emph_f

~ D0 2 D0

Отметим, что обе свертки Ed f и Ed f существуют в , если f comp, т.е. f является распределением с компактным носителем (см. §8.1.2). Более

того, поскольку Ed 2 S0, то из теоремы 1.7 следует, что уходящий потенциал = E f существует для любой функции f 2 Dcomp0 и принадлежит пространству S0. Что касается приходящего потенциала, то ситуация сильно зависит от значения k00, т.е. от того, выполняется ли условие k00 = 0 либо

00 ~ 2 S0 ~ 2 S0

k > 0. В первом случае Ed , а поэтому Ed f в силу теоремы 1.7.

00 ~ S0

2) для k = 0 приходящий потенциал Ed f существует в и удовлетворяет уравнению (2.1) in S0;

00 ~ D0

3) для k > 0 приходящий потенциал Ed f существует в и удовлетворяет уравнению (2.1) в D0.

Обсудим теперь вопрос о единственности решения уравнения (2.1), рассматриваемого в пространстве S0. В силу линейности оператора Гельмгольца этот вопрос эквивалентен вопросу о несуществовании нетривиального решения однородного уравнения (2.4). Для исследования этого вопроса применим преобразование Фурье к обеим частям в (2.4). Используя (1.33), получим

F 1 ^ 1 1 d

теоремы 1.11 решение = принадлежит классу Cp C (R ). Здесь Cp1 – подпространство в C1(Rd), состоящее из функций, растущих на бесконечности вместе с производными не быстрее полиномов. Поэтому любое решение 2 S0 уравнения (2.4) необходимо является бесконечно дифференцируемой функцией. Следовательно, справедлива следующая теорема.

Теорема 2.3. При выполнении условия (i) решение 2 S0 уравнения (2.1) единственно, если k00 > 0, и определяется с точностью до аддитивной функции 0 2 Cp1(Rd), удовлетворяющей (2.4), если k00 = 0.

Заметим, что вторая часть теоремы 2.3, касающаяся случая k00 = 0, остается справедливой, если заменить пространство S0 в его утверждении более широким пространством D0. Что касается первой части, то ее справедли-

411

вость нарушается для пространства D0, поскольку при k00 > 0 существуют функции 2 A D0, удовлетворяющие уравнению (2.4) всюду в Rd. Примерами таких функций для d = 3 или 2 являются соответственно:

поэтому 3 2 S0, то при k00 > 0 3 так же, как и фундаментальное реше-

также справедливо и для 2. Приведенные факты находятся в согласии с теоремой 2.3, согласно которой единственным решением уравнения (2.4) в пространстве S0 для k00 > 0 является тривиальное решение = 0.

Эти примеры показывают, что для выделения единственного решения уравнения (2.4) при k00 > 0, рассматриваемого в пространстве D0 S0, следует накладывать дополнительные условия на решение, которые исключают специфические решения типа (2.29) уравнения (2.4) из D0. В качестве

распределение 2 D0 удовлетворяет условию (2.31), если его сужение jBe на внешность Be шара BR принадлежит C(Be) и удовлетворяет (2.31). Поскольку любая функция 2 C1(Rd), удовлетворяющая (2.31), очевидно принадлежит S0 (см. п. 8.1.3), то справедливо следующее следствие.

Следствие 2.1. При выполнении условия (i) решение 2 D0 уравнения (2.1) при k00 > 0 является единственным в пространстве распределений, удовлетворяющих условию (2.31) для любого m 2 N0. При k00 = 0 решение 2 D0 определяется с точностью до аддитивной функции 0 2 C1( ), удовлетворяющей уравнению (2.4).

8.2.3. Типы и свойства уходящих потенциалов. Множество всех уходящих потенциалов Ed f может быть разбито на несколько классов, в зависимости от поведения носителя suppf. Первый класс состоит из “точечных потенциалов”, т.е. потенциалов, создаваемых обобщенными функциями f с точечными носителями. Физически эти потенциалы отвечают

412

полям, которые порождаются точечными источниками. Элементарный точечный источник, сосредоточенный в точке y 2 Rd, есть монополь. Математически монополь интенсивности q 2 C с центром в y определяется как система (y; q ( ; y)) и будет обозначаться ниже через (y; q). Акустическое поле, создаваемое монополем (y; q), описывается формулой Ed [q ( ; y)] которую с учетом (1.23) можно переписать в виде

Ed [q ( ; y)] = qEd ( ; y) = qEd( ; y):

Наряду с монополем (y; q) существует бесконечное число различных типов точечных источников, сосредоточенных в точке y. С учетом общего вида (1.14) обобщенных функций с точечным носителем они определяются с помощью соответствующих производных -функции и называются мультиполями.

