emph_f

ГЛАВА 8. Элементы теории акустических полей в однородных средах

§8.1. Элементы теории обобщенных функций

Вэтом параграфе мы приведем некоторые часто используемые в следующих параграфах факты и понятия из теории обобщенных функций и функциональных пространств. Подробное изложение соответствующих вопросов см. в [11,62] и в других учебниках и монографиях.

8.1.1. Предварительные сведения. Пусть – произвольное открытое множество в пространстве Rd d измерений, d = 1; 2; : : :. Обозначим через L1( ) пространство, состоящее из комплекснозначных интегрируе-

мых по Лебегу функций на , т.е. из функций f : ! R (а точнее классов

R

функций, совпадающих почти всюду на ), для которых jf(x)j dx < 1. Здесь dx – мера Лебега. Через Lp( ); p 1 обозначим линейное нормированное пространство измеримых суммируемых с p-й степенью функций f : ! R с нормой kfkLp( ), определяемой формулой

Z

kfkLp( ) = ( jf(x)jp dx)1=p при 1 p < 1: (1.1)

Через L1( ) обозначим нормированное пространство существенно ограниченных (т.е. ограниченных почти всюду на ) функций f с нормой

При любом p 2 [1; 1] пространство Lp( ) является банаховым.

Функцию f : ! R назовем локально интегрируемой в , если инте-

R

грал K jf(x)j dx ограничен на каждом компакте K . Множество всех локально интегрируемых в функций обозначим через L1loc( ). Аналогич-

но определяется пространство Lploc( ), 1 < p < 1.

Ниже будем широко использовать два известных неравенства

Первое справедливо для норм любого нормированного пространства, а второе, называемое неравенством Коши–Буняковского или неравенством Шварца, справедливо для скалярного произведения и норм любого гильбертова (либо евклидова) пространства.

Носителем непрерывной функции ' : Rd ! C называется замкнутое множество supp ' = fx 2 Rd : '(x) 6= 0g. Функция ' : Rd ! R называется финитной, если ее носитель есть компакт. Обозначим через C01( )

391

множество всех комплекснозначных бесконечно дифференцируемых фи-

Пространство C01( ), наделенное указанной сходимостью, называется пространством основных или тестовых функций и обозначается через D( ). Подчеркнем, что введенная сходимость обеспечивает полноту пространства D( ) [11,61,62]. Это означает, что любая фундаментальная последователь-

ность f'kg1k=1 из D( ) сходится в D( ) к некоторой функции ' 2 D( ). При = Rd соответствующее пространство обозначим через D(Rd) или

просто через D. Ясно, что D( ) D(Rd) для каждого открытого подмножества Rd.

Важную роль играет пространство D0( ), двойственное к D( ), т.е. пространство всех линейных непрерывных функционалов над D( ). Элементы из D0( ) называются обобщенными функциями или распределениями

на D( ). Будем обозначать их малыми латинскими буквами, а основные функции малыми греческими буквами. Значение элемента f 2 D0( ) на функции ' 2 D( ) будем обозначать через hf; 'i hf; 'iD0( ) D( ). Определим сходимость в D0( ) как слабую сходимость последовательности функционалов (см. [11, с. 90]). Согласно этому определению последова-

тельность обобщенных функций f1; f2; ::: из D0( ) сходится к обобщенной функции f 2 D0( ), если hfk; 'i ! hf; 'i в при k ! 1 для любой ' 2 D( ). Множество D0( ), наделенное естественными операциями сло-

жения элементов, умножения на комплексное число и введенной слабой сходимостью, образует полное пространство [11, c. 90], называемое пространством обобщенных функций. По определению пространства D0( )

для каждой обобщенной функции f 2 D0( ) выполняются условия:

Наконец, если f, fk 2 D0( ), k = 1; 2; : : :, то условие fk ! f в D0( ) при k ! 1 означает по определению слабой сходимости, что hfk; 'i ! hf; 'i в

C при k ! 1 для всех ' 2 D( ).

Простейшим примером обобщенной функции является функционал f~, порождаемый локально интегрируемой функцией f с помощью формулы

Z

h ~ i 8 2 D

f; ' = f(x)'(x) dx ' ( ): (1.4)

Формула (1.4) определяет линейное отображение пространства L1loc( ) в D0( ). Можно показать, что оно инъективно [11, c. 95]. В силу этого при-

392

нято локально интегрируемые (в частности, просто интегрируемые либо непрерывные) функции f и отвечающие им согласно (1.4) распределения f~ отождествлять, называя последние регулярными, и обозначать их теми же символами, что и сами функции. Все остальные распределения называются сингулярными. По аналогии с регулярными распределениями сингулярные распределения g часто записывают в виде g(x), понимая под x аргумент основных функций, на которые действует функционал g.

