emph_f

и начальному условию

Здесь f; g1; g2 и ' – заданные непрерывные функции своих аргументов, причем, в частности, f имеет смысл плотности внешних (объемных) источников тепла. Физический смысл функций g1; g2 и ' при “температурной” интерпретации уравнения (2.1) пояснен в § 5.1.

Из теоремы 1.3 при n = 1 вытекает, что классическое решение u задачи (2.1)–(2.3) единственно и непрерывно в норме C(QT ) зависит от C-норм исходных данных: начальной функции ', граничных функций g1, g2 и правой части f. Поэтому остается доказать лишь существование решения u задачи (2.1)–(2.3). Применим для этой цели метод Фурье, который одновременно позволит найти явное представление решения u.

Рассмотрим сначала более простую задачу, заключающуюся в нахождении решения однородного уравнения теплопроводности

в области QT , удовлетворяющего однородным граничным условиям

и начальному условию (2.3). Задача (2.3)–(2.5) моделирует распределение температуры в однородной струне (либо однородном стержне) длины l при условии, что начальное распределение температуры описывается функцией ', а температура на концах струны (либо стержня) равна нулю. Ниже на задачи (2.1)–(2.3) и (2.3)–(2.5) будем ссылаться для краткости как на задачи 1 и 2 соответственно.

Отметим, что задача (2.3)–(2.5) отличается от задачи (1.1)–(1.3) гл. 4 для одномерного волнового уравнения, описывающего колебания струны, тем, что (2.3)–(2.5) содержит одно начальное условие (для функции u), тогда как задача (1.1)–(1.3) из гл. 4 включает два начальных условия: одно – для функции u, другое – для производной @u=@t. Последнее можно объяснить тем, что уравнение теплопроводности, будучи уравнением 1-го порядка по времени, требует для выделения единственного решения одного начального условия, тогда как волновое уравнение, являясь уравнением 2- го порядка по времени, требует двух начальных условий. Такое, казалось бы, небольшое отличие между уравнением (2.4) и волновым уравнением приводит, как мы увидим ниже, к очень большой разнице в поведении решений этих уравнений. В этом, собственно, можно было убедиться и выше при доказательстве принципа максимума, который справедлив именно для параболических уравнений, но не справедлив для волновых уравнений.

271

Так же, как и в гл. 4, применим для нахождения решения задачи 2 метод Фурье. Следуя ему, будем искать частные решения уравнения (2.4) в виде

Подставляя (2.6) в (2.4), (2.5) и разделяя переменные, приходим к обыкновенному дифференциальному уравнению для T , имеющему вид

и спектральной задаче

для нахождения неизвестной функции X. В гл. 4 было показано, что решение спектральной задачи (2.8), т. е. собственные значения k и собственные функции Xk, определяется формулами

Подставим в (2.7) k вместо и запишем общее решение полученного уравнения в виде

Здесь ak; k = 1; 2; ::: – пока произвольные постоянные. В соответствии с (2.6) введем функции

Из построения вытекает, что функции uk при любом k и любых постоянных ak удовлетворяют уравнению (2.4) и граничным условиям (2.5). То же самое справедливо и для любой линейной комбинации функций (2.11), а

также ряда

1

u(x; t) = Xake ka2tXk(x) (2.12)

k=1

при условии, что он равномерно сходится в замкнутой области QT = [0; l] [0; T ] (при выполнении этого условия ряд (2.12) удовлетворяет граничным условиям (2.5)) и его можно дважды почленно дифференцировать по x и один раз по t внутри QT (при выполнении этих условий ряд (2.12) удовлетворяет уравнению (2.4) в каждой точке (x; t) 2 QT ). Предполагая эти

272

условия выполненными, выберем постоянные ak в (2.12) так, чтобы в дополнение к ним выполнялось начальное условие (2.3). С этой целью подставим (2.12) в (2.3). Получим

Формула (2.13) представляет собой разложение заданной функции ' в ряд Фурье по синусам в интервале (0; l). Из теории рядов Фурье (см., например, [19, гл. 10]) вытекает, что система синусов в (2.9) является полной в пространстве C[0; l], причем коэффициенты ak разложения (2.13) однозначно определяются по (непрерывной) функции ' с помощью формул

Тем самым решение u задачи 2 построено. Оно имеет вид ряда (2.12), где ak определяются формулами (2.14), при условии, конечно, что ряд (2.12) равномерно сходится в замкнутой области QT и его можно дважды почленно дифференцировать по x и один раз по t в QT . Чтобы показать последнее, предположим, что начальная функция ' удовлетворяет условиям:

(i) ' 2 C[0; l], '0 кусочно-непрерывна в [0; l], '(0) = '(l) = 0.

