emph_f

По аналогии с прямым значением потенциала двойного слоя (2.4) прямым значением потенциала простого слоя в точке x0 2 назовем несобственный интеграл

(2.39) Как и в п. 7.2.2, будем рассматривать значения потенциала простого слоя (2.34) в круге B"=2(x0), в том числе и в точках, лежащих на участке границы . Рассуждая, как и в п. 7.2.2, перепишем (2.34) с учетом (2.38) в

следующем виде:

По своей структуре формула (2.40) аналогична формуле (2.27). В частности, первые два интеграла в (2.40) являются гармоническими функциями точки x 2 B"=2(x0), тогда как третье слагаемое принадлежит в силу теоремы 1.1 пространству C1(R2). В то же время поведение последнего слагаемого в (2.40) отличается от поведения последнего слагаемого в (2.27). Действительно, в силу первого условия в (2.37), согласно которому v равна нулю на 0", функция qv, равная v в B"(x0), стремится к нулю при x ! x0. Поэтому функция qv является непрерывной в B"(x0). Отсюда следует важный вывод о том, что потенциал простого слоя (в отличие от потенциала двойного слоя) является непрерывным при переходе через границу . Тем не менее нормальная производная от потенциала простого слоя при переходе через границу претерпевает разрыв, который, как легко проверить, определяется соотношениями

371

В формулах (2.41) и (2.42) @u(x0)=@n представляет собой прямое значение производной по нормали от потенциала простого слоя (2.34), определяемое формулой (сингулярным интегралом)

Сформулируем полученные результаты.

Лемма 2.3. При выполнении условий (i), (ii) прямое значение потенциала простого слоя u(x0) : ! R является непрерывно дифференцируемой функцией в каждой точке x0 2 , т. е. принадлежит классу C1( ).

Теорема 2.2. При выполнении условий (i); (ii) потенциал простого слоя (2.34) при переходе точки x из области в область e через точку x0 2 остается непрерывным, а его нормальная производная @u=@n претерпевает разрыв со скачками, определяемыми формулами (2.41), (2.42).

7.2.4. Обзор дополнительных свойств потенциалов простого и двойного слоя. Установленные выше свойства потенциала двойного слоя (2.4), описываемые леммами 2.1, 2.2 и теоремой 2.1, и потенциала простого слоя (2.34), описываемые леммой 2.3 и теоремой 2.2, справедливы и в случае n 3 измерений, причем при более слабых предположениях относительно гладкости границы области и плотности . Ограничимся здесь приведением формулировок соответствующих утверждений. Доказательства можно найти, например, в [35]. Предварительно введем понятие поверхности Ляпунова.

Говорят, что замкнутая ограниченная поверхность S является поверхностью Ляпунова, если она удовлетворяет следующим условиям:

1)в каждой точке x 2 существует касательная плоскость и, следовательно, нормаль n = n(x);

2)существует такое число r0 > 0, что для любой точки x 2 множество

[ Br0 (x) связно, так что [ Br0 (x) является окрестностью точки x на поверхности , и оно пересекается прямыми, параллельными нормали nx, не более, чем в одной точке;

3)поле нормалей непрерывно по Гельдеру с некоторым показателем 1 на , т. е. существуют числа 1 и C > 0 такие, что

Из приведенного определения вытекает, что поверхности Ляпунова принадлежат классу C1. С другой стороны, всякая ограниченная замкнутая

372

Теперь мы в состоянии сформулировать теоремы об основных свойствах потенциалов простого и двойного слоя. Пусть выполняются условия:

(j) – ограниченное открытое множество пространства Rn, граница

(jj) 2 C( ).