Важным примером сингулярного распределения является так называемая -функция Дирака (x; x0), определяемая при x0 2 формулой

При x0 = 0 полагаем, по определению, (x; 0) (x). По своему физическому смыслу -функция (x; x0) описывает плотность единичного источника (масс, зарядов и т.д.), сосредоточенного в точке x0.

Пусть f 2 C1( ). Тогда @f=@xi 2 C0( ). Если при этом граница является гладкой, например из класса C1, либо кусочно–гладкой, то справедлива следующая формула интегрирования по частям (см. § 6.2):

Здесь и ниже n = (n1; :::; nd) – единичный вектор внешней нормали к границе , feigdi=1 – единичные орты декартова базиса, d – элемент площади поверхности . Если, более того, ' 2 D( ), то последнее слагаемое в (1.6) равно нулю. Поскольку функции f и @f=@xi представляют собой (точнее, порождают) распределения, то (1.6) можно переписать в виде

Формула (1.7) лежит в основе определения операции дифференцирования в пространстве D0( ).

Определение 1.1. Обобщенной производной по xi от f 2 D0( ) называется обобщенная функция @f=@xi, определенная формулой (1.7).

Подчеркнем, что введенное определение производной от обобщенной функции не требует выполнения какого-либо условия на гладкость границы вследствие финитности тестовых функций в (1.7).

Аналогичным образом определяются обобщенные производные второго и более высоких порядков. Таким образом, любая обобщенная функция f 2 D0( ) является бесконечно дифференцируемой, а ее производная @ f; 2 Nd0 определяется формулой h@ f; 'i = ( 1)j jhf; D 'i для всех ' 2 D( ), являющейся естественным обобщением формулы (1.7). Легко проверить при этом, что оператор дифференцирования @ является линейным и непрерывным оператором, действующим из D0( ) в D0( ).

393

Замечание 1.1. Из определения операции дифференцирования в D0( )

следует, что обычная (классическая) производная от функции f 2 C1( ) является обобщенной производной. Справедливо в определенном смысле и обратное: если все обобщенные производные @f=@xi; i = 1; 2; :::; d, распределения f принадлежат пространству C0( ), то f 2 C1( ), а @f=@xi является классической производной от функции f по переменной xi.

Пусть далее f 2 D0( ) и a 2 C1( ) – произвольные функции. Нетрудно показать, что элемент af, определяемый формулой haf; 'i = hf; a'i для всех ' 2 D( ), является линейным непрерывным функционалом на D( ),

т.е. af 2 D0( ). Этот элемент af называется произведением C1-функции a и распределения f 2 D0( ).

Пусть Rd – произвольная область. На основе приведенных определений дифференцирования и умножения на C1-функцию в пространстве D0( ) можно вводить более сложные дифференциальные операторы.

Определение 1.2. Оператором Лапласа в пространстве D0( ) называется оператор : D0( ) ! D0( ), определяемый формулой h u; 'i = hu; 'i для всех ' 2 D( ). Точно так же оператором Гельмгольца в D0( )

называется оператор L + k2 : D0( ) ! D0( ), где k = const либо

где f – произвольная обобщенная функция. Говорят, что обобщенная функция u является слабым решением в смысле обобщенных функций (или в смысле распределений) уравнения (1.9), и записывают этот факт в видеu = f в D0( ), если выполняется условие

Если, в частности, u является локально интегрируемой функцией, т.е.

R

u 2 L1loc( ), то (1.10) можно переписать в виде u ' dx = hf; 'i для всех ' 2 D( ). Если, кроме того, f 2 L1loc( ), то (1.10) принимает вид

394

где y 2 – фиксированная точка. Простой анализ (см., например, [11]) показывает, что при d 2 его слабым решением, зависящим от расстояния jx yj, является (с точностью до множителя) функция

где !d – площадь поверхности единичной сферы в Rd. Функция Ed(x; y), определяемая формулами в (1.13) при d 2, называется сингулярным решением оператора Лапласа в Rd с центром в точке y. Свойства этого решения были изучены в § 6.1. Аналогичным образом вводится понятие сингулярного решения оператора Гельмгольца (этим мы займемся в § 8.2).

Хотя не имеет смысла говорить о значении распределения f в точке x 2 , тем не менее можно корректно определить смысл того факта, что распределение обращается в нуль в открытом подмножестве .