Из [19, гл. 10] следует, что при выполнении условий (i) ряд в правой части (2.13) с коэффициентами ak, определяемыми формулами (2.14), равномерно и абсолютно сходится к функции ' на [0; l]. Так как при t 0 0 < e ka2t 1, то ряд (2.12) с этими же коэффициентами ak также сходится абсолютно и равномерно при 0 x l и t 0. В таком случае функция u, определяемая суммой ряда (2.12), непрерывна в QT и удовлетворяет начальному и граничным условиям (2.3) и (2.5) соответственно. Остается показать, что функция u в (2.12) удовлетворяет уравнению (2.4) в каждой точке QT . Для этого достаточно показать, что ряды

полученные почленным дифференцированием ряда (2.12) один раз по t либо дважды по x, также абсолютно и равномерно сходятся в области [0; l] [t0; T ] при любом t0 > 0. Последнее же утверждение вытекает из того факта, что при любом t > 0 выполняются неравенства

если k достаточно велико. Сформулируем полученный результат.

273

Теорема 2.1. При выполнении условий (i) сумма ряда (2.12) с коэффициентами (2.14) принадлежит пространству C2;1(QT ) \ C(QT ) и является классическим решением задачи (2.3)–(2.5).

Замечание 2.1. На самом деле справедлив более сильный результат: ряды, полученные почленным дифференцированием ряда (2.12) сколько угодно раз по t или по x или по x и t, также абсолютно и равномерно сходятся в области [0; l] [t0; T ] при любом t0 > 0. Поэтому при выполнении условия (i) сумма ряда (2.12) принадлежит пространству C1([0; l] (0; T ]) бесконечно дифференцируемых по x и по t функций в области [0; l] (0; T ].

Более того, если начальная функция ' обладает дополнительной гладкостью, указанной в теореме 1.1 гл. 4, а именно: ' 2 C2[0; l], '000 кусочнонепрерывна на [0; l], причем '(0) = '(l) = 0; '00(0) = '00(l) = 0, то

u 2 C2;1(QT ), т.е. решение имеет непрерывные производные второго порядка по x и первого порядка по t в замкнутой области QT .

Замечание 2.2. Как уже указывалось, решение u задачи (2.3)–(2.5) единственно и непрерывно зависит от начальной функции '. Отсюда и из теоремы 2.1 вытекает, что при выполнении условий (i) задача (2.3)–(2.5) поставлена корректно для t 0 (если начальное условие задано при t = 0).

Замечание 2.3. Обратившись к задаче 2, рассмотрим ее для отрицательных значений t. Другими словами, рассмотрим задачу определения решения u на интервале [ T; 0] при условии, что задано распределение температур в “конечный” (или финальный) момент времени t = 0, а на концах x = 0 и x = l температура равна нулю. Указанную задачу называют первой краевой задачей для уравнения теплопроводности “с обратным временем”. В физическом плане данная задача заключается в определении эволюции нагревания тела по заданному его тепловому состоянию в финальный момент времени. Допустим, что задача (2.3)–(2.5) имеет решение u при отрицательных t. Простой анализ показывает, что решение u можно как угодно сильно изменить при сколь угодно малых отрицательных t, изменяя как угодно мало функцию ' и ее производные до произвольного фиксированного порядка. Для этого достаточно к решению u прибавить частное решение uk уравнения (2.4) вида

uk (x; t) = ke ka2tsink l x;

отвечающее начальной функции 'k(x) = ksin(k x=l). Здесь f kg1k=1 – произвольная числовая последовательность, стремящаяся к нулю. Ясно, что функциональная последовательность 'k(x) ksin(k x=l) равномерно стремится к нулю при k ! 1. В то же время для любого сколь угодно близкого к нулю значения t < 0 последовательность решений uk (x; t) неограниченно растет при k ! 1. Это означает, что решение u ведет себя неустойчиво по отношению к малым возмущениям “начальных дан-

274

ных”. Отсюда вытекает, что задача 2 поставлена некорректно для отрицательных t, если “начальные данные” задаются при t = 0. Таким образом, начально-краевая задача для уравнения теплопроводности “с обратным временем” дает в дополнение к задаче Коши для уравнения Лапласа, рассмотренной в гл. 2, еще один пример некорректно поставленных задач математической физики.