Определение 2.3. Система (пара)

(y; q@ ( ; y)); 2 Nd0; q 2 C

называется –мультиполем порядка j j интенсивности q с центром в точке y и обозначается через (y; q; ).

Мультиполь (y; q; ) порядка j j = 0, очевидно, совпадает с монопо-

Первый мультиполь в (2.32) называется диполем интенсивности q с центром в y, ориентированным в направлении оси xi. Второй мультиполь в (2.32) называется квадруполем интенсивности q с центром в y, ориентированным относительно xi и xj. Акустические поля, порождаемые диполем или квадруполем в (2.32), определяются в силу (1.23) формулами

Обозначим через fxj обобщенную функцию с носителем, сосредоточенным в точке xj. Она определяется в силу (1.15) с помощью переноса на вектор xj линейной комбинации –функции и ее производных. Тогда объемная плотность f соответствующей системы точечных источников, сосредоточечных в xj, и порожденное ими поле, определяются соотношениями

N N

XX

413

Здесь N 2 N – натуральное число, а qj 2 C имеет смысл интенсивности j–го точечного источника. Физически формула (2.34) описывает объемную

Обратим внимание читателя на практическую важность плотностей и полей вида (2.34). Это связано с тем фактом, что на практике в качестве источников звука, как правило, используются точечные источники или решетки вида (2.35) (см. подробнее об этом в [2,3]).

Ко второму классу уходящих потенциалов относятся поверхностные по-

L (s) = 0; L (d) = 0 in Rd n :

Более того, легко видеть, что каждый из потенциалов (s) и (d) удовлетворяет условиям излучения (2.22). Действительно, рассмотрим, например, потенциал простого слоя для случая трех измерений (d = 3). Используя замечание 2.1, имеем в силу (2.19) и условия ' 2 L1( ), что

Z

j (s)(x)j = exp( k00jxj)O(jxj 1) j'1(y)jdSy = exp( k00jxj)O(jxj 1); x ! 1:

Точно так же с учетом второго соотношения в (2.19) выводим

Аналогичные результаты справедливы для потенциала двойного слоя и в

414

Здесь ' и @n@ ( ) соответственно простой и двойной слои на поверхности , определенные в §8.1.1. Формулы (2.38) означают, что потенциалы(s) и (d) являются свертками фундаментального решения обобщенными функциями, имеющими носители, сосредоточенные на некоторой поверхности в Rd (или на линии в R2). В случае, когда '; 2 L1( ), формулы (2.38) эквивалентны формулам (2.36) и (2.37) и могут быть приняты за определение потенциалов простого и двойного слоя. Сформулируем полученные

самой поверхности и при переходе через . Это вопрос изучен достаточно хорошо для гладких и негладких данных в случае, когда является

(d) на и при переходе через аналогичны результатам, приведенным в теоремах 2.3 и 2.4 гл. 7 для обычных (ньютоновских) потенциалов простого и двойного слоя и могут быть найдены в [65].

Третий класс уходящих потенциалов состоит из объемных потенциалов. Согласно определению объемный потенциал (v) определяется формулой(v)=Ed f, где f – произвольная обобщенная функция, носитель которой suppf имеет положительную n–мерную меру Лебега. Мы рассмотрим частный подкласс этого класса, состоящий из потенциалов вида Ed f, где f 2 L1comp(Rd) – произвольная функция. Рассуждая, как и выше, можно показать, что для любой функции f 2 L1comp(Rd) объемный потенциал (v) является измеримой функцией, определяемой формулой

Из (2.13) и (2.14) следует, что Ed отличается лишь аддитивным гладким слагаемым от фундаментального решения оператора Лапласа . Поэтому свойства акустического объемного потенциала (2.39) аналогичны свойствам гравитационного потенциала, определяемого при d = 3 формулой

415

Основываясь на этом, сформулируем следующую теорему об общих свойствах объемного потенциала (2.39) и дадим скетч ее доказательства.

