emph_f

умножения, то она является непрерывной из S0 в S0 при умножении на

функцию a 2 M . Следовательно, если f 2 S0, то @ f 2 S0 для каждого2 Nd0, yf 2 S0 для любого y 2 Rd, f 2 S0 и af 2 S0 для любого a 2 M . Приведем теперь несколько примеров распределений медленного роста.

(a) Любая полиномиальная функция f в Rd определяет распределение

R

медленного роста по формуле hf; 'i = f(x)'(x)dx 8' 2 S.

(b)Любая локально интегрируемая функция f такая, что jxj mjf(x)j ограничена (почти всюду) при jxj ! 1 для некоторого m 2 N0, определяет распределение медленного роста по той же формуле, что и в (a). В частности, Lp(Rd) S0 для 1 p 1.

(c)Если f 2 Dcomp0 , то f может быть продолжена единственным образом

на S0 формулой hf; 'i = hf; 'i 8' 2 S, где 2 D и = 1 в окрестности suppf.

Отметим следующие важные свойства распределений медленного роста.

Теорема 1.6. ( [61]). Линейный функционал f на S принадлежит S0, т.е. f непрерывен на S, тогда и только тогда, когда существует константа C 0 и целое число m 2 N0 такие, что

jhf; 'ij Ck'km; k'km = sup sup(1 + jxj)mjD '(x)j 8' 2 S: (1.26)

j j m x2Rd

Теорема 1.7. ( [11]). Пусть f 2 S0 и g 2 Dcomp0 . Тогда f g 2 S0 и

hf g; 'i = hf g; '(x + y)i 8' 2 S:

Здесь 2 D – произвольная функция, равная 1 в окрестности supp g.

Из теоремы 1.7 следует, что любое распределение медленного роста f является непрерывным функционалом относительно нормы k km, введенной в (1.26), т.е. имеет конечный порядок. (Это утверждение не справедливо для функций f 2 D0).

Для функции ' 2 S определим преобразование Фурье '^ формулой

Z

'^( ) = [F']( ) '(x) exp( ix )dx; (1.27)

где = ( 1; : : : ; d), x = x1 1 + : : : + xd d. Так как S L1(Rd), то преобразование Фурье '^ существует для любой функции ' 2 S. Кроме

того, можно показать, используя свойства пространства S, что

F(D ') = (i ) F'; D (F') = F[( ix) '] 8' 2 S0; 8 2 Nd0: (1.28)

Из (1.28) следует, что формула (1.27) корректно определяет оператор F : S ! S который называют оператором преобразованиям Фурье. Свойства F приведены в следующей теореме [62].

401

Теорема 1.8. Преобразование Фурье F является биективным непрерывным линейным отображением из S в S, причем обратный оператор F 1 определяется следующим образом:

ZZ

(1.30) Первая часть теоремы 1.8 просто означает, что преобразование Фурье F определяет топологический изоморфизм из S в S, в то время как вторая часть описывает фундаментальные свойства оператора F. В частности, первое соотношение в (1.30) известно как равенство Планшереля. Заметим

еще, что формула (1.29) может быть переписана в следующем виде:

Используя двойственность, определим теперь преобразование Фурье на пространстве обобщенных функций S.

Определение 3.12. Для любой обобщенной функции f 2 S0 преобразование Фурье f^ = Ff определяется следующим образом:

Аналогично определяется обратное преобразование Фурье для f 2 S0:

При помощи отношения двойственности легко доказывается следующая теорема.

Теорема 1.9. Преобразование Фурье F из S0 в S0 вместе с формулой (1.32) для F 1 является топологическим изоморфизмом.

Определение преобразования Фурье от распределения медленного роста при помощи отношения двойственности позволяет сохранить введенные выше свойства преобразования Фурье в S и в пространстве S0. В частности,

402

(1.35) Заметим, что преобразование Фурье может быть определено и для функции f, для которой интеграл в (1.27) не имеет смысла. Для приложений в акустике и в квантовой механике важно определить преобразование Фурье

f^ для f 2 L2 = L2(Rd). Этой цели служит следующая теорема из [62]. Теорема 1.10. (Теорема Планшереля). Если f 2 L1 \L2, то f^ принад-

лежит L2 и справедливо равенство Парсеваля

Отображение f ! f^ имеет единственное расширение до непрерывного линейного отображения из L2(Rd) в L2(Rd), которое является изоморфизмом, так что равенство Парсеваля (1.36) с формулой обращения (1.32) справедливо для любой функции f 2 L2. Если функции f и g принадлежат L2, то справедлива формула Планшереля в (1.30).

