Гидравлика / Конспект лекций / Лекция 4

48

Лекция 4. Дифференциальные уравнения Эйлера

движения невязкой жидкости

4.1. Уравнения движения невязкой жидкости

Напряженное состояние жидкости, находящейся в покое, устанавливается уравнениями Эйлера. В процессе движения силы, действующие на жидкость, определяются не только напряжениями, но и скоростями.

Использование уравнений статики для описания движения – принцип кинетостатики или принцип Д’Аламбера – состоит во введении сил инерции

. (4.1)

Относя силы инерции к массе частицы жидкости, можно записать

. (4.2)

Проекции удельной силы инерции выражаются через компоненты скорости

; ; . (4.3)

В соответствии с принципом Д’Аламбера уравнения движения принимают вид

(4.4)

Это уравнения идеальной (невязкой), несжимаемой жидкости, поскольку в них учитываются процессы внутреннего трения и связанные с ними касательные напряжения. В соответствии с примечанием к формулам (2.25) и (2.25а) в системе уравнений (4.4) приняты обозначения удельных массовых сил

4.2. Эквивалентные формы

уравнений невязкой несжимаемой жидкости

В зависимости от представления компонент ускорений можно записать следующие эквивалентные формы уравнений невязкой несжимаемой жидкости:

а) в декартовой системе координат

(4.5)

б) в форме Громеки-Ламба при выполнении условий несжимаемости и существования потенциала массовых сил

;

(4.6)

4.3. Уравнение непрерывности

Замыкание системы уравнений движения невязкой жидкости производится с помощью уравнения неразрывности, выражающего закон сохранения массы.

Рис. 4.1. Движение жидкости сквозь элементарный объем

Определим изменение расхода несжимаемой жидкости ()при ее движении через элементарный объем с ребрами длиной и (рис.4.1). Масса жидкости в выделенном объеме сохраняется, поэтому .

Если жидкость протекает через грани параллельные плоскости , то она входит в левую грань со скоростью и выходит через противоположную грань со скоростью

(4.7)

Из условия баланса масс жидкости, входящей в элементарный объем и выходящей из него за время , следует уравнение изменения потока массы

(4.8)

Для других пар граней запишем

и (4.9)

Суммарное изменение массы равно

(4.10)

Поскольку в замкнутом объеме , то, после сокращения на получим

(4.11)

Это дифференциальная форма уравнения неразрывности.

Если движение жидкости потенциально, то проекции скорости на оси координат могут быть определены в виде

, , . (4.12)

С учетом выражений для производных от компонент скорости по соответствующим координатам

;

;

получим уравнение Лапласа для безвихревого движения жидкости

(4.13)

где - оператор Лапласа.

4.4. Уравнение движения вязкой жидкости Навье-Стокса

Касательные напряжения вызываются трением. При отнесении сил трения к массе несжимаемой жидкости () можно записать

(4.14)

где кинематическая вязкость.

4.5. Уравнение Рейнольдса

В случае пульсационного изменения скоростей в каждой точке потока действительная мгновенная скорость в соответствии с (3.3) равна с проекциями на оси координат , , . Из уравнений Навье-Стокса в результате замены действительных составляющих вектора скорости на компоненты осредненных и пульсационных скоростей выводятся уравнения Рейнольдса

(4.15)

Уравнение неразрывности для компонент осредненных скоростей имеет вид

(4.16)

Однако, система из трех уравнений Рейнольдса и уравнения неразрывности не являются замкнутыми. Недостающие уравнения полуэмпирическим путем определяют турбулентные напряжения , , , , , , , .

4.6. Граничные и начальные условия

Набор постоянных и функций, входящих в дифференциальные уравнения движения жидкости определяется дополнительными условиями, которые часто называются краевыми.

Краевые условия включают граничные и начальные условия.

Граничные условия формируются на границе области потока жидкости:

1) если граница является свободной поверхностью, то давление на ней постоянно

2) если поток ограничен твердой стенкой, то образуется условие непротекания и нормальная к стенке компонента скорости

3) вязкая жидкость «прилипает» к твердой стенке и

4) в живом сечении, ограничивающем поток, задается распределение скоростей.

Начальные условия требуют знания о параметрах потока в момент времени (обычно ). Например, при движении из состояния покоя а давление распределяется по гидростатическому закону

(4.17)

Плавно изменяющееся движение.

Если радиусы кривизны потока велики, то поток называется плавно изменяющимся. Если оси X и Y лежат в плоскости живого сечения, то компонентами скорости и можно пренебречь и уравнения Навье-Стокса будут

т.е. условие плавно изменяющегося движения означает, что распределение давления подчиняется закону гидростатики.