emph_f

Перейдем к пределу при R ! 1 в (3.17). Рассуждая, как при доказательстве теоремы 3.1, заключаем в силу (3.2), (3.11) и (3.15), что интеграл поR стремится к нулю, когда R ! 1. В результате получаем (3.16).

(3.16) означает, что любое “излученное” решение оператора Гельмгольца представимо вне 0 в виде суммы потенциалов простого и двойного слоев

где @=@nyj 0 = @=@rj 0 . В силу теоремы 2.4 каждый из потенциалов (s) или(d) является аналитической вне 0 функцией, удовлетворяющей условиям излучения (2.15). Отсюда вытекает следующий результат.

Лемма 3.3. При выполнении условий (i), (ii) любое “излученное” решение оператора Гельмгольца L в e удовлетворяет условиям излучения (2.15).

Заметим, что доказательство леммы 3.3 основано на интегральном представлении (3.16) для “излученного” решения оператора L. Чтобы доказать (3.16), мы применили соответствующую формулу (2.10) к в ограниченной области BR0R. Затем, используя интегральное условие излучения (3.2), следствие 3.4 и условия излучения (3.11) для E, мы доказали, что интеграл по R в (3.17) стремится к нулю для “излученного” решения, когда R ! 1. Подчеркнем, что последнее имеет место как в случае, когда k00 = 0, так и при k00 > 0. Это связано с тем фактом, что фундаментальное

421

решение E удовлетворяет (3.11) при любом k00 0. Тем не менее эти два случая сильно различаются и мы сейчас рассмотрим их отдельно.

Начнем со случая k00 > 0. Отметим, что в этом случае фундаментальное решение E(x; y) экспоненциально исчезает при jyj ! 1 в силу (2.20). Используя это, легко заключаем, что интеграл по R в (3.17) стремится к нулю при R ! 1, если функция , как и @ =@jxj, удовлетворяет, например, условию ограниченности (2.30) или даже более общим условиям

где m – произвольное число. Сформулируем этот результат в виде леммы.

Лемма 3.4. Пусть при выполнении условий (i), (ii) k00 > 0 и пусть распределение 2 D0( e) с компактным носителем L удовлетворяет условиям (3.21). Тогда справедливо соотношение (3.15).

Пусть теперь k00 = 0. Тогда лемма 3.4, очевидно, не верна. Но в этом случае в силу леммы 3.3 справедлив другой важный результат. Он состоит в том, что любое излученное решение оператора Гельмгольца удовлетворяет обоим условиям излучения (2.15) при k00 = 0, т.е. условиям излучения Зоммерфельда (2.21). Таким образом, мы получили более сильный результат, чем хотели выше, а именно: любое распределение 2 D0( e) с компактным носителем у L , удовлетворяющее интегральному условию излучения (3.2), необходимо удовлетворяет обоим условиям излучения Зоммерфельда (2.21) (при k00 = 0 и выполнении условий (i), (ii)). Так как, в свою очередь, интегральное условие излучения (3.2) для любого распределения

2 D0( e) является следствием второго условия излучения Зомерфельда в (2.21), то приходим к следующему утверждению.

Лемма 3.5. Пусть при выполнении условий (i), (ii) k00 = 0. Распределение 2 D0( e) с компактным носителем у L удовлетворяет интегральному условию излучения (3.2) тогда и только тогда, когда удовлетворяет обоим условиям излучения Зоммерфельда (2.21).

Лемма 3.5 означает, другими словами, что при выполнении ее условий оба условия излучения в (2.21) эквивалентны интегральному условию излучения (3.2), которое, в свою очередь, эквивалентно второму условию в (2.21). Следствием лемм 3.3–3.5 является следующая теорема.

Теорема 3.4. Пусть выполняются условия (i), (ii). Распределение

2 D0( e), удовлетворяющее условиям 1), 2) определения 3.3, является “излученным” решением оператора Гельмгольца в e, если и только если:

a)при k00 = 0 удовлетворяет обоим условиям излучения в (2.21);

b)при k00 > 0 удовлетворяет условиям (3.21), которые эквивалентны условиям (2.15) экспоненциального затухания при jxj ! 1.

