emph_f

[60]Dautray R., Lions J.-L. Mathematical Analysis and Numerical Methods for Science and Technology. Vol.3. Spectral Theory and Applications. Berlin; Heidelberg: SpringerVerlag, 1988. 542 p.

[61]Schwartz L. Th´eorie des distributions. Vol. 1. Paris, 1950. Vol. 2. 1951.

[62]Al-Gwaiz M.A. Theory of distributions. N. Y.; Basel; Hong Kong: Marcel Decker Inc., 1992. 258 p.

[63]Yosida K. Functional analysis. Berlin: Springer-Verlag, 1965.

[64]Lieb E.H., Loss M. Analysis. American Mathematical Society. 1997. 278 p. (Graduate studies in mathematics. Vol. 14).

[65]Colton D., Kress R. Integral equation methods in scattering thory. N.-Y.: JohnWiley & Sons, 1983. Русский перевод: Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М.: Мир, 1987. 292 с.

[66]Colton D., Kress R. Inverse acoustic and electromagnetic scattering theory. Applied Mathematical Sciences. Berlin: Springer-Verlag, 1993.

[67]Calderon A.P., Zygmund A. On the existence of certain singular integrals // Acta Math. 1952. V. 7. P. 85–139.

[68]Neri U. Singular integrals. Lecture Notes Math. Vol. 200. Berlin; Heidelberg; New York: Springer-Verlag, 1971.

[69]Векуа И.Н. О метагармонических функциях // Труды Тбилисского матем. ин-та. 1943. Т. 12. С. 105–174.

¨

[70] Rellich F. Uber das asymptotische Verhalten der L¨osungen von u + u = 0 in unendlichen Gebieten // Jber. Deutsch. Math. Verein. 1943. Vol. 53. P. 57–65.

[71] Atkinson F.V. On Sommerfeld’s “Radiation condition” // Phylos. Mag. 1949. Vol. 40. P. 645–651.

[72] Wilcox C.H. A generalization of theorems of Rellich and Atkinson // Proc. Amer. Math. Soc. 1956. Vol. 7. P. 271–276.

441

Приложение 1. Исторический очерк развития метода математического моделирования

Важную роль при изучении физических процессов играет метод математического моделирования (МММ). Данный метод позволяет исследовать физические процессы и явления с помощью математических методов: аналитических или численных, ориентированных на использование ЭВМ и вычислительного эксперимента. Метод математического моделирования стал интенсивно развиваться сразу после окончания Второй мировой войны. В нашей стране это было связано с необходимостью решения поставленной в августе 1945 г. важнейшей государственной задачи – создания атомного, а затем термоядерного оружия.

Как известно из истории, многие из поставленных перед советскими учеными и инженерами задач были решены в кратчайшие сроки. Ровно через четыре года в стране создается атомная бомба, испытание которой успешно осуществляется 29 августа 1949 года на полигоне под Семипалатинском. Через четыре года создается первая в мире советская водородная бомба, испытание которой успешно осуществляется на том же полигоне 12 августа 1953 года. Справедливости ради следует отметить, что первый термоядерный заряд был взорван американскими учеными 1-го ноября 1952 г. на атолле Эниветок. Но это устройство не являлось бомбой, а представляло собой трехэтажное сооружение, наполненное жидким дейтерием.

Проходит чуть больше четырех лет, и 4 октября 1957 года страна посылает в космос первый искусственный спутник Земли с помощью ракеты Р–7, созданной С.П. Королевым. Проходит еще 3,5 года, и 12 апреля 1961 года на такой же ракете Р–7 устремляется в космос первый космонавт Земли Ю.А. Гагарин. Наконец, 30 октября 1961 года на полигоне архипелага Новая Земля осуществляется успешное испытание самой мощной в мире водородной бомбы мощностью в 50 Мт.