Теорема 2.3. Пусть выполняются условия (j), (jj). Тогда:

1) потенциал двойного слоя и, введенный формулой (2.1), определен для всех x 2 Rn и, в частности, для x 2 и удовлетворяет условию на бесконечности, имеющему вид

2)всюду в Rn n потенциал двойного слоя (2.1) имеет производные всех порядков (т. е. u 2 C1(Rn n )) и удовлетворяет уравнению Лапласа, причем производные по координатам точки x можно вычислять дифференцированием под знаком интеграла;

3)при переходе через границу потенциал двойного слоя (2.1) испытывает разрыв. Предельные значения изнутри u+(x0) и извне u (x0) для каждой точки x0 2 существуют и определяются формулами:

При этом сингулярный интеграл (прямое значение потенциала двойного слоя)

в формулах (2.45) и (2.46) как функция точки x0 2 принадлежит пространству C( ). Кроме того, u+ 2 C( ), u 2 C( e);

4)если в дополнение к (jj) 2C ( ) и , то u+2C ( ), u 2 C ( e),

аинтеграл (2.48) как функция x0 2 принадлежит C ( ).

Теорема 2.4. Пусть выполняются условия (j), (jj). Тогда:

373

1)потенциал простого слоя u, введенный формулой (2.35), определен

инепрерывен для всех x 2 Rn и, в частности, для x 2 , а при n 3 он удовлетворяет условию на бесконечности, имеющему вид:

2)всюду в Rn n потенциал простого слоя u имеет производные всех порядков (т. е. u 2 C1(Rnn )) и удовлетворяет уравнению Лапласа, при-

чем производные по координатам точки x можно вычислять дифференцированием под знаком интеграла. Кроме того, u 2 C (Rn) 8 2 [0; );

3)при переходе через границу производная от потенциала просто-

го слоя u по внешней нормали n к поверхности в произвольной точке x0 2 терпит разрыв. Предельные значения @u+(x0)=@n и @u (x0)=@n производной по нормали изнутри и извне существуют, непрерывны всюду на и определяются соответственно формулами:

Здесь @u(x0)=@n – прямое значение нормальной производной потенциала простого слоя в точке x0 2 , определяемое сингулярным интегралом

непрерывно продолжаются в и e соответственно в виде функций gradu+ 2 C ( ), gradu 2 C ( e) и, кроме того, @u(x0)=@n 2 C ( );

5)если в дополнение к (j), (jj) 2 Ck+1; , 0 < < 1, 2 Cl; ( ), где l

иk такие целые числа, что 0 l k, то u+ 2 Cl+1; ( ), u 2 Cl+1; ( e).

§7.3. Метод граничных интегральных уравнений

В этом параграфе мы изложим сущность одного из основных классических методов исследования краевых задач для эллиптических уравнений

– так называемого метода граничных интегральных уравнений (МГИУ). Идея этого метода применительно к уравнению Лапласа заключается в том, чтобы решение соответствующей краевой задачи для уравнения Лапласа искать в виде потенциала простого или двойного слоя или некоторой

374

их комбинации. Это позволяет автоматически удовлетворить уравнению Лапласа и, вообще говоря, условию на бесконечности, а подстановка соответствующего представления решения в граничное условие приводит к граничному интегральному уравнению для нахождения неизвестной плотности. Решив это уравнение точно или приближенно, получим искомую плотность соответствующего потенциала простого или двойного слоя, который и является искомым решением рассматриваемой краевой задачи. Подчеркнем еще раз, что сущность МГИУ заключается в сведении рассматриваемой краевой задачи к граничному интегральному уравнению, т. е. к интегральному уравнению по границе области , и последующему решению полученного интегрального уравнения. Это, с одной стороны, позволяет использовать разработанный уже аппарат теории интегральных уравнений, а с другой – дает мощный стимул к дальнейшему развитию аппарата теории интегральных уравнений.

Ниже мы разберем идею метода граничных интегральных уравнений на примере четырех краевых задач для уравнения Лапласа. Более конкретно будем рассматривать следующие краевые задачи для уравнения Лапласа

в ограниченной области с границей , или во внешности e = Rn n области . Будем предполагать, что удовлетворяет условию (j) из § 2.

Задача 1.1 (внутренняя задача Дирихле). Найти функцию u 2 C2( )\

C( ), удовлетворяющую уравнению (3.1) в и граничному условию

Задача 1.2 (внешняя задача Дирихле). Найти функцию u 2 C2( e) \

C( e), удовлетворяющую уравнению (3.1) в e, граничному условию (3.2) и условию

Задача 2.1 (внутренняя задача Неймана). Найти функцию u 2 C2( )\

C1( ), удовлетворяющую уравнению (3.1) в и граничному условию

Задача 2.2 (внешняя задача Неймана). Найти функцию u 2 C2( e) \

C1( e), удовлетворяющую уравнению (3.1) в области e, граничному условию (3.4) и условию (3.3) на бесконечности.