Мы отметим, что теорема 3.3 имеет ряд других важных следствий. В

случае, когда L = 0 в e, их можно найти, например, в [65, 66]. Простой анализ показывает, что эти следствия остаются справедливыми и в

422

рассматриваемом нами случае, когда L 6= 0 в e, но при условии, что носитель suppL компактен. Сформулируем их здесь с незначительными изменениями и некоторыми комментариями в виде теорем или лемм без

доказательства.

Пусть = f( ; ') : 2 [0; ]; ' 2 [0; 2 )g – единичная сфера в R2. Обозначим через r = jxj; ; ', где ( ; ') 2 , сферические координаты точек x 2 R3. Для краткости будем ссылаться на “излученное” решение оператора Гельмгольца L как на (излученное) поле . Следующая теорема является обобщением для “излученного” в смысле определения 3.3 решения теоремы разложения, доказанной в [71] (см. также [65,72]).

Теорема 3.5. Пусть при выполнении условий (i), (ii) число R0 > 0 таково, что сфера R0 содержит внутри себя и suppL . Тогда для

(3.22)

которое абсолютно и равномерно сходится при jxj R0. Это разложение можно дифференцировать по r; ; ' сколько угодно раз и ряды, полученные дифференцированнием, сходятся абсолютно и равномерно при jxj R0.

Определение 3.4. Функция F0 : ! C в разложении (3.22) поля называется амплитудой рассеяния .

Из теоремы 3.5 вытекает два следствия.

Лемма 3.6. При выполнении условий (i), (ii) справедливо следующее

Лемма 3.7. При выполнении условий (i), (ii) коэффициенты Fn разложения (3.22) излученного поля рекуррентно определяются амплитудой

где Be ;' – оператор Бельтрами для сферы (см. его вид в прил. 2).

В случае, когда F0 = 0, из (3.24) выводим, что Fn = 0 для всех n 2 N. Из (3.22) тогда следует, что (x) = 0 вне некоторой сферы R0 . Используя следствие 3.3, заключаем, что = 0 вне suppL . Поскольку для поля, исчезающего вне suppL , очевидно, F0 = 0, то справедлив следующий результат.

Лемма 3.8. При выполнении условий (i), (ii) излученное поле равно нулю вне supp L тогда и только тогда, когда амплитуда рассеяния равна нулю на .

423

Мы подчеркнем, что лемма 3.8 устанавливает взаимнооднозначное соответствие между сужениями 1 излученных решений оператора Гельмгольца в окрестности бесконечности и их амплитудами рассеяния.

Замечание 3.1. Лемма 3.8 констатирует, что при F0 = 0 решение уравнения (2.1) равно нулю не в целой области e, а в подобласти, расположенной вне suppL , если только L не является аналитической функцией. Другими словами, лемма допускает существование неизлучающих источников, создающих поле, которое тождественно исчезает вне ограниченного множества, занимаемого источниками, и поэтому имеет нулевую амплитуду рассеяния. Это действительно справедливо, и именно этот факт является причиной неединственности решений обратных задач излучения звука (см. подробнее об этом в [2,3]). Но, если L = 0 в e и поэтому аналитична вe, то в силу леммы 3.8 0 в e тогда и только тогда, когда F0 0 на. Именно этот случай, когда L = 0 в e, детально рассмотрен в [65,66].

Из (3.22) мы заключаем, в свою очередь, что для любого излученного поля справедливо следующее равенство:

Z Z

j j2dS = exp( 2k00R) jF0( ; ')j2 sin d d' + O(1=R) ; R ! 1:

R

(3.25)

В частности, когда k00 = 0, отсюда выводим, что

ZZ

Тогда из (3.26) следует, что F0 = 0 и поэтому = 0 вне suppL в силу леммы 3.8. Таким образом, справедлива следующая лемма.

Лемма 3.9. Пусть при выполнении условий (i), (ii) k00 = 0 и пусть излученное поле удовлетворяет (3.27). Тогда 0 вне suppL .