Таким образом, основные этапы Атомного и Космического проектов были выполнены в нашей стране за 16 лет. Следствием явилось создание атомного и водородного оружия и их носителей. Огромная заслуга в этом принадлежит нашим выдающимся ученым–физикам. Не имея возможности назвать их поименно, отметим имена шести выдающихся ученых, трижды отмеченных высшей наградой страны – званием Героя социалистического труда. Это – И.В. Курчатов (1949, 1951, 1954), Ю.Б. Харитон (1949, 1951, 1954), К.И. Щелкин (1949, 1951, 1954), Я.Б. Зельдович (1949, 1953, 1957), А.Д. Сахаров (1953, 1955, 1962) и А.П. Александров (1954, 1960, 1973).

Наряду с физиками, химиками, инженерами в Атомном и Космическом проектах участвовало много замечательных математиков. Среди них Н.Н. Боголюбов, М.В. Келдыш, А.Н. Тихонов, А.А. Самарский, С.Л. Соболев, М.А. Лаврентьев, Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко, К.А. Семендяев,

442

А.В. Забродин, Л.Д. Ландау, И.М. Халатников, И.М. Гельфанд, Л.В. Овсянников, Г.И. Марчук, С.К. Годунов, В.Я. Гольдин и многие другие. В этом списке приведены фамилии и двух физиков: Л.Д. Ландау и его ученика И.М. Халатникова, поскольку они участвовали в Атомном проекте как математики, точнее, как расчетчики, причем расчетчики, обладающие незаурядной физической интуицией. Последнее играло важнейшую роль при принятии основополагающих в плане технической реализации решений. В частности, группе Л. Ландау удалось точно вычислить коэффициент полезного действия атомной бомбы.

Естественно возникает вопрос, а как связаны между собой метод математического моделирования и успешное решение задачи создания атомного

иводородного оружия и их носителей? Как оказалось, самым непосредственным образом. Задача создания таких высокотехнологичных изделий, как атомная либо термоядерная бомба, а также их носителей необходимо требовала разработки эффективных методов решения огромного количества математических задач, неизбежно возникающих в процессе разработки, конструирования и создания атомного, а затем термоядерного оружия. В связи с этим в первые послевоенные 10 – 15 лет в нашей стране, как

иза рубежом, было разработано огромное количество методов, алгоритмов, схем, подходов, приемов и методик решения конкретных прикладных задач. Эти разработки существенно дополнили имеющийся в то время аппарат вычислительной математики. Дополненный таким образом аппарат вычислительной математики с успехом был применен для приближенного нахождения решений различного рода дифференциальных и интегральных уравнений, систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений, спектральных задач, задач оптимизации и управления, а также большого количества других математических задач, которые ставили перед математиками разработчики атомного и термоядерного оружия.

Все это способствовало, с одной стороны, становлению прикладной математики как области математики, применяющей математические методы для решения прикладных задач, т.е. задач из других сфер деятельности. С другой стороны, это способствовало становлению новой методологии научного познания природных явлений, процессов и техногенных объектов. Эта методология получила современное название метода математического моделирования (МММ). Суть ее состоит в том, что вместо исходного процесса, явления или объекта исследуется его математическая модель, представляющая собой систему математических уравнений. Другими словами, МММ – это метод перевода изучаемого явления, процесса или объекта на язык математических уравнений. А сама модель – это воплощение процесса, явления или объекта в виде математических уравнений.

Нужно отметить, что мощный импульс в развитие МММ внесло появление на рубеже 40–х и 50–х годов прошлого столетия первых электронно–

443

вычислительных машин. Именно это способствовало быстрейшему становлению метода математического моделирования как самостоятельной методологии научного познания природных, технологических, а затем и общест- венно–экономических явлений, процессов и объектов.