Теорема 2.5. Пусть при выполнении условия (i) f 2 L1comp(Rd) и пусть уходящий потенциал (v) определяется формулой (2.39). Тогда:

(a)(v) принадлежит пространству Wloc2;p(Rd), удовлетворяет уравнению (2.1) п.в. в Rd и для любого открытого ограниченного множества

вRd существует константа C , зависящая от , d; k и p такая, что k (v)kW 2;p( ) C kfkLp;

(b)для d 2 и d=2 < p d, (v) непрерывна по Гельдеру с показателем

< 2 d=p, причем j (v)(x0) (v)(x00)j C1kfkLpjx0 x00j 8x0; x00 2 Rd;

(c)для p > d (v) имеет производную @ (v)=@xi, определенную форму-

лой (2.41), она непрерывна по Гельдеру с показателем < 1 d=p, т.е.

(v) 2 Wlocs+2;p(Rd) и k (v)kW s+2;p( ) C3kfkW s;p(Rd);

4)если, наконец, f 2 Ccompl; (Rd); l 2 N0; 0 < < 1, то (v) 2 Cl+2; (Rd)

иk (v)kCl+2; ( ) C4kfkCl; (Rd).

Здесь константа C3 зависит только от , d; k; s и p, тогда как C4 зависит только от , d; k; l и .

Доказательство. Пусть f 2 L1comp(Rd). Докажем, что L (v) = f в

С этой целью подставим (2.39) в (2.42) и воспользуемся теоремой Фубини для вычисления кратного интеграла. Используя (2.10), получим

ZZ Z

(v)L'dx = [ Ed(x y)f(y)dy]L'dx =

416

Z Z Z

= [ Ed(x y)L'dx]f(y)dy = f(y)'(y)dy:

Это доказывает (2.42). Тот факт, что объемный потенциал (v) удовлетворят условиям излучения (2.22), доказывается по той же схеме, что и для потенциала простого слоя. Доказательство других утверждений аналогично доказательству соответствующих утверждений для гравитационного потенциала (см., например, [64,67,68]) либо следует из них.

§8.3. Условия излучения для уравнения Гельмгольца

Вэтом параграфе мы установим достаточные условия для потенциала

, отличные от условий, указаных в теоремах 2.1 и 2.3, при выполнении которых решение 2 D0 уравнения (2.1) является единственным или, что то же самое, однородное уравнение Гельмгольца (2.4) имеет только тривиальное решение = 0. Рассматривая для определенности случай d = 3, выберем в качестве этого условия второе условие в (2.15), имеющее вид

Наряду с (3.1) будем рассматривать более слабое интегральное условие

(сфера) шара BR радиуса R с центром в начале координат. Определение 3.1. Будем говорить, что распределение 2 D0(R3) удо-

влетворяет условию излучения (3.1) (либо (3.2)), если его сужение jBe на множество Be = R3 nBR для некоторого R > 0 принадлежит классу C1(Be) (в смысле определения 1.5) и удовлетворяет (3.1) (либо (3.2)) в классиче-

В частности, если Imk k00 = 0, то

Z

lim j@ j2 + jkj2j j2 dS = 0: (3.4)

R!1 R @r

417

(3.6) Применяя первую формулу Грина (1.37) к функциям и в BR и учитывая, что = k2 в BR в силу (2.4) и @ =@n = @ =@r на R, имеем

Подставляя (3.8) в (3.6), приходим к (3.3).

Заметим, что все слагаемые в левой части (3.3) неотрицательны. Поэтому каждое из слагаемых будет стремиться к нулю, поскольку их сумма стремится к нулю при R ! 1. Отсюда вытекает следующее следствие.

Следствие 3.1. При выполнении условий леммы 3.1

ло R > jxj и применим формулу интегрального представления (2.10) для функции в шаре BR. Поскольку L = 0 и @=@ny = @=@jyj, то получим

Перейдем здесь к пределу R ! 1. Из (2.20) следует, что при любом k00 0 фундаментальное решение E удовлетворяет следующим условиям:

Учитывая (3.11), а также соотношения (3.2) и (3.9) для , легко выводим, используя неравенство Коши–Буняковского в (1.3) для оценки интегралов

418

по R, что оба интеграла по R стремятся к нулю, когда R ! 1. Это означает, что (x) = 0.