Начнем с задачи 1.1. Следуя МГИУ, будем искать ее решение u в виде потенциала двойного слоя

Z

u(x) = [W ] (x) (y)@E(x; y)d y (3.5)

@ny

375

с непрерывной (неизвестной пока) плотностью 2 C( ). Из теоремы 2.3 вытекает, что при выполнении условия (j) потенциал u, определяемый формулой (3.5), для любой плотности 2 C( ) удовлетворяет уравнению Лапласа всюду в , причем u 2 C1( ) \ C0( ). С учетом этого остается выбрать так, чтобы функция (3.5) удовлетворяла граничному условию

Равенство (3.8) представляет собой граничное интегральное уравнение 2-го рода относительно неизвестной плотности 2 C( ). Из теории линейных интегральных уравнений (см. [36], [42]), вытекает, что для любой функции g 2 C( ) интегральное уравнение (3.8) имеет единственное решение 2 C( ). Решив уравнение (3.8) и подставив найденную плотность

в (3.5), получим искомое решение внутренней задачи Дирихле в виде потенциала (3.5). Сформулируем полученный результат в виде теоремы.

Теорема 3.1. При выполнении условия (j) функция (3.5) (потенциал двойного слоя с непрерывной плотностью ) является решением внутренней задачи Дирихле тогда и только тогда, когда плотность 2 C( ) в (3.5) является решением интегрального уравнения (3.8).

Обратимся к внешней задаче Дирихле, которую рассмотрим в случае n 3 измерений. Предполагая, что 0 62 e, будем искать ее решение в виде

где A – некоторая постоянная. Поскольку функция jxj2 n удовлетворяет уравнению Лапласа всюду в Rn, кроме точки x = 0, то в силу теоремы 2.3 функция (3.9) при выполнении условия (j) удовлетворяет уравнению Лапласа (3.1) всюду в e для любой функции 2 C( ) и любой константы A. Кроме того, функция (3.9) удовлетворяет условию регулярности (3.3) на бесконечности. С учетом этого остается выбрать (при фиксированной пока константе A) так, чтобы функция (3.9) удовлетворяла граничному

376

условию (3.2). Рассуждая, как и выше, легко показываем, что для этого функция должна удовлетворять граничному интегральному уравнению

Сформулируем полученный результат.

Теорема 3.2. При выполнении условия (j) функция (3.9), где A – произвольная константа, является решением внешней задачи Дирихле в Rn, n 3, тогда и только тогда, когда плотность 2 C( ) в (3.9) является решением интегрального уравнения (3.10).

Некоторую неудовлетворенность вызывает здесь тот факт, что в представление (3.9) решения задачи 1.2 входит произвольная пока постоянная A, тогда как решение внешней задачи Дирихле единственно (см. § 6.5). Однако более детальный анализ уравнения (3.10) показывает, что соответствующее однородное уравнение

имеет нетривиальное решение 0 = 1. Хорошо известно, что для рассматриваемых здесь линейных интегральных уравнений справедливы четыре теоремы Фредгольма (они приведены в § 7.5 и доказаны в [36,42]). Согласно третьей теореме Фредгольма соответствующее неоднородное уравнение (3.10) имеет решение 2 C( ) тогда и только тогда, когда правая часть в (3.10) ортогональна функции 0, т. е. когда

Z

A

g(x) jxjn 2 d = 0:

Это условие выделяет единственную константу A, для которой существует решение уравнения (3.10), которому, в свою очередь, отвечает решение внешней задачи Дирихле в виде (3.9). Не имея возможности в этом параграфе останавливаться на анализе существования и единственности решения интегрального уравнения (3.10), отсылаем читателя к книгам [41, 42], где детально изложены соответствующие вопросы.