В формулировке леммы 3.9 предполагается, что распределение , будучи излученным полем, удовлетворяет интегральному условию излучения (3.2) вместе с (3.27). Важно отметить, что утверждение леммы 3.9 остается справедливым и без предложения о том, что удовлетворяет (3.2). Это составляет содержание следующей леммы, впервые доказанной в [70].

Лемма 3.10. Пусть при выполнении условий (i), (ii) функция 2 C2( e) удовлетворяет однородному уравнению Гельмгольца (2.4) в e и условию (3.27), причем k00 = 0. Тогда = 0 в e.

Замечание 3.2. Изложенная выше теория “излученных” решений оператора Гельмгольца относится к случаю d = 3 измерений. Следует отметить, что все результаты этой теории остаются справедливыми и в случае

424

двух измерений после соответствующего изменения фундаментального решения E ! E2, где E2 введено в (2.9). Другая модификация связана с (уходящим) условием излучения, которое принимает в R2 вид

Здесь x = (x1; x2) 2 R2. Однако интегральная форма условия излучения формально не изменяется по сравнению со случаем d = 3 и имеет форму (3.2), где R – окружность радиуса R с центром в начале O 2 R2.

§ 8.4. Единственность решений краевых задач для уравнения Гельмгольца

Сформулируем в этом параграфе ряд краевых задач для уравнения Гельмгольца (2.1) в неограниченной области e и докажем для них единственность решений (при выполнении некоторых условий на исходные данные). Обозначим для краткости через R( e) множество распределений из D0( e), удовлетворяющих одному из эквивалентных условий излучения на бесконечности. Будем считать, в дополнение к условиям (i), (ii), что выполняется следующее условие:

(iii) – ограниченное открытое множество в Rd с границей 2 C1. Общая внешняя краевая задача для уравнения Гельмгольца (2.1) состо-

ит в нахождении решения уравнения (2.1) в неограниченной области e, удовлетворяющего условиям

Здесь a и b – функции, заданные на , n – единичная нормаль на , ориентированная в e и определенная всюду на при условии (iii). Функции f : e ! C и g; a; b : ! C в этой формулировке рассматриваются как части исходных данных задачи, а ищется в некотором подмножестве пространства C2( e). Напомним, что в силу эллиптической регулярности порядок локальной гладкости решения уравнения (2.1) в точке x определяется порядком гладкости правой части f в точке x, тогда как порядок глобальной гладкости (вплоть до границы ), вообще говоря, определяется порядком гладкости функций f; g; a; b и границы .

Если a = 1; b = 0 в (4.1), то соответствующее условие j = g называется условием Дирихле (или краевым условием первого рода), а задача

называется внешней задачей Дирихле (или задачей первого рода) для уравнения Гельмгольца (2.1). Выбор a = 0; b = 1, с другой стороны, дает внешнюю задачу Неймана (или краевую задачу второго рода):

425

Выбор b = 1; a 6 0 приводит к внешней краевой задаче 3-го рода:

Наконец, выбор a = 1; b = 0 на части D границы и b = 1, a – произвольная функция на другой части N = n D границы приводит к внешней смешанной краевой задаче для уравнения (2.1):

L = f в e; = g1 на D; @ =@n + a = g2 на N ; 2 R(e): (4.5)

Здесь g1 : D ! C и a; g2 : N ! C – заданные функции. Введенные четыре типа краевых задач для уравнения Гельмгольца (2.1) охватывают широкий класс физических задач, описывающих процессы излучения, распространения и рассеяния звука в неограниченной области e.

Отметим также, что в приложениях наряду с внешними задачами важную роль играют и внутренние краевые задачи для уравнения Гельмгольца. Эти задачи состоят в нахождении решения уравнения Гельмгольца (2.1) в ограниченной области , удовлетворяющего соответствующему граничному условию (4.1) на границе @ (см. §6.5 для точных формулировок четырех типов краевых задач для уравнения Лапласа). Еще один важный класс краевых задач для оператора Гельмгольца составляют задачи сопряжения (о физическом смысле указанных задач см. подробнее в §1.6). Чтобы сформулировать задачу сопряжения, предположим для простоты, что область

i имеет связную границу , так что @ = @ e, причем область заполнена однородной средой с постоянными акустическими параметрами

