент гидравлического трения определяем по формуле Шифринсона:

;

.

Площади поперечного сечения резервуара и трубы

, .

Время t определяем по формуле

смин.

♦ Пример 6.5

Два резервуара, наполненные водой, сообщаются между собой через цилиндрический насадок диаметром мм. Глубина воды в резервуареА м, размеры его в плане: м,м. Глубина воды в резервуареВ м(размеры: м,м). Определить время, необходимое для полного выравнивания уровней воды в резервуарах и при установлении разности глубин м (рис. 6.14, 6.16).

Рис. 6.16. К примеру 6.5

Площади поперечных сечений резервуаров:

м²;

м².

Площадь насадка .

Время, необходимое для полного выравнивания, определяем по (6.56):

,

где .

Коэффициент расхода внешнего цилиндрического насадка примем .

с.

Время при установлении разности глубин в резервуаре м по (6.55) составит

с;

ч.