Рассмотрим теперь задачу 3, заключающуюся в нахождении в области QT решения u неоднородного уравнения теплопроводности

Будем предполагать, что выполняются условия: (ii) f 2 C1(QT ) и f(0; t) = f(l; t) = 0 8t 2 [0; T ].

Следуя методу Фурье, будем искать решение u задачи 3 в виде ряда

по собственным функциям спектральной задачи (2.8) с неизвестными пока коэффициентами Tk(t). Правую часть f в (2.17) также разложим в ряд Фурье по синусам, полагая

Отсюда приходим к следующим дифференциальным уравнениям для Tk:

275

где !k = k a=l. Поскольку в силу начального условия (2.19) для u имеем

то отсюда получаем начальные условия для Tk, имеющие вид

Решение Tk линейной одномерной задачи Коши (2.23), (2.24) при каждом k существует, единственно и, как легко проверить, имеет вид

Подставляя выражение (2.25) для Tk(t) в ряд (2.20), получим искомое решение задачи 3 в виде

Рассуждая, как и в §4.1, можно показать, что при выполнении условий (ii) ряд (2.26), а также ряды, полученные дифференцированием ряда (2.26) один раз по t либо два раза по x, равномерно сходятся в замкнутой области QT . Отсюда следует, что ряд (2.26) является искомым решением задачи 3.

Замечание 2.4. Если однородное начальное условие (2.19) заменить неоднородным начальным условием (2.3), то в силу принципа суперпозиции решение соответствующей задачи (2.17), (2.18), (2.3) будет равно сумме решений (2.12) и (2.26) задач 2 и 3 соответственно.

Вернемся теперь к общей неоднородной краевой задаче 1. Предполагая, что gi 2 C1[0; T ]; i = 1; 2, введем функцию

где v – новая искомая функция. Подставляя (2.28) в (2.1)–(2.3), получим, что функция v удовлетворяет в QT неоднородному уравнению

276

Таким образом, для нахождения решения задачи 1 достаточно найти решение v вспомогательной задачи (2.29)–(2.31), которая нами уже решена (см. замечание 2.4).

Замечание 2.5. По аналогичной схеме метод Фурье применяется для решения других краевых задач для уравнения теплопроводности. Так, в случае краевых условий Неймана

решение u соответствующей задачи (2.4), (2.3), (2.32) также имеет вид ряда (2.12), но где k и Xk – собственные значения и функции спектральной

задачи

X00 + X = 0 в (0; l); X0(0) = X0(l) = 0:

Явные выражения для k и Xk приведены в x 4.2.

§ 5.3. Задача Коши для одномерного уравнения теплопроводности

5.3.1. Постановка и единственность решения задачи Коши. Пусть

QT = ( 1; 1) (0; T ] при T < 1 и QT = ( 1; 1) (0; 1) при T = 1. Рассмотрим задачу Коши для уравнения теплопроводности на веществен-

ной оси R = ( 1; 1). Она заключается в нахождении решения u уравнения теплопроводности

Здесь ' – заданная непрерывная и ограниченная в R функция. Задача (3.1), (3.2) возникает при математическом моделировании ряда физических процессов, в частности, процесса распространения тепла в неограниченном однородном стержне, боковая поверхность которого теплоизолирована. Тот факт, что T 1, означает, что задача (3.1), (3.2) может рассматриваться

277

как на конечном (T < 1), так и на бесконечном (T = 1) временном интер-

вале. Положим QT = ( 1; 1) [0; T ] при T < 1 и QT = ( 1; 1) [0; 1) при T = 1.

Определение 3.1 Классическим решением задачи (3.1), (3.2) называется функция u 2 C2;1(QT ) \ C(QT ), ограниченная в QT , удовлетворяющая уравнению (3.1) в каждой точке (x; t) 2 QT и условию (3.2) в каждой точке x 2 ( 1; 1).

Докажем единственность классического решения задачи (3.1), (3.2).

Теорема 3.1. Классическое решение задачи (3.1), (3.2) единственно.