~

k и ~, тогда как область e заполнена однородной средой с параметрами k и . В таком случае задача сопряжения для области i [ e состоит в нахождении пары функций i и e, удовлетворяющих соотношениям

Здесь f~ : i ! C; f : e ! C и g1; g2 : ! C – заданные функции. Обозначим, как обычно, через eR ограниченную подобласть в e, рас-

положенную между границей = @ e и сферой R достаточно большего радиуса R > R0. Выведем соотношение, которое дополняет соотношение (3.13) для случая, когда “излученное” решение оператора Гельмгольца принадлежит пространству C2(e) \ C1(e). Основываясь на этом соотношении, мы установим ряд результатов о единственности решения каждой из задач (4.2)–(4.5) так же, как и решения задачи (4.6), (4.7). Пусть при

426

выполнении условий (i)–(iii) функция 2 C2( e) \C1( e) является “излученным” решением оператора L в e. Выберем R > 0 таким образом, чтобы и suppL содержались внутри R. Применяя формулу Грина (1.37)

к функциям и в ограниченной области eR, имеем

ZZ

Здесь мы учли, что нормаль n направлена внутрь eR. Умножая (4.8) на k и беря мнимую часть, приходим к равенству

Рассмотрим для определенности случай трех измерений. Тогда в силу условия излучения ( 2 R( e)) выполняется (3.6). Подставляя (4.9) в (3.6), приходим к следующему утверждению.

Лемма 4.1. Пусть при выполнении условий (i)–(iii) излученное полепринадлежит классу C2( e) \ C1( e). Тогда справедливо равенство

Z

2Im(k @ dS): (4.10)

@n

Из леммы 4.1 вытекает следующий результат.

Лемма 4.2. Пусть при выполнении условий (i)–(iii) излученное полепринадлежит C2( e) \ C1( e) и L = 0 в e. Если, кроме того,

Z

Im(k @ dS) 0; (4.11)

@n

то = 0 в e.

Доказательство. Если Imk > 0, то из (4.10) следует в силу (4.11), что

ZZ

427

Это означает, что = 0 почти всюду в e. Если Imk = 0, то из (4.10) следует, что удовлетворяет (3.27). Поэтому = 0 в силу леммы 3.9. Лемма 4.2 лежит в основе доказательства следующего результата.

Лемма 4.3. Пусть при выполнении условий (i)–(iii) излученное полепринадлежит пространству C2( e) \ C1( e), L = 0 в e и, кроме того, выполняется одно из следующих условий:

1)= 0 на ;

2)@ =@n = 0 на ;

3)@ =@n = a на , a 2 L1( ), Imka 0 п.в. на ;

4)Im k = 0 и Im = 0 (или Re = 0) в e.

Тогда = 0 в e.

Доказательство. В силу леммы 4.2 достаточно доказать, что при выполнении любого из условий 1) – 4) выполняется (4.11). Если выполняется одно из условий 1), 2) или 4), то правая часть (4.10) равна нулю, а, следовательно, выполняется (4.11). Если выполняется условие 3), то имеем

Im(k Z @ dS) = Im(k Z aj j2dS) = Z (Imka)j j2dS 0:

@n

Это влечет (4.11). Аналогом леммы 4.3 для задачи (4.6), (4.7) является следующая лемма.

Тогда i = 0 в и e = 0 в e.

Доказательство. Как было показано выше, применение первой формулы Грина (1.37) к функциям e и e в eR приводит к равенству (4.9) при = e. Точно так же применение первой формулы Грина (1.37) к

Умножая (4.9) на 1= , (4.13) – на 1=~, складывая и учитывая (4.12), получаем, что

428

Из (4.14) следует, что i = 0 в и e = 0 в e.

Из леммы 4.3 вытекает следующая теорема единственности.

Теорема 4.1. При выполнении условий (i)–(iii) решение 2 C2( e) \ C1( e) задачи Дирихле (4.2) или задачи Неймана (4.3) единственно. То же справедливо и для третьей краевой задачи (4.4), если a 2 L1( N ) и Im (ka) 0.