Альтернативный метод в [64] использует лишь результат о плотности пространства D в L2. Мы закончим этот раздел следующей теоремой, которая часто используется в приложениях (см. [11]).

Теорема 1.11. Пусть f 2 Dcomp0 . Тогда Ff 2 M , причем

[Ff]( ) = hf; exp( ix )i:

Здесь - произвольная функция из C01(Rd), равная 1 в окрестности suppf.

В следующем параграфе мы будем часто использовать первую и вторую формулы Грина (см. подробнее об условиях применимости в § 6.2)

Так как для оператора Гельмгольца L + k2 имеем Luv uLv =uv u v, то из (1.38) получаем вторую формулу Грина для оператора Гельмгольца

403

§ 8.2. Классическое, слабое и фундаментальное решения уравнения Гельмгольца

В этом и следующем параграфах мы детально изучим задачу излучения звука источниками с компактными носителями (т.е. источниками, сосредоточенными в ограниченной области пространства Rd). Математически эта задача заключается в нахождении в неограниченной области e Rd решения уравнения Гельмгольца

удовлетворяющего условиям излучения на бесконечности и граничным условиям на границе = @ e. Здесь обобщенная (в общем случае) функция f имеет смысл объемной плотности источников звука, а k – постоянное вол-

новое число, удовлетворяющее условиям:

(i) k = k0 + ik00, k0 > 0, k00 0.

Сначала мы рассмотрим уравнение Гельмгольца (2.1) в свободном пространстве Rd. Для этого случая будут установлены достаточные условия на данные – пару (k2; f), при которых решение уравнения (2.1) существует и единственно в одном из пространств обобщенных функций S0 или D0. Далее вводится важное понятие уходящего потенциала оператора Гельмгольца L. Он определяется сверткой Ed f плотности f с уходящим фундаментальным решением Ed оператора L. Затем изучаются важнейшие классы уходящих потенциалов: точечный, поверхностный и объемный потенциалы.

В§8.3 будет рассмотрена задача излучения в неограниченной области e

идетально изучена роль условий излучения для выделения в пространстве

обобщенных функций D0( e), единственного решения 2 D0( e) уравнения (2.1), отыскиваемого в пространстве D0( e). С этой целью будет построена теория так называемых “излученных” решений оператора Гельмгольца (или изученных полей) в подпространстве пространства D0( e), состоящем из обобщенных функций с компактным носителем обобщенной функции L . Эта теория естественным образом обобщает теорию излученных решений (radiating solutions) для однородного уравнения Гельмгольца, изложенную в книгах [65,66]. Основываясь на этой теории, мы приведем в § 8.4 некоторые результаты о единственности классических либо обобщенных решений основных внутренних и внешних краевых задач для уравне-

ния Гельмгольца.

8.2.1. Основные определения. Пусть Rd – произвольное откры-

тое множество с границей = @ . Рассмотрим в уравнение Гельмгольца (2.1), где k = k0 + ik00 = const; k0 > 0; k00 0. Классическим решением уравнения (2.1) в обычно называют функцию 2 C2( ), удовлетворяющую (2.1) в каждой точке x 2 . Наряду с этим определением клас-

сического решения мы будем использовать определение слабого решения уравнения (2.1) в смысле распределений. Введем его. Пусть f 2 D0( ).

404

Определение 4.1. Слабым решением (в смысле распределений) уравнения Гельмгольца (2.1) в области называют любую обобщенную функцию 2 D0( ), удовлетворяющую уравнению L = f в D0( ).

Другими словами, под слабым решением уравнения (2.1) понимают такую обобщенную функцию , что

hL ; 'i h + k2 ; 'i = h ; ' + k2'i = hf; 'i 8' 2 D( ): (2.2)

Если, в частности, 2 L1loc( ), то (2.2) может быть переписано в силу

R

(1.4) в виде L'dx = hf; 'i для всех ' 2 D( ). Если, более того, f 2 L1loc( ), то это тождество принимает вид

Гельмгольца (2.4) является на самом деле аналитической функцией. Это следует из свойства локальной эллиптической регулярности (см. §7.1).

