2.9. Центр давления

Точка приложения результирующей силы давления жидкости на любую поверхность называется центром давления.

Применительно к рис. 2.12 центром давления является т. D. Определим координаты центра давления (x_D; z_D) для любой плоской поверхности.

Из теоретической механики известно, что момент равнодействующей силы относительно произвольной оси равен сумме моментов составляющих сил относительно той же оси. За ось в нашем случае примем ось Ох (см. рис. 2.12), тогда

Известно также, что является моментом инерции площади относительно оси Ox

В результате получаем

откуда

Подставим в это выражение формулу (2.9) для F и геометрическое соотношение :

Перенесем ось момента инерции в центр тяжести площадки . Обозначим момент инерции относительно оси, параллельной оси Ох и проходящей через т.С, через . Моменты инерции относительно параллельных осей связаны соотношением

;

тогда и окончательно получим

(2.11)

Формула показывает, что центр давления расположен всегда ниже центра тяжести площадки, за исключением случая, если площадка горизонтальна и центр давления совпадает с центром тяжести. Для простых геометрических фигур моменты инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести и параллельной оси Ох (рис. 2.12), определяются по следующим формулам:

для прямоугольника

(2.12)

где сторона основания параллельна Ох;

для равнобедренного треугольника

(2.13)

где сторона основания параллельна Ох;

для круга

(2.14)

Координата для плоских поверхностей строительных конструкций чаще всего определяется по координате расположения оси симметрии геометрической фигуры, ограничивающей плоскую поверхность. Так как такие фигуры (круг, квадрат, прямоугольник, треугольник) имеют ось симметрии, параллельную координатной оси Oz, местоположение оси симметрии и определяет координату x_D. Например, для прямоугольной плиты (рис. 2.13), определение координаты x_D ясно из чертежа.

Рис. 2.13. Схема расположения центра давления для прямоугольной поверхности

Гидростатический парадокс. Рассмотрим силу давления жидкости на дно сосудов, изображенных на рис. 2.14.

Рис. 2.14. Сила давления на дно сосудов различных форм

Несмотря на разную форму объемов сосудов, изображенных на этом рисунке, сила давления на дно каждого из них будет одинакова, хотя вес налитой в каждый объем жидкости будет различен. Действительно, , но и h_c для всех сосудов одинаковы.

2.10. Давление жидкости на криволинейные поверхности

Рассмотрим некоторую криволинейную твердую бесконечно тонкую поверхность , находящуюся на некоторой глубине покоящейся жидкости (рис. 2.15). Координатные плоскости расположены, как показано на рисунке. Плоскость хОу лежит и пределах свободной поверхности жидкости. Ось Oz направлена вниз. На поверхности действуют две силы R и R', равные между собой и направленные навстречу друг другу.

Рис. 2.15. К определению результирующей силы давления

Любую из этих сил можно разложить на три составляющие. Например, для силы R' это R'_x, R'_y, R'_z (рис. 2.14, а). Тогда искомая сила

(2.15)

Определим сначала силу R_z. Для этого через контур поверхности вертикально вверх проведем цилиндрическую поверхность до пересечения со свободной поверхностью жидкости (рис. 2.16).

Рис. 2.16. К определению вертикальной составляющей силы давления

Для того чтобы выделенный жидкий цилиндр находился в равновесии, должны выполняться следующие условия: ;;.

Но так как сила входит только в третье уравнение, рассмотрим это уравнение:.

Из поверхностных сил будем рассматривать силы избыточного давления, т.е. исключим из рассмотрения . Получаем

,

где - вес жидкости в объеме цилиндра, ограниченного свободной поверхностью жидкости и криволинейной поверхностью. Отсюда

, (2.16)

где - объем цилиндра.

В результате получим, что вертикальная составляющая давления жидкости на криволинейную поверхность равна весу жидкости в объеме вертикального цилиндра, нижним основанием которого является сама криволинейная поверхность, а верхним основанием - свободная поверхность жидкости. Выделенный объем жидкого цилиндра называют телом давления ().

Определим горизонтальные составляющие силы , т.е.и. Для определения выполним построение горизонтального цилиндра, ограниченного с одной стороны поверхностью, и с другой стороны - координатной плоскостью(рис. 2.17).