Использование метода математического моделирования при изучении физических процессов, безусловно, имеет ряд преимуществ по сравнению, например, с методом натурного эксперимента. К числу основных преимуществ метода относятся его безопасность, экологичность, относительная быстрота, универсальность, экономичность. Более того, исследование ряда актуальных проблем возможно только на основе метода математического моделирования ввиду губительных последствий проведения натурного эксперимента. Достаточно вспомнить задачу огромной важности, поставленную перед учеными СССР и США в семидесятых годах. Она заключалась в изучении последствий локальной ядерной войны между воюющими державами, состоящей из ограниченного обмена ударами по крупным городам с использованием малой части ядерного заряда порядка 100 мегатонн. До исследования этой задачи методом математического моделирования считалось, что основными поражающими факторами ядерного оружия являются проникающая радиация, световая вспышка и ударные волны, сопровождающие ядерные взрывы. Однако проведенные в обеих странах вычислительные эксперименты над соответствующими математическими моделями показали, что главным эффектом, сопровождающим локальный ядерный конфликт, будут не радиация и ударные волны, а быстрое и достаточно сильное охлаждение воздуха над континентами. В случае “100-мегатонного конфликта” падение температуры через месяц может составлять в некоторых районах свыше десяти градусов [45, с. 292]. Хорошо известно, что изменение средней температуры на Земле даже на 1–2 градуса может привести к катастрофическим последствиям для человечества. Тем самым проведенные вычислительные эксперименты наглядно продемонстрировали, что ядерная война будет сопровождаться глобальными катастрофическими изменениями климата, а следовательно, она неприемлема для человечества.

После заслуженного успеха в применении математического моделирования при решении задачи изучения последствий ядерной войны стало ясно, что в решении ни одной из актуальных задач, стоящих перед человечеством, нельзя добиться серьезного успеха без использования в той или иной степени идей математического моделирования. Освоение космоса и океана, овладевание новыми источниками энергии, укрощение термоядерной реакции, экология и рациональное использование природных ресурсов, разработка новых лекарственных средств и продление активной жизни человека, очистка от загрязнений воздушного и водных бассейнов – вот далеко не полный список проблем, которые стоят и будут еще долго стоять перед человечеством. Решение этих задач невозможно себе представить без ме-

444

тода математического моделирования, являющегося без преувеличения величайшим изобретением человеческого разума.

Следует отметить, что сама идея, лежащая в основе МММ, использовалась человеком в течение длительного времени, можно сказать, с незапамятных времен. Первый успех в применении МММ пришелся, по-видимому, на механику. В частности, всем известный из школы второй закон Ньютона представляет собой классическую модель движения материальной точки, имеющую вид обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка. Недаром великий автор трех законов механики И. Ньютон одновременно прославился как один из отцов–основателей дифференциального и интегрального исчисления. В свою очередь, важнейшие для человечества законы Кеплера, описывающие законы движения Земли вокруг Солнца, можно получить как следствие указанной модели в предположении, что Солнце и Земля моделируются материальными точками, между которыми действует сила притяжения, известным образом зависящая от их массы и расстояния между ними.

Уникальный пример математической модели представляют собой уравнения Максвелла, абсолютно точно описывающие электромагнитные явления. Хорошо известно, что великий Максвелл вывел эти уравнения путем обобщения известных к тому времени законов электромагнетизма. В частности, он внес в эти уравнения дополнительные слагаемые. Далее, путем перекрестного дифференцирования полученных им уравнений, он доказывает, что электромагнитное поле подчиняется волновому уравнению. Именно это позволяет ему сделать, что называется, на кончике пера, важнейшее открытие о том, что электромагнитное поле распространяется в среде в виде волн, которые он назвал электромагнитными. Он также вычислил скорость этих волн, которая совпала со скоростью света. Позже эти факты были подтверждены экспериментально в работах Р. Герца и других ученых.

Теоретическая физика по существу представляет собой важнейший пример применения МММ для исследования физических процессов. Достаточно пролистать многотомник Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшица, сплошь пронизанный аппаратом математического моделирования. В середине прошлого века понятия “прикладная математика” и “теоретическая физика” являлись почти синонимами. Недаром некоторые факультеты в вузах Великобритании (например, в Кембриджском университете) до сих пор называют факультетами прикладной математики и теоретической физики.

На рубеже 19-го – 20-го веков человека перестают удовлетворять имеющиеся на то время скорости передвижения. Человеку становится скучно на Земле. Его взоры устремляются в небо. На помощь ему приходит МММ.