с –функцией Дирака в правой части, где y 2 Rd – фиксированная точка. Индекс x у оператора L означает, что L применяется к E как функции от переменной x. Легко проверить, что существует только два решения E( ; y)

405

где H(1) (либо H(2)) – функция Ханкеля первого (либо второго) рода и порядка . В случае, когда d = 2 или 3, формулы (2.7) и (2.8) могут быть

переписаны с учетом свойств функций H1(1)=2 и H1(2)=2 (см. [56]), в виде [11]

~

Каждое из фундаментальных решений Ed и Ed играет для оператора Гельмгольца ту же роль, что и введенное в §6.1 сингулярное решение для оператора Лапласа. В частности, с использованием решения E Ed и второй формулы Грина (1.39) может быть выведена следующая формула интегрального представления гладкой функции 2 C2 в произвольной ограниченной области (см., например, [46, с. 397]):

Эта формула выводится по той же схеме, что и формула (2.12) из § 6.2, и справедлива при тех же предположениях на область и функцию .

Используя (2.10), нетрудно показать, что функция E3( ; y), определяемая формулой

является слабым решением уравнения (2.5), т.е. удовлетворяет тождеству hLxE3( ; y); 'i hE3( ; y); L'i = h ( ; y); 'i = '(y) 8' 2 D( ):

Отсюда и из (2.10) при E = E3 и = ' 2 D( ) вытекает (2.12). Изучим некоторые свойства функции Ed. Отметим прежде, что

406

Здесь C = 2:781::: - константа Эйлера. Из (2.13), (2.14) следует, что фундаментальное решение оператора Гельмгольца имеет такое же поведение при jxj ! 0, что и фундаментальное решение оператора Лапласа. Заметим также, что с учетом свойства эллиптической регулярности функции Ed и

Обозначим через A(Q) пространство функций: Q ! C, которые являются аналитическими в открытом множестве Q Rd. Тогда справедлива следующая лемма.

Лемма 2.1. Пусть при выполнении условия (i) y 2 Rd – произвольная

~

точка. Функции Ed( ; y) и Ed( ; y), введенные в (2.6)–(2.8), удовлетворяют (2.5) в D0(Rd) и принадлежат пространству L1loc(Rd) \ A(Rd n fyg).

~

Изучим различие между Ed и Ed. Прежде всего оно проявляется в их поведении при jxj ! 1. Так, при d = 3 функция E3( ; y) удовлетворяет для любой фиксированной y 2 R3 следующим условиям на бесконечности:

(x) = e k00jxjO(jxj 1); @ (x) ik (x) = e k00jxjo(jxj 1); jxj ! 1; (2.15)

@jxj

вто время, как E3( ; y) удовлетворяет условиям:

407

Это вместе с (2.18) показывает, что E3( ; y) удовлетворяет в действительности более сильным условиям на бесконечности, чем в (2.15), а именно:

E3(x; y) = e k00jxjO(jxj 1); @E3(x; y) ikE3(x; y) = e k00jxjO(jxj 2); jxj ! 1: @jxj

(2.19)

Сформулируем полученные результаты в виде леммы.

Лемма 2.2. При выполнении условия (i) функция E3( ; y) для любой фиксированной точки y 2 R3 удовлетворяет условиям излучения (2.19).

Замечание 2.1. Соотношения (2.19) были выведены при условии, что точка y фиксированная. Ниже мы будем рассматривать ситуацию, когда y будет меняться в некотором множестве Q R3. Подчеркнем, что (2.19) справедливо и в этом случае, если Q ограничено. Мы также отметим, что в силу свойства симметрии функция E3(x; ) как функция от y удовлетворяет для любой фиксированной точки x 2 R3 следующим условиям излучения:

~

Аналогично показывается, что второе фундаментальное решение E3( ; y) удовлетворяет условиям на бесконечности, которые получаются из (2.19) заменой знака минус в левой части второго выражения на плюс.

Наконец, отметим, что при любом d 2 функция Ed( ; y) удовлетворяет для любой фиксированной точки y 2 Rd следующим условиям:

в то время как Ed ( ; y) удовлетворяет условиям:

(2.23)

408

Эти факты являются следствием асимптотического поведения функций Ханкеля в (2.7), (2.8) при jxj ! 1.

