1.7.3. Получение критериев подобия методом масштабных преобразований

Любое дифференциальное уравнение можно привести в безразмерную форму, заменяя исходные переменные на безразмерные путем соответствующих тождественных преобразований.

Под безразмерной переменной понимают исходную переменную, деленную на соответствующий масштаб. В качестве масштаба выбирается одноименная физическая величина, известная по условию задачи (т. е. входящая в условия однозначности). Этот прием называется методом масштабных преобразований. Рассмотрим его на примере системы уравнений для вынужденного движения несжимаемой жидкости. Для простоты рассматриваем стационарный процесс, т. е. .

В качестве масштабов можно выбрать следующие известные величины: масштаб длины l– характерный линейный размер, например длина обтекаемого тела или диаметр трубы и т. п. Масштаб скоростиw₀– скорость набегающего потока или средняя скорость в канале и т. п. Масштаб давлений– разность между давлением на входе и выходе из канала.

Масштаб давлений обычно выбирают в виде разностей, потому что давление входят в исходные уравнения только под знаком дифференциала. В этом случае для сокращения числа влияющих факторов удобно перейти от переменной рк (р₀–р), причем.

Введем следующие новые переменные:

• безразмерные координаты:

• безразмерную скорость и ее составляющие:

• безразмерное давление .

Можно доказать, что у подобных явлений в сходственных точках (а для нестационарных процессов и в сходственные моменты времени) безразмерные переменные равны.

Рассмотрим безразмерные координаты сходственных точек аиa':, но по условию подобия. Применяя к последнему выражению правило перестановки членов пропорции, получаем, следовательно,. Аналогичнои.

У подобных явлений подобны поля скоростей, т. е. для любой составляющей скорости, например, по оси хможно записать. Перестановкой членов пропорции отсюда получаем, т. е..

Аналогичные выводы можно сделать для всех безразмерных переменных. Таким образом, у подобных явлений поля безразмерных величин тождественны.

Теперь введем новые переменные в дифференциальные уравнения процесса. Для того чтобы преобразования были тождественными, будем каждую переменную не только делить, но и умножать на соответствующий масштаб.

Уравнение движениядля сокращения выкладок рассмотрим только в проекции на одну из координатных осей, например на осьx. Операция перевода к безразмерной форме приводит к следующему выражению:

.

Если разделить это выражение на множитель у последнего члена , то получим дифференциальное уравнение движения в безразмерной форме

.

Поскольку безразмерные переменные, входящие в это уравнение, равны для всех подобных явлений, то для подобных явлений должны быть одинаковыми и безразмерные комплексы размерных величин, входящие в него в виде множителей ;;, т.е. каждый из этих комплексов можно считать критерием гидродинамического подобия. Полученные здесь три безразмерных комплекса принято выражать через три общепринятых критерия Re, Fr иEu:

;

;

.

Таким образом, уравнение движения в проекции на ось xв безразмерной форме имеет вид

.

Уравнение сплошности в безразмерной форме имеет вид

и новых критериев не дает.