Вооруженные этим методом, математики, механики и инженеры создают теорию воздухоплавания как прообраз современной гидроаэродинамики,

445

развивают механику твердого деформируемого тела и закладывают в итоге основы авиации, авиастроения и ракетостроения.

Последние годы 20-го века и начало 21-го века ознаменовались новыми достижениями человеческой мысли: достаточно отметить освоение Интернета, создание спутниковой и сотовой связи, прорыв в расшифровке генома. Эти достижения были бы невозможны без использования прикладной математики и МММ. Приведенные примеры наглядно свидетельствуют о том, что настоящий успех в любой области получается только тогда, когда к этой области в нужный момент подключается математика.

Естественно возникает вопрос, а какие задачи стоят перед прикладной математикой и МММ в этом столетии и, более общо, в этом тысячелетии?

Ясно, что МММ по-прежнему активно используется в механике жидкости и газа, механике твердого деформируемого тела, акустике, электромагнетизме и других “классических” разделах физики и естественных наук. Вместе с тем нужно отметить, что МММ все активнее проникает в такие ранее мало доступные для него сферы деятельности, как биология и медицина, финансовая, политическая и военная деятельность различного рода структур, в том числе и правительственных.

В заключение перечислим ряд перспективных направлений для возможного применения МММ в 21-м веке и, более того, в 3-м тысячелетии. Это – моделирование в биологии и в медицине, в частности, моделирование кровеносной системы человека, циркуляции крови в здоровых и поврежденных сосудах, скелетной системы, эволюции опухолей, деятельности мозга; моделирование генома, моделирование живущего человеческого тела; моделирование стохастических процессов и системных (в том числе финансовых) рисков; моделирование нанотехнологий и наноструктур, моделирование катастрофических явлений и хаоса; моделирование важнейших процессов и явлений, происходящих на Земле и во Вселенной.

Обратим внимание на колоссальную сложность некоторых из перечисленных выше проблем, и в частности, проблемы многомасштабного мультидисциплинарного моделирования живущего тела. Трудно даже представить, на сколько порядков внутренняя начинка самого простого живущего тела сложнее внутренней начинки самой сложной атомной или водородной бомбы, современного авианесущего крейсера или самой мощной подводной лодки. Тем не менее есть основания полагать, что умелое применение

МММ в указанных выше областях позволит добиться успеха в решении поставленных задач, точно так же, как когда-то в 19- и 20-м веках применение МММ позволило добиться ошеломляющих успехов в теоретической и прикладной физике, ядерной энергетике, машиностроении и создании современных средств спутниковой и сотовой связи.

446

Приложение 2. Выражения

дифференциальных операторов в ортогональных координатах

Из результатов гл. 1 следует, что основные математические модели, описывающие разнообразные физические процессы, представляют собой дифференциальные уравнения либо их системы первого или второго порядка. Наряду с обычными операторами дифференцирирования первого или второго порядков указанные модели могут содержать также дифференциальные выражения вида

gradu; gradv; divv; rotv; u divgradu; v; rotrotv; :::: (2.1)

Важно отметить, что все выражения, входящие в (2.1), являются инвариантами относительно используемой системы координат, т.е. не зависят от ее выбора. Однако для того чтобы превратить рассматриваемую математическую модель в дифференциальное уравнение (или систему дифференциальных уравнений), необходимо в рассматриваемой области ввести систему координат и записать входящие в модель дифференциальные операторы с помощью производных первого или второго порядка от искомых функций по введенным координатам. В связи с этим необходимо знать выражения величин (2.1) в наиболее часто используемых системах координат.

Рассмотрим произвольную область в пространстве R3 и будем считать, что в введена декартова система координат (или декартов базис), и пусть i; j; k – единичные орты этого базиса. Тогда для любой точки x 2 справедливо представление x = xi + yj + zk, где числа x; y и z называются

декартовыми координатами точки x.