Определение 1.3. Для любого распределения f 2 D0( ) и любого открытого подмножества 0 из говорят, что f = 0 в 0, если < f; ' >= 0 для каждой функции ' 2 D( 0).

В соответствии с этим определением будем говорить, что f 2 D0( ) яв-

ляется нулем, если f = 0 в , и что f1; f2 2 D0( ) равны, если f1 f2 = 0 в . Можно показать (см. [62]), что для любого распределения f 2 D0( )

существует наибольшее открытое подмножество 0 , на котором f обращается в нуль. Следовательно, естественно определить носитель распределения f 2 D0( ) следующим образом.

Определение 1.4. Носителем распределения f 2 D0( ) называется дополнение в наибольшего открытого подмножества , где f = 0.

Носителем, например -функции ( ; y), является fyg, так как

h ( ; y); 'i = 0 8' 2 D( fyg):

Аналогично, носителем -функции является одноточечное множество f0g. То же справедливо и для каждой производной @ от и для любой конечной финитной линейной комбинации вида (где m 2 N0 - целое число)

m

Здесь C – произвольные константы. Обратное следует из теоремы [61].

Теорема 1.1. Если носитель распределения f есть f0g, то f единственным образом представимо в виде (1.14).

Нетрудно показать [11], что если f = 0 в 0 , то @ f = 0 в 0 для любой 2 Nd0. Это означает, что supp@ f suppf 8 2 Nd0.

Определение 1.5. Для любого распределения f 2 D0( ) и открытого подмножества 0 из будем говорить, что сужение fj 0 принадлежит

395

пространству L1loc( 0), или просто, что f 2 L1loc( 0), если fj 0 совпадает в0 с функцией f1 2 L1loc( 0) в том смысле, что hf; 'i = R 0 f1(x)'(x)dx

для любой ' 2 D( 0). Пространство L1loc( 0) здесь может быть заменено на Lploc( 0), Cm( 0), где m 2 N0, и т.д.

Для любой функции f на Rd назовем ее отражением в 0 функцию f, определенную на Rd формулой f(x) = f( x). Определим также переносy функции f посредством вектора y 2 Rd следующим образом: yf(x) = f(x y) для любого x 2 Rd. По двойственности, мы распространим эти определения на D0(Rd) следующим образом:

В частности, в случае -функции Дирака имеем

h i h i h i h i h i

= ; y ; ' = ; y' = ; '( + y) = '(y) = y; ' = ( ; y); ' :

(1.15) По аналогии с обычной функцией, вторая часть формулы (1.15) может быть переписана формально в виде

y = y = (x; y) = (x y):

Обычно используется одна из таких (эквивалентных) форм записи функции Дирака с центром в точке y.

Рассмотрим еще два обобщения -функции в виде -слоев на поверхности . Пусть g 2 L1( ) - произвольная функция.

Определение 1.6. Распределение g , определенное соотношением

Z

hg ; 'i = g(x)'(x)dS 8' 2 D(Rd); (1.16)

называется простым слоем на поверхности с плотностью g. Распределение @n@ (g ), определенное соотношением

называется двойным слоем на поверхности .

Ясно, что hg ; 'i = 0 для любой ' 2 D с ' = 0 на . В силу определения

1.4 это означает, что supp(g ) . Точно так же supp[ @n@ (g )] . Физически распределение g описывает, например, плотность распределения

простых точечных источников (монополей) на поверхности с поверхностной плотностью g. Аналогично, распределение @n@ (g ) описывает плотность распределения диполей на поверхности , ориентированных вдоль направления нормали n с поверхностной плотностью моментов g.

396

8.1.2. Прямые произведения и свертки. Пусть i – открытое множество в Rdi; i = 1; 2. Тогда произведение 1 2 = f(x; y) : x 21; y 2 2g является открытым множеством в евклидовом пространстве Rd1+d2 = Rd1 Rd2 . Если f – функция на 1 и g – функция на 2, то определим прямое, или тензорное, произведение f g на 1 2 формулой

(f g)(x; y) = f(x)g(y):

Ясно, что (f g)(x; y) = (g f)(y; x) для каждой пары (x; y) 2 1 2. Будем обозначать через C01( 1) C01( 2) линейное пространство функ-

ций '( ; ) : 1 2 ! C, которые можно представить в виде конечной

суммы произведений вида '1( )'2( ) с 'i 2 C01( i); i = 1; 2. Это – подпространство линейного пространства C01( 1 2), и, более того, оно является

его плотным подпространством [63]. Пусть fi – распределение в i; i = 1; 2, ' 2 C01( 1 2). Для фиксированной точки y 2 2 функция '( ; y) при-

надлежит C01( 1) и f1 отображает '( ; y) в число hf1; '( ; y)i, которое может быть записано следующим образом: hf1; 'i(y). Следовательно, hf1; 'i

– функция на 2. Аналогично, hf2; 'i – функция на 1. Важно отметить, что hf1; 'i и hf2; 'i сохраняют все свойства гладкости на пространстве те-

стовых функций D( 1 2). Это следует из следующей теоремы [62].