Другими словами, теорема 3.1 означает, что не существует нетривиального решения 2 C2(R3) однородного уравнения Гельмгольца (2.4), удовлетворяющего интегральному условию излучения (3.2). Поскольку C2(R3)D0(R3), то с учетом свойства эллиптической регулярности заключаем, что решение уравнения Гельмгольца (2.1) является единственным в пространстве D0(R3) распределений, удовлетворяющих условию излучения (3.1) или (3.2) ( в смысле определения 3.1).

Определение 3.2. Задачу нахождения распределения 2 D0(R3), удовлетворяющего уравнению Гельмгольца (2.1) в D0(R3) и условию излучения (3.2), будем называть задачей излучения в R3.

Из теоремы 3.1 вытекает следующий результат.

Следствие 3.2. При выполнении условия (i) задача излучения (2.1), (3.2) можеть иметь не более одного решения 2 D0(R3).

Для доказательства существования решения задачи излучения достаточно, в силу теоремы 2.2, показать, что уходящий потенциал E3 f удовлетворяет (3.2) или (3.1). В частном случае, когда f 2 L1comp(R3), этот факт следует, очевидно, из теоремы 2.5. В самом деле, согласно этой теореме объемный потенциал (v), определенный при d = 3 в (2.40), удовлетворяет уравнению (2.1) в D0(R3) и обоим условиям излучения в (2.15), а, следовательно, (v) удовлетворяет (3.2). Таким образом, справедлива следующая теорема.

Теорема 3.2. Пусть при выполнении условия (i) f 2 L1comp(R3). Тогда решение 2 D0(R3) задачи излучения (2.1), (3.2) существует, единственно и определяется формулой (2.40).

Обсудим теперь различные формы условий излучения. Мы начнем с напоминания хорошо известного факта, доказанного впервые в [69], что любое решение однородного уравнения (2.4), удовлетворяющее условию (3.1), удовлетворяет первому условию Зоммерфельда, имеющему при k00 = 0 вид

(равномерно во всех направлениях). Сейчас мы в состоянии доказать этот

факт строго для любого распределения 2 D0( e) c L 2 Dcomp0 ( e), гдеe – неограниченная область. Более точно, предположим, что

(ii) e – связная неограниченная компонента внешности ограниченного открытого множества с границей = @ .

Условие (ii) допускает возможность того, что граница множества состоит из нескольких компонент. В самом деле, в этом случае внешность c области состоит из конечного числа компонент, одна из которых неограничена. Именно эта компонента из c обозначается через e. В случае, когда граница множества связна, e совпадает с c, причем @ = @ e.

419

Определение 3.3. Распределение 2 D0(e) назовем “излученным” решением оператора Гельмгольца L в e (или излученным полем), если:

1)L имеет компактный носитель supp L ;

2)6 0 вне носителя suppL ;

3)удовлетворяет интегральному условию излучения (3.2). “Излученное” решение оператора Гельмгольца является аналитиче-

ской функцией вне suppL . Это следует из свойства элиптической регулярности. Отсюда вытекает следующий результат.

Следствие 3.3. Пусть при выполнении условий (i), (ii) “излученное” решение оператора Гельмгольца обращается в нуль в открытом подмножестве Q, расположенном вне supp L . Тогда 0 вне supp L .

Лемма 3.2. Пусть при выполнении условий (i), (ii) является “излученным” решением оператора Гельмгольца в e. Тогда

Здесь r = jxj, 0 = R0 – сфера радиуса R0, содержащая внутри себя множество и носитель supp L , BR0R – ограниченная область (сферический слой), расположенная между сферами R0 и R.

Доказательство. Для доказательства достаточно заметить, что множество и suppL находятся внутри сферы 0 = R0 достаточно большого радиуса R0. Это означает, что = k2 вне 0. Поэтому, применяя первую формулу Грина (1.37) к функциям и в области BR0R и учиты-

(3.14) Рассуждая далее, как при доказательстве леммы 3.1, отсюда выводим (3.13).

Отметим, что правая часть в (3.13) не обязательно равна нулю. Поэтому, в отличие от (3.9), из (3.13) вытекает следующий результат.

Следствие 3.4. В условиях леммы 3.2 справедливо равенство

Z

R

Теоремма 3.3. Пусть выполняются условия леммы 3.2 для “излученного” решения . Тогда в любой точке x такой, что jxj > R0, справедливо

420