Доказательство. Предположим, что существуют два решения u1 и

Тогда их разность u = u1 u2 удовлетворяет уравнению (3.1), однородному начальному условию ujt=0 = 0, причем juj 2M в QT . Предполагая, что

T < 1, введем прямоугольник QLT = f(x; t) : jxj < L; 0 < t T g и рассмотрим в нем функцию

Обозначим через LT сумму нижней и боковой границ прямоугольника QLT . Легко видеть, что v является классическим решением уравнения (3.1) и удовлетворяет в точках LT условиям

v(x; 0) ju(x; 0)j = 0; x 2 [ L; L]; v( L; t) 2M ju( L; t)j; t 2 [0; T ];

или v(x; t) u(x; t) v(x; t) на LT . Применим принцип максимума к разности между функциями v и u в области QLT . Будем иметь v(x; t)

u(x; t) 0, v(x; t) + u(x; t) 0 на QLT , или v(x; t) u(x; t) v(x; t)

8(x; t) 2 QLT . Отсюда выводим, что

Фиксируя значения (x; t) и устремляя параметр L в бесконечность, полу-

чим u(x; t) 0 8(x; t) 2 QLT . Если же T = 1, то вместо QLT следует выбрать прямоугольник QLT0 конечной высоты T0 < 1 и повторить

предыдущие рассуждения. Замечание 3.1. Отметим, что принцип максимума для уравнения теп-

лопроводности (3.1) в неограниченной по x либо по t области QT не справедлив хотя бы потому, что решение u уравнения (3.1) может не достигать в такой области максимального или минимального значений.

278

Замечание 3.2. По аналогичной схеме доказывается единственность классического решения задачи Коши для неоднородного уравнения теплопроводности. Указанная задача будет рассмотрена в п. 5.3.4.

Замечание 3.3. Приведенное здесь доказательство существенно использует ограниченность решения u. Используя другой метод, можно доказать единственность решения задачи Коши (3.1), (3.2) и без этого ограничения (см. об этом в [56]).

5.3.2. Применение метода Фурье. Для доказательства существования решения задачи (3.1), (3.2) и одновременно нахождения его в явном виде применим метод Фурье. Следуя этому методу, будем сначала искать

где 2 – константа разделения. Отсюда приходим к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям для T и X:

где произвольные постоянные и могут зависеть от . Решение уравнения (3.7) равно произведению константы на функцию

Поскольку краевые условия для функции X отсутствуют, то параметр в (3.9) и (3.10) может принимать любые вещественные значения. Этим задача Коши для уравнения (3.1) существенно отличается от соответствующей краевой задачи, для которой спектральный параметр может принимать лишь счетное (дискретное) множество значений.

По построению функция u (x; t) = e a2 2t[ ( )cos x + ( )sin x] является частным решением уравнения (3.1) в области QT при любых ( ) и( ). То же самое справедливо и для интеграла

279

при условии, что он равномерно сходится в QT и его можно дифференцировать один раз по t и дважды по x под знаком интеграла. Выберем теперь( ) и ( ) так, чтобы выполнялись указанные условия и начальное условие (3.2). Полагая в (3.11) t = 0, получим с учетом (3.2), что

Z 1

На (3.12) можно смотреть как на разложение начальной функции ' в интеграл Фурье по функциям cos x и sin x. Известно (см. [19, c. 355]), что коэффициенты ( ) и ( ) однозначно определяются по функции ', обладающей определенными свойствами регулярности, с помощью формул

называемую разложением функции ' в интеграл Фурье. Известно (см., например, [47, гл. 6]), что формула (3.14) справедлива, если функция ' непрерывна в ( 1; 1), удовлетворяет условию Дирихле, т.е. имеет конечное число максимумов и минимумов, и абсолютно интегрируема в интер-

R 1

вале ( 1; 1), так что существует несобственный интеграл 1 j'(x)jdx. О других достаточных условиях справедливости формулы (3.14) можно прочитать в [19, гл. 10].

Подставим теперь (3.13) в (3.11). Учитывая четность подынтегральной функции по в полученном интеграле, будем иметь

После изменения порядка интегрирования этот интеграл можно записать в виде

Внутренний интеграл в (3.15) можно явно вычислить. Для этого при фиксированных x и t введем вместо и переменные z и по формулам

280