Теорема 1.2. Если '( ; ) 2 D( 1 2) и f1 2 D0( 1), то hf1; 'i 2 D( 2) и Dyhf1; 'i = hf1; Dy'i для любого мультииндекса 2 Nd02 .

Если f 2 L1loc( 1) и g 2 L1loc( 2), то f g, очевидно, принадлежит L1loc( 1 2). Если 'i 2 D( i), то '1 '2 2 D( 1 2), причем

Z

hf g; '1 '2i = f(x)g(y)'1(x)'2(y)dxdy = hf; '1ihg; '2i:

1 2

Следующая теорема (см. [62]) обобщает этот результат.

Теорема 1.3. Если fi 2 D0( i); i = 1; 2, то существует единственное распределение f1 f2 2 D0( 1 2), определяемое формулой

hf1 f2; '1 '2i = hf1; '1ihf2; '2i

для всех тензорных произведений '1 '2, где 'i 2 D( i), и такое, что

hf1 f2; 'i = hf1; hf2; 'ii = hf2; hf1; 'ii 8' 2 D( 1 2):

Определение 1.7. Если fi 2 D0( i), то распределение f1 f2 = f2 f1 называется прямым (тензорным) произведением распределений f1 и f2.

Строго говоря, распределения f1 f2 и f2 f1 действуют на двух разных пространствах и их равенство нужно понимать как равенство их образов. Если suppfi = Ki и ' 2 D( 1 2) с supp' ( 1 K1) 2 или 1 ( 2

397

K2), то, очевидно, hf1 f2; 'i = 0. Следовательно, hf1 f2; 'i = 0, если

supp' принадлежит ( 1 2) (K1 K2). Поэтому supp (f1 f2) K1 K2. С другой стороны, равенство hf1 f2; '1 '2i = hf1; '1ihf2; '2i для любой пары функций 'i 2 D( i) означает, что K1 K2 supp (f1 f2). Поэтому

мы имеем

Вкачестве примера рассмотрим две -функции and , где 2 1,

2 2. Тогда supp = f g, supp = f g, а из (1.18) имеем, что supp (

) = f( ; )g 2 1 2. Из теоремы 1.3 следует, что прямое произведение-функций и определяется формулой = ( ; ). Здесь ( ; ) – “двумерная” -функция, действующая по формуле

Введем теперь важное понятие свертки двух распределений. Начнем со свертки двух функций. Обозначим через CK1(Rd) множество всех основных функций ' 2 D(Rd), носители которых содержатся в компакте K.

Определение 1.8. Для любых функций f 2 L1loc(Rd) и ' 2 CK1(Rd), где K компактное подмножество Rd, определим свертку f и ' как функцию

f ' : Rd ! C, действующую по формуле

Z Z

(f ')(x) = f(x y)'(y)dy = f(y)'(x y)dy; x 2 Rd: (1.20)

Заметим, что свертка f ' также определена, если ' – непрерывная функция с компактным носителем в Rd, причем f ' является локально интегрируемой функцией в Rd. Но свертка может не быть определена в случае, когда supp' не является компактом.

Определение 1.9. Для любых распределений f1; f2 2 D0 определим их свертку f1 f2 следующим образом:

определена в общем случае. Однако если f1 либо f2 имеет компактный носитель, то в силу этого правая часть в (1.21) становится корректно определенной как распределение из D0, причем с учетом равенства f1 f2 = f2 f1 имеем

398

Обозначим через Dc0 Dcomp0 линейное подмножество в D0 = D0(Rd), состоящее из распределений с компактными носителями. Хотя свертка двух распределений всегда определена в D0, когда одно из них принадлежит Dcomp0 , это условие не является необходимым. Ограниченная (измеримая) функция g, например, может быть свернута с функцией f 2 L1(Rd) так как

R

интеграл f(y)g(x y)dy ограничен величиной MkfkL1 , где M = kgkL1. Следовательно, если f 2 L1(Rd) и g 2 L1(Rd), то f g 2 L1(Rd) и

kf gkL1 kfkL1 kgkL1. Этот факт является частным случаем теоремы.