Доказательство. Достаточно доказать, что единственным решением 0 каждой из однородных задач (4.2), (4.3) и (4.4), соответствующих нулевым данным f = 0 и g = 0, является тривиальное решение 0 = 0. Но последнее следует из леммы 4.3, поскольку условие (4.11), очевидно,

Выше мы установили достаточные условия на исходные данные и решение, обеспечивающие единственность решения каждой из трех типов внешних краевых задач. При этом под решением мы понимали функцию2 C2( e)) \ C1( e). Такое требование на гладкость нужно для того, чтобы при доказательстве единственности можно было воспользоваться формулой Грина. Хорошо известно, что формулы Грина справедливы и для функций из более широких, чем C2( ), пространств Соболева. Это дает основания надеяться на то, что приведенные выше результаты о единственности решений внешних краевых задач будут будут справедливы и для решений, принадлежащих соответствующим пространствам Соболева. Это действительно так, и мы приведем сейчас ряд теорем единственности.

Все производные, входящие в определение пространств H1( ) и H1( ; ) в (4.15), понимаются в смысле обобщенных функций.

Предположим, что, вместо (iii), выполняется более общее условие (iv) – ограниченное открытое множество с липшицевой границей .

Хорошо известно, см., например, [4, гл. 1], [5, гл. 1], что при выполнении условия (iv) для каждой функции u 2 H1( ) существует ее граничный след 0u = uj 2 H1=2( ), совпадающий с обычным граничным значением в случае гладкой функции. Если, к тому же, u 2 H1( ; ), то тогда у функции u существует и первый след 1u = @u=@n 2 H 1=2( ), с которым

429

справедлива формула Грина

ZZ

Здесь h ; i обозначает отношение двойственности между пространством H1=2( ) и двойственным к нему пространством H 1=2( ). Для внешности e будем использовать аналоги введенных выше пространств H1( )

и H1( ; ), обозначаемые через Hloc1 ( e) и Hloc1 ( e; ). Они состоят из функций, сужения которых на ограниченное множество e \ BR, где BR

– шар любого радиуса R, принадлежат соответственно H1( e \ BR) и

H1( e \ BR; ).

Определение 4.1. Слабым решением внешней задачи Дирихле (4.2) назовем функцию 2 Hloc1 ( e; ) \ R( e), удовлетворяющую уравнению (2.1) п.в. в e и граничному условию = g в H1=2( ). Аналогично, слабым решением внешней задачи Неймана (4.3) (либо третьей краевой задачи (4.4)) назовем функцию 2 Hloc1 ( e; ) \ R( e), удовлетворяющую (2.1) п.в. в e и граничному условию @ =@n = g (либо @ =@n + a = g) в H 1=2( ). Слабым решением смешанной краевой задачи (4.5) назовем функцию 2 Hloc1 ( e; ) \ R( e), удовлетворяющую (2.1) п.в. в e и граничным условиям = g1 в H1=2( D) и @ =@n + a = g2 в H 1=2( N ). Наконец, назовем слабым решением задачи сопряжения (4.6), (4.7) па-

ру ( i; e) 2 H1( ; ) Hloc1 ( e; ), удовлетворяющую соответствующим уравнениям в (4.6) п.в. в i или в e и следующим краевым условиям:

i = e + g1 в H1=2( ); (1=~)@ i=@n = (1= )@ e=@n + g2 в H 1=2( ). Предположим, что при выполнении условий (i), (ii), (iv) функция яв-

ляется “излученным” решением оператора Гельмгольца из пространства

Hloc1 ( e; ). Как и выше, выберем R > 0 так, чтобы и suppL содержались внутри R, и применим к функциям и формулу Грина (4.16) в

ограниченной области eR = e \ BR. Получим, вместо (4.8), равенство

Умножая далее (4.17) на k и рассуждая, как при доказательстве леммы 4.1, приходим к следующему утверждению.

Лемма 4.5. Пусть при выполнении условий (i), (ii), (iv) излученное поле принадлежит пространству Hloc1 ( e; ). Тогда справедливо равенство

430