Из (2.22) и (2.23) следует, что при k00 > 0 Ed стремится к нулю (экспо-

~

ненциально) на бесконечности, в то время как Ed возрастает экспоненциально при jxj ! 1. Таким образом, математическое различие между Ed и

~ 00

Ed состоит в том, что при k > 0 Ed определяет регулярную обобщенную

~ 2 D0 00 ~

хотя Ed . Если k = 0, то обе функции Ed и Ed стремятся к нулю на бесконечности при d 2 и ограничены при d = 1. Следовательно, они принадлежат S0, будучи локально интегрируемыми функциями в Rd.

~

Физическое различие между Ed и Ed состоит в том, что если Ed( ; y) описывает бегущую или исходящую из точки y звуковую волну, излученную

~

единичным точечным источником с плотностью ( ; y), то Ed описывает приходящую в точку y волну. Чтобы понять смысл этого утверждения,

Ясно, что фаза k0r !t волны (см. об этом понятии в §3.2) в (2.25) сохраняется постоянной на сферах, бегущих из центра y с постоянной скоростью

c = !=k0, тогда как амплитуда exp( k00r)=4 r убывает экспоненциально, если k00 > 0 либо ведет себя как O(jxj 1) при jxj ! 1, если k00 = 0.

Это означает в соответствии с физическим смыслом решений волнового уравнения (2.24), что функция (2.25) описывает волну со сферическим волновым фронтом, исходящим из центра y. Наоборот, для функции

фаза k0r + !t постоянна на сферах, приходящих в центр y с той же скоро-

стью c = !=k0, тогда как амплитуда exp(k00r)=4 r возрастает экспоненциально, если k00 > 0, и убывает как O(jxj 1), если k00 = 0, при jxj ! 1.

Комплексную амплитуду E3( ; y) волны (2.25) называют уходящей (либо

~

исходящей) сферической волной с центром y, тогда как E3( ; y) называют приходящей (в центр y) сферической волной. В соответствии с вышесказанным часто ссылаются на (2.22) (либо (2.23)) как на уходящие (либо приходящие) условия излучения для Rd.

409

Конечно, эта терминология согласуется с формой e i!t временного фактора, введенного нами в §1.6 при выводе уравнения Гельмгольца, описывающего распространение гармонических по времени звуковых волн. Если же выбрать в качестве этого множителя e+i!t, то введенные названия E3 и

~

E3 следует поменять.

~

Подобным образом функцию E2( ; y) (либо E2( ; y)) называют уходящей

(либо приходящей) цилиндрической волной с центром y. Наконец, функ-

~

цию E1( ; y) (либо E1( ; y)) называют уходящей (либо приходящей) плоской волной с центром y (см. подробнее о смысле этих понятий в §3.2).

8.2.2. Уходящие и приходящие акустические потенциалы. Вернемся к уравнению Гельмгольца (2.1) с произвольной обобщенной функцией f в правой части. Отметим, что знание фундаментального решения

уравнения Гельмгольца (2.1) для широкого класса правых частей f, кото-

~

рые могут быть свернуты с Ed (либо с Ed). В самом деле, пусть, например, свертка Ed f существует в D0 D0(Rd). Тогда из (1.24) следует, что

L(Ed f) = (LEd) f = f = f:

Более того, это решение Ed f уравнения (2.1) является единственным в классе распределений , для которых свертки с Ed существуют в D0. Чтобы доказать этот факт, достаточно показать, что соответствующее однородное уравнение Гельмгольца (2.4) имеет только нулевое решение в упомянутом классе. Но последнее является очевидным, так как если является решением уравнения (2.4), то из (1.23) и (1.24) вытекает, что

= = LEd = L Ed = 0:

Это решение единственно в классе таких распределений 2 D0(Rd), для

~

которых существует свертка Ed (либо Ed).

В §1.6 было показано, что уравнению Гельмгольца удовлетворяет амплитуда как звукового давления, так и потенциала звукового поля. Используя вторую интерпретацию, введем следующее важное определение.

Определение 2.2. Для любого распределения f 2 D0(Rd) свертку =

~ ~

Ed f (либо = Ed f) будем называть уходящим (либо приходящим)

потенциалом.

410