3.8. Уравнение бернулли для струйки реальной жидкости

Реальная жидкость обладает вязкостью, и при ее движении возникают сопротивления движения. Сопротивления движения обусловлены появлением сил внутреннего трения. При движении струйки реальной жидкости механическая энергия, содержащаяся в струйке, вдоль нее будет уменьшаться, так как часть ее будет расходоваться на преодоление сопротивления, .

Эта энергия затрачивается на некоторую необратимую работу, т.е. на работу сил трения, и она переходит в тепло, которое рассеивается.

Чем больше длина струйки, тем больше будут затраты энергии на преодоление сопротивления движения.

Энергия, расходуемая на работу сил трения, - потери механической энергии струйки, переходящие в теплоту. Потери энергии, отнесенные к единице веса жидкости при перемещении ее вдоль элементарной струйки, называются гидравлическими потерями (потерями удельной энергии) .

Рассмотрим струйку реальной жидкости при установившемся движении (рис. 3.8).

Рис. 3.8. К уравнению Бернулли для струйки реальной жидкости

Полная удельная механическая энергия реальной струйки в ее живых сечениях 1-1 и 2-2 составит

Потери удельной механической энергии, обусловленные трением, на участке живых сечений 1-1 и 2-2

(3.45)

или

(3.46)

Таким образом, уравнение Бернулли для элементарной струйки реальной жидкости в случае установившегося движения можно представить в виде

(3.47)

Характеристикой движения жидкости является понятие пьезометрического и гидравлического уклонов.

На рис. 3.8 изображены кривые, характеризующие уравнение Бернулли. Линия, проходящая через точки, соответствующие значению пьезометрической высоты в живых сечениях 1-1 и 2-2, является пьезометрической линией.

Пьезометрическим уклоном называется изменение гидростатического напора жидкости вдоль струйки, отнесенное к единице длины. На участке струйки длиной между сечениями 1-1 и 2-2 пьезометрический уклон

(3.48)

Пьезометрический уклон, соответствующий бесконечно малой длине (при ), - уклон в точке:

(3.49)

Линия, проходящая через точки значений удельных механических энергий в живых сечениях струйки, является напорной линией (линией полного напора). Гидравлическим уклоном называется уменьшение полной удельной механической энергии вдоль струйки, отнесенное к единице длины:

(3.50)

При элементарном снижении удельной энергии на бесконечно малом участке гидравлический уклон

(3.51)

Так как кривая полного напора убывает по длине струйки, то знак в выражении (3.51) минус [- убывающая функция].

В случае постоянства живых сечений по длине струйки пьезометрическая линия и линия полного напора параллельны.

3.9. Дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости (уравнение эйлера)

В пространстве, заполненном движущейся идеальной жидкостью плотностью , выделим элементарный параллелепипед, ребра которого со сторонами , , параллельны осям координат (рис. 3.9). При движении идеальной жидкости отсутствуют силы внутреннего трения. Элементарный объем, находящийся в параллелепипеде, перемещается с абсолютной скоростью . Составляющие этой скорости по осям координат будут , , .

На элементарный объем будут действовать массовые и поверхностные силы. Силы трения при движении параллелепипеда равны нулю.

Масса жидкости в элементарном объеме параллелепипеда

(3.52)

Рис. 3.9. К выводу уравнения движения Эйлера

Проекции массовых сил в направлении координатных осей:

(3.53)

где , , - компоненты единичных массовых сил относительно осей , , (проекции ускорения этих сил).

Поверхностные силы определяются давлением, приходящимся на грани параллелепипеда.

Пусть в центре тяжести параллелепипеда (т. О) гидростатическое давление равно , координаты этой точки , , .Скорость движения в этой точке . Составляющие этой скорости по осям координат равны , , .

Проведем через т. О горизонтальную линию, параллельную оси . Точки пересечения с гранями параллелепипеда А (грань 1234), В (грань 5678). Давление в этих точках по оси и.

В жидкой сплошной среде давление в точке выражается непрерывной сплошной функцией координат расположения точки в пространстве: . Гидростатическое давление изменяется непрерывно линейно, и приращение давления на единицу элементарной длины ---

Следовательно, давления в точках А и В будут различаться на величину .

Давления в точках А и В выразим в следующем виде:

(3.54)

Из-за малости площади граней можно считать, что давления и являются средними гидростатическими давлениями, действующими на грани 1234 и 5678. Поверхностные силы давления на эти грани по оси равны произведению давления на площади граней:

(3.55)

Аналогично поверхностные силы давления на грани по оси z (грани 1478и 2365):

(3.56)

Также можно определить поверхностные силы на грани по оси .