Наряду с декартовыми координатами точки x будем рассматривать ее криволинейные координаты x1; x2; x3, связанные с декартовыми формулами

Мы предполагаем, что правые части в (2.2) – непрерывно дифференцируемые функции переменных (x1; x2; x3), изменяющихся в некоторой области

Зафиксируем две координаты в (2.2), например, x2 и x3. Тогда при изменении x1 соотношения (2.2) определяют некоторую линию, которую называют координатной линией x1. Аналогично определяются координатные линии x2 и x3. Геометрическое место точек x 2 , для которых выполняется условие xi = const, называется i–й координатной поверхностью.

447

Векторы ri и ei зависят от x, причем в каждой точке x они направлены по касательным к линиям x1; x2 и x3, а векторы ei имеют к тому же единичную длину. Поскольку J(x) 6= 0 в по определению криволинейной системы координат, то эти векторы некомпланарны и, следовательно, образуют базис, зависящий от точки x. Более того, мы будем предполагать, что в каждой точке x 2 векторы ri(x) ортогональны, а следовательно, векторы fei(x)g3i=1 образуют ортонормированный базис.

Оказывается, что именно векторы ri, а точнее, их длины hi = jrij играют основную роль при записи основных дифференциальных операторов в произвольной криволинейной системе координат. Указанные длины

называемые метрическими коэффициентами или коэффициентами Ламе по имени франзузского математика C. Lame (1795–1870), полностью характеризуют соответствующую ортогональную систему координат.

В частности, выражения для дифференциальных операторов grad, div, rot и в произвольной ортогональной системе координат имеют вид [19]:

(2.8) Здесь u – произвольная скалярная функция, v – произвольное векторное поле, vi – компоненты разложения вектора v по базису feig.

Основываясь на формулах (2.5)–(2.8), выпишем теперь основные дифференциальные операторы в трех основных системах координат: прямоугольной декартовой, цилиндрической и сферической.

1. Прямоугольная декартова система координат (декартов базис). Прямоугольные координаты x1, x2, x3 совпадают с декартовыми x; y; z, так что

x1 = x; x2 = y; x3 = z; h1 = 1; h2 = 1; h3 = 1; e1 = i; e2 = j; e3 = k:

448

Здесь vx; vy; vz – компоненты вектора v в базисе fi; j; kg.

2. Цилиндрическая система координат. Цилиндрические координаты x1 = r, x2 = ', x3 = z связаны с декартовыми координатами следующими соотношениями:

x = r cos '; y = r sin '; z = z:

Координатными поверхностями являются: r = const – концентрические цилиндры, ' = const – полуплоскости, z = const – плоскости. Коэффициенты Ламе h1; h2; h3 имеют вид h1 = 1, h2 = r, h3 = 1. С учетом этого

Здесь v1; v2; v3 – компоненты вектора v в единичном базисе fe1; e2; e3g.

3. Сферическая система координат. Сферические координаты x1 = r, x2 = , x3 = ' связаны с декартовыми координатами x; y; z формулами

x = r sin cos '; y = r sin sin '; z = r cos :

Координатными поверхностями являются: r = const – концентрические сферы, = const – конусы, ' = const – полуплоскости. Коэффициенты

Ламе h1; h2; h3 имеют вид h1 = 1, h2 = r, h3 = r sin . В силу этого формулы (2.5)–(2.8) принимают вид:

449

Здесь ;' – угловая часть оператора Лапласа в сферической системе координат. Оператор ;' называют оператором Бельтрами.

В любой ортогональной системе координат справедливы соотношения: grad (u v) = u grad v + v grad u; div (u v) = v grad u + u div v;

rot (u v) = grad u v + u rot v; div (u v) = v rot u u rot v;

rot (u v) = u div v v div u + (v r)u (u r)v; (u r)u = u rot u + (1=2)grad (u2);

Здесь (u r)v – вектор, компоненты которого в декартовом базисе определяются формулами

где ui (либо vi) – компоненты вектора u (либо v) в декартовом базисе. Кроме того, для дифференциальных операторов второго порядка спра-

ведливы тождества

Для доказательства соотношений (2.9), (2.10) достаточно ввести декартову систему координат, в которой все формулы (2.9), (2.10) проверяются непосредственно, а далее воспользоваться инвариантностью используемых в этих формулах выражений.

450