Теорема 1.4. ( [62]). Пусть f 2 L1(Rd) и g 2 Lp(Rd); 1 p 1. Тогда f g 2 Lp(Rd) и kf gkLp kfkL1 kgkLp.

Вкачестве примера рассмотрим свертку функции f 2 D0 с -функцией. По определению

hf ; 'i = hf ; '(x+y)i = hfy; h ; '(x+y)ii = hfy; '(y)i = hf; 'i 8' 2 D:

Это означает, что является единичным элементом операции свертки . Более того,

h@ f; 'i = hfy; h(@ )x; '(x + y)ii = ( 1)j jhfy; D '(y)i = h@ f; 'i:

Следовательно

f = f = f и @ f = (@ ) f = @ f 8f 2 D0 в 2 Nd0: (1.23) Отметим несколько основных свойств операции свертки f1 f2:

(1)supp(f1 f2) suppf1+ suppf2 если f1 (либо f2) принадлежит Dcomp0 .

(2)( f1 + f2) g = (f1 g) + (f2 g), если f1 g и f2 g существуют.

(3)f1 (f2 f3) = (f1 f2) f3 = f1 f2 f3, если две из функций f1; f2

иf3 принадлежат Dcomp0 .

(4)yf = y f 8f 2 D0, y(f1 f2) = ( yf1) f2 = f1 ( yf2) 8y 2 Rd,

если одна из функций f1 или f2 принадлежит Dcomp0 .

Используя свойства (1)–(4) и (1.23), легко получаем еще одно важное свойство свертки:

@ (f1 f2) = @ f1 f2 = (@ f1) f2 = f1 (@ f2) 8 2 Nd0: (1.24)

(1.24) справедливо в случае, если свертка (f1 f2) существует [11]. Замечание 1.2. Первая формула в (1.23) означает, что любое распре-

деление f 2 D0 может быть разложено по -функциям ( ; y). Данную формулу можно переписать формально в виде

Z

f(x) = f(y) (x y)dy 8f 2 D0: (1.25)

Эту формулу часто трактуют так, что любое материальное тело состоит из точечных масс, любой источник состоит из точечных источников и т.д. (см. подробнее об этом в [11]).

399

8.1.3. Обобщенные функции медленного роста и преобразование Фурье

Определение 1.10. Говорят, что функция ' 2 C1(Rd) быстро убывает на бесконечности, если

sup jx D '(x)j < 1 8 ; 2 Nd0:

x2Rd

Это условие эквивалентно одному из следующих условий:

Мы будем использовать символ S S(Rd) для обозначения множества всех быстро убывающих функций, которые, очевидно, составляют линейное пространство относительно обычных операций сложения и умножения на комплекснозначный скаляр. Ясно, что D S и из сходимости в D следует сходимость в S. Однако S не совпадает с D; например, функция e jxj2 принадлежит S, но не принадлежит D. Отметим также, что x D ' принад-

лежит S для любой пары ; 2 Nd0, если ' 2 S. Сходимость в S вводится следующим образом: 'k ! ' в S при k ! 1 если x D 'k(x) ! x D '(x) равномерно в Rd для любых ; 2 Nd0. Заметим, что операция дифферен-

цирования D является непрерывной из S в S. С другой стороны, произведение a' функций a 2 C1 и ' 2 S, вообще говоря, не принадлежит S. Например, exp(jxj2) exp( jxj2) = 1 62 .SОднако если функция a 2 C1

имеет полиномиальный рост на 1, так что jD a(x)j C (1 + jxj)m для любого 2 Nd0 с некоторой константой C и целым m , зависящими от, то a' 2 S для каждой ' 2 S. Если обозначить множество упомянутых функций a через M , то операция умножения на функцию a 2 M становится непрерывной в S.

Определение 1.11. Обощенной функцией (или распределением) медленного роста называется линейный непрерывный функционал на S.

Обозначим через S0 S0(Rd) линейное многообразие всех обобщенных функций медленного роста. Определим сходимость в S0 как слабую сходимость последовательности функционалов (как в случае пространства D0). Можно показать, что пространство S0 с так введенной сходимостью является полным топологическим пространством. Оно называется пространством обобщенных функций (или распределений) медленного роста. Следующая теорема из [62] устанавливает связь между S0 и D0.

Теорема 1.5. Топологические векторные пространства D; S и D0; S0 связаны следующим образом: D S и S0 D0, причем вложения непрерывны. Более того, D – плотное подпространство в S.

Определения операций дифференцирования, переноса и отражения, определенные в D0, применимы и к элементам из S0. Что касается операции

400