6.2. Истечение жидкости через отверстия в тонкой стенке при постоянном напоре

Отверстие незатопленное

Для определения скорости и расхода жидкости, вытекающей из отверстия, применяем уравнение Бернулли. Принимаем сечение 1-1 по свободной поверхности жидкости в резервуаре, второе сечение 2-2 проведем через сжатое сечение струи С-С. Плоскость сравнения 0-0 проводим через центр сжатого сечения параллельно свободной поверхности (см. рис. 6.1). Истечение жидкости осуществляется в атмосферу.

Напишем уравнение Бернулли для сечений 1-1 и 2-2:

(6.2)

где - абсолютное давление на свободной поверхности жидкости в резервуаре; , - средние скорости в соответствующих сечениях; ; - потери напора на участке от сечений 1-1 к 2-2.

Согласно формуле Вейсбаха

,

где - коэффициент местных сопротивлений отверстия.

Принимаем .

(-избыточное давление в сечении 1-1).

Следовательно,

. (6.3)

Скоростью , в резервуаре можно пренебречь, считая что площадь его поперечного сечения.

Величину назовем приведенным напором.

Тогда

. (6.4)

Отсюда скорость в сжатом сечении

. (6.5)

Введем следующее обозначение:

, (6.6)

uде - коэффициент скорости истечения.

Окончательно формула скорости истечения будет иметь следующий вид:

. (6.7)

Для частного случая, когда , т.е. резервуар сообщается с атмосферой,

.

В результате скорость

. (6.8)

Для идеальной жидкости потери напора и, а коэффициент скорости.

Теоретическая скорость истечения в этом случае

. (6.9)

Зависимость (6.9) - формула Торричелли, полученная им в 1643 г. на основании опытов при определении скоростей истечения в случае разных напоров .

Физический смысл коэффициента заключается в том, что он выражает отношение действительной скоростик теоретической скорости ().

Зная скорость истечения, можно найти расход Q. При условии, что ,

. (6.10)

Назовем произведение двух коэффициентов икоэффициентом расхода отверстия :

. (6.11)

Тогда выражение для расхода при истечении через отверстие будет

. (6.12)

Коэффициент расхода учитывает как степень сжатия, так и потери напора , характеризующиеся коэффициентом местных сопротивлений .

Коэффициент определяется опытным путем, и его значение изменяется в диапазоне 0,590,64. Как правило, для предварительных расчетов принимается.

Следует отметить, что при истечении через малые отверстия за сжатым сечением происходит деформация поперечного сечения струи. Форма деформированного сечения отличается от формы сечения отверстия, из которого происходит истечение. Такое явление носит название инверсии струи, которая происходит из-за поверхностного натяжения жидкости. Например, при истечении из круглого отверстия поперечное сечение струи имеет форму эллипса, а для квадратного сечения струя приобретает крестообразную форму.

Отверстие затопленное

Рассматриваем малое отверстие в тонкой стенке, из которого происходит истечение под уровень жидкости (рис. 6.2). Давления на свободные поверхности жидкости в резервуарах равны атмосферному . Поверхности уровней как в правом, так и в левом резервуаре не изменяют своего положения за определенное время.

Рис. 6.2. Истечение под уровень жидкости

Напишем уравнение Бернулли для сечений 1-1 и 3-3 относительно плоскости сравнения, проходящей через центр отверстия параллельно свободным поверхностям в резервуарах:

;

; ;;(6.13)

Пренебрегаем величинами и вследствие их малости, так как площади поперечных сечений резервуаров и(- площадь малого отверстия). После подстановок получим

, (6.14)

где ;- гидравлические потери напора; - коэффициент сопротивления, учитывающий потери напора от сечения 1-1 до сечения 3-3; - средняя скорость течения в сжатом сечении С-С (2-2).

Потери напора между выбранными сечениями состоят из потерь при истечении из отверстия, т.е. от сечения 1-1 до 2-2 (С-С) и от сечения 2-2 до сечения 3-3, где происходит внезапное расширение струи до существенно больших размеров:

(6.15)

Потери при истечении из отверстия

.

Потери при внезапном расширении струи определяем по формуле Борда (4.126):

,

где - скорость в резервуаре при расширении струи,.

Потери напора будут

. (6.16)

Скорость в сжатом сечении

(6.17)

или

.

Формула расхода для сжатого сечения при истечении через затопленное отверстие:

. (6.18)

Полученная формула расхода аналогична формуле расхода для незатопленного отверстия. Различие формул заключается в том, что напор истечения Н выражает разность уровней жидкости в резервуарах.

Установлено при проведении многочисленных опытов, что значения ,для затопленного и незатопленного отверстий практически одинаковы. Поэтому в случае определения расхода или скорости через затопленное отверстие коэффициенты принимаются такими же, как и для незатопленного отверстия. На основании опытов разных авторов А. Альтшулем был создан график для малых круглых отверстий коэффициентов,, в зависимости от числа Рейнольдса (рис. 6.3). Для квадратичной области сопротивления при турбулентном режиме, т.е. при больших числах , принимаются;;;.

Рис. 6.3. Зависимость коэффициентов истечения из малых отверстий в тонкой стенке от числа Рейнольдса

♦ Пример 6.1

Определить длину трубопровода диаметром мм, при котором расход вытекающей воды будет такой же, как из малого отверстия того же диаметра, если напоры воды соответственно равным им. Коэффициент гидравлического трения трубы принять равным . Температура воды(рис. 6.4).

Формулы расхода при истечении жидкости из отверстия и трубы:

;

.

Площади поперечных сечений отверстия и трубы () равны .

Рис. 6.4. К примерам 6.1 и 6.8

Расходы , тогда

.

Коэффициент расхода малого отверстия найдем, используя зависимость(см. рис. 6.3).

Определим число Рейнольдса

,

м/с² при (табл. П1.4 приложения).

По графику (см. рис. 6.3) находим для полученного Re .

Коэффициент расхода трубы

,

; (табл. П 1.4 приложения).

Возведем в квадрат равенство расходов, полученное ранее:

,

Откуда

;

.

Из полученного выражения находим длину трубопровода:

;

м.

Длина трубопровода м.

♦ Пример 6.2

Два резервуара, напоры в которых поддерживаются постоянными и равными соответственно м им, соединены между собой короткой трубой длинойм. Расход воды, протекающий из одного резервуара в другой,л/с. Температура воды. Определить диаметр трубы, приняв(рис. 6.5).

Рис. 6.5. К примеру 6.2

Напор, при котором происходит истечение воды из одного резервуара в другой,

м.

Расход воды определяется по формуле

.

Коэффициент расхода короткой трубы при;(табл. П 1.5 приложения)

.

Диаметр трубы находим методом подбора, задаваясь разными значениями d. Вычисления и сводим в табл. 6.1.

Таблица 6.1 - Результаты вычисления

№ п/п	d, м		Q, м3/с
1	0,03	0,739	0,0046
2	0,04	0,756	0,0084
3	0,05	0,767	0,0133

Диаметру d=50 мм соответствует расход Q=13,3 л/с, что удовлетворяет условию примера.