Рассмотрим равновесие параллелепипеда, находящегося в движущейся жидкости, используя принцип Даламбера.

Согласно принципу Даламбера уравнение движения можно рассматривать как уравнение равновесия, если ввести силы инерции. Полагаем, что параллелепипед массой перемещается со скоростью , составляющие этой скорости , , .

Сила инерции (- ускорение).

Проекции силы инерции на соответствующие координатные оси:

(3.57)

где ,,- проекции ускорении на оси , , .

Составим уравнение равновесия для сил, действующих на рассматриваемый параллелепипед жидкости, с учетом силы инерции по осям и :

(3.58)

Подставляя в (3.58) полученные ранее зависимости (3.53), (3.55), (3.56) и (3.57), получим следующие уравнения

Раскрыв скобки и разделив полученные выше уравнения на , напишем

(3.59)

Аналогично можно получить уравнение по оси у:

(3.60)

Уравнения (3.59) и (3.60) можно записать в виде системы уравнений:

(3.61)

В общем случае величины , , являются функцией координат , , , а также времени . Следовательно, полный дифференциал скорости будет

(3.62)

Ускорение ;

Тогда

(3.64)

Аналогично можно получить дифференциалы скоростей ,.

После внесения в систему уравнений (3.61) дифференциалов скоростей , и она примет вид

(3.65)

В случае установившегося движения

; ;. (3.66)

Уравнения (3.65) представляют собой дифференциальные уравнения движения идеальной (невязкой) жидкости - уравнения Эйлера. Эти уравнения были получены Эйлером в 1775 г.

Уравнения Эйлера выражают связь между проекциями действующих сил, скоростей, давления и плотности жидкости. Уравнения Эйлера очень важны при изучении движения жидкости.

Для жидкости, находящейся в покое, имеем

Дифференциальные уравнения Эйлера приобретают следующий вид:

(3.67)

Система дифференциальных уравнений является уравнениями равновесия жидкости.

Из уравнения равновесия можно получить основное уравнение гидростатики (2.2) (см. приложение).

Интегрирование уравнения движения Эйлера. Интеграл Бернулли

Рассмотрим установившееся движение идеальной жидкости. Уравнения Эйлера представим в виде (3.61). Умножим первое из уравнений на , второе - на и третье - на , получим

(3.68)

Сложим почленно все три уравнения системы:

(3.69)

Для установившегося движения давление в точке является функцией ее координат и не зависит от времени. Поэтому дифференциал давления выражается в частных производных:

.

Так как; и , то последний член уравнения (3.69)

, (3.70)

кроме того

; ;.

Следовательно, правая часть уравнения (3.69) примет вид

. (3.71)

Полная (абсолютная) скорость и выражается через , , :

.

Тогда

. (3.72)

Уравнение (3.69) после преобразования можно переписать в следующем виде:

. (3.73)

Первые три выражения в этом уравнении является полным дифференциалом силовой (потенциальной) функции:

. (3.74)

Таким образом, уравнение (3.74) примет вид

. (3.75)

Проинтегрировав уравнение (3.75), получим

. (3.76)

Данное выражение называют интегралом Бернулли-Эйлера.

Полученный трехчлен - уравнения сохраняет неизменное значение вдоль линии тока.

В случае когда движение происходит под действием только одной массовой силы - силы тяжести, то единичные массовые силы,,(осьнаправлена вертикально вверх). Дифференциал силовой функции

. (3.77)

Уравнение (3.75) можно написать в следующем виде:

. (3.78)

Разделим все слагаемые уравнения на ускорение свободного падения , тогда получим

. (3 79)

Приращение суммы всех трех членов этого уравнения при перемещении вдоль линии тока равно нулю.

Проинтегрировав дифференциальное уравнение (3.79), получим

. (3.80)

Сумма всех членов вдоль линии тока жидкости - величина постоянная, а следовательно, и вдоль идеальной элементарной струйки она также постоянна.

Уравнение (3.80), полученное с помощью уравнения движения Эйлера, для установившегося движения является уравнением Бернулли. Идентичное уравнение было получено ранее иным путем с использованием теоремы кинетической энергии (3.43).

Уравнение (3.80), записанное для двух живых сечений струйки, приобретает известный ранее вид

.