Рис. 2.17. К определению горизонтальной составляющей силы давления

Аналогично предыдущим рассуждениям силы ,в проекции на осьобращаются в ноль. В рассмотрении остается уравнение.

,

где - сила давления на поверхность, образованную пересечением координатной плоскостии цилиндрической поверхности. Обозначим площадь этой плоской поверхностии обратим внимание на то, чтоявляется проекцией криволинейной поверхности на вертикальную плоскость, параллельную.

,

где - глубина погружения центра тяжести площади под уровень свободной поверхности жидкости.

В результате получим .

. (2.17)

Так как составляющая горизонтальна, аналогичные рассуждения приводят к равенству

(2.18)

где - площадь проекции криволинейной поверхности на вертикальную плоскость, параллельную координатной плоскости;- глубина погружения центра тяжестипод уровень свободной поверхности жидкости.

Таким образом, три составляющие для определения результирующей силы давления жидкости на криволинейную поверхность будут:

; ;.

Сила находится по формуле (2.15), а направление силы определяется по углам,,между силой и соответствующей проекцией силы (см. рис. 2.18,а):

. (2.19)

Рассмотрим два примера определения силы давления жидкости на цилиндрические поверхности.

1. Жидкость действует на выпуклую цилиндрическую стенку АВ кругового очертания (рис. 2.18). Эпюра давления, результирующая сила давления и ее составляющиеипоказаны на рис. 2.18,а. Третья составляющая отсутствует, так как поверхность АВ перпендикулярна координатной плоскости хОу, ее длина в этом направлении равна .

Рис. 2.18. Схемы действия результирующей силы и ее проекций на цилиндрическую поверхность

Горизонтальная составляющая силы давления на поверхность АВ определяется как сила давления на плоскую проекциюА'В' поверхности АВ на вертикальную плоскость (рис. 2.18, б):

, .

Вертикальная составляющая равна весу жидкости в объеме тела давленияи показана на рис. 2.18,в:

где

В рассматриваемом случае телом давления является жидкое тело, ограниченное вертикальной призмой, восстановленной по контуру цилиндрической поверхности.

Сила проходит по линии действия силы тяжести (веса).

Тогда

, (2.20)

а угол наклона силы определится из соотношения для угла:

2. Жидкость действует на вогнутую цилиндрическую поверхность АВ кругового очертания (рис. 2.19). Результирующая сила давления на поверхностиАВ и ее составляющие ипоказаны на рис. 2.19,а. Значение определяется аналогично предыдущему случаю и равно

.

Вертикальная составляющая определяется как вес жидкости в объеме тела давления. Но в данном случае, если восстановить вертикальную призму через контур цилиндрической поверхности до пересечения с продолжением свободной поверхности жидкости (рис. 2.19, б), в теле призмы жидкости нет. Для того чтобы определить , мы как бы (фиктивно) помещаем в тело давления жидкость. Силабудет направлена в сторону, противоположную направлению осиOz. Такой прием используется каждый раз, когда определяется вертикальная составляющая давления жидкости, находящейся снизу от криволинейной поверхности:

где -объем фиктивного тела давления.

Рис. 2.19. Схема действия на вогнутую со стороны жидкости цилиндрическую поверхность

Результирующая сила давления R определится по формуле (2.20): .

Определение толщины стенок цилиндрических резервуаров и труб

Рассмотрим действие давления со стороны жидкости на трубу круглого поперечного сечения (рис. 2.20).

Пусть ось трубы расположена горизонтально, т.е. перпендикулярно плоскости чертежа. Длина трубы , ее внутренний диаметp , а толщина стенки, которую требуется определить,. По всей длине трубы находится жидкость под давлением.

Горизонтальная сила, стремящаяся разорвать трубу в плоскости yOz (ось Оу перпендикулярна плоскости чертежа), определяется согласно формуле (2.17):

,

где - площадь прямоугольника высотой и длиной.

Рис. 2.20. Действие давления со стороны жидкости на стенки цилиндрической трубы

Сила , возникающая в материале трубы в сеченииyOz, уравновешивается силами сопротивления. Эти силы распределены по площади сечения трубы ; тогда растягивающее напряжение, возникающее в материале стенок трубы, определится по формуле

Отсюда толщина стенок трубы или цилиндрического резервуара равна

где - допускаемое напряжение на растяжение для рассматриваемого материала трубы или резервуара.