Отметим также, что некоторая сложность решения внешней задачи Дирихле объясняется тем, что регулярная на бесконечности гармоническая функция u убывает при jxj ! 1 с порядком O(jxj2 n), тогда как потенциал двойного слоя [W ](x) ведет себя как O(jxj1 n) при jxj ! 1.

377

Вот почему произвольную гармоническую в неограниченной области e функцию u нельзя, вообще говоря, представить в виде потенциала W . Добавление к потенциалу W слагаемого A=jxjn 2 и позволяет преодолеть указанную трудность в решении внешней задачи. Аналогичная трудность возникает и в случае двух измерений. Действительно, в этом случае потенциал двойного слоя убывает с порядком O(jxj 1) при jxj ! 1, тогда как условие регулярности (3.3) при n = 2 эквивалентно лишь ограниченности гармонической функции u на бесконечности. О методах преодоления этой трудности можно прочитать в [41, § 35].

Обратимся к задаче 2.1. Следуя МГИУ, будем искать ее решение u в виде суммы потенциала простого слоя с непрерывной плотностью ':

Z

и произвольной константы A. Из теоремы 2.4 вытекает, что при выполнении условия (j) потенциал V ' для любой плотности ' 2 C( ) удовлетворяет уравнению Лапласа в . То же справедливо и для функции (3.13). С учетом этого остается выбрать ' 2 C( ) так, чтобы функция (3.13) удовлетворяла граничному условию (3.4).

Пусть x0 2 – произвольная точка. В силу теоремы 2.4 предельное значение производной по нормали от функции (3.13) в произвольной точке

Равенство (3.16) представляет собой искомое граничное интегральное уравнение 2-го рода относительно неизвестной плотности ' 2 C( ).

Сформулируем полученный результат в виде теоремы

Теорема 3.3. При выполнении условия (j) функция (3.13) является решением внутренней задачи Неймана тогда и только тогда, когда плотность ' 2 C( ) является решением интегрального уравнения (3.16).

Можно показать, что соответствующее уравнению (3.16) однородное со-

378

имеет единственное нетривиальное решение 0 = 1. Поэтому в силу третьей теоремы Фредгольма неоднородное уравнение (3.16) разрешимо тогда и только тогда, когда выполняется условие ортогональности

Z Z

0(x)g(x)d g(x)d = 0: (3.18)

При этом общее решение неоднородного уравнения (3.16) представимо в виде '(x) = '^(x) + C'0(x). Здесь '^ – частное решение уравнения (3.16), а '0 – решение соответствующего однородного уравнения

которое в силу второй теоремы Фредгольма существует и определяется с точностью до мультипликативной постоянной. Подчеркнем, что (3.18) совпадает с необходимым условием разрешимости задачи (3.1), (3.4) (см.

§6.5).

Взаключение рассмотрим задачу 2.2. Следуя МГИУ, будем искать ее решение в виде потенциала простого слоя

Z

u(x) = [V '] (x) = '(y)E(x; y)d y (3.19)

с непрерывной (неизвестной пока) плотностью ' 2 C( ) . Рассуждая, как и в случае внутренней задачи Неймана, но учитывая, что предельное значение @u (x0)=@n производной по нормали от функции (3.13) в точке x0 определяется формулой

приходим к граничному интегральному уравнению 2-го рода относительно неизвестной функции ', имеющему вид

Сформулируем полученный результат в виде теоремы.

Теорема 3.4. При выполнении условия (j) функция (3.19) является решением внешней задачи Неймана тогда и только тогда, когда плотность ' 2 C( ) является решением интегрального уравнения (3.21).

Можно показать, что при n 3 решение уравнения (3.21) для любой функции g 2 C( ) существует и единственно. При n = 2 соответствующее однородное сопряженное уравнение

Z

(x) + 2 (y)@E(y; x)d y = 0 (3.22)

@nx

379

имеет единственное нетривиальное решение 0(x) = 1. Поэтому неоднородное уравнение (3.21) имеет решение ' 2 C( ) тогда и только тогда, когда правая часть уравнения (3.21) ортогональна функции 0, т. е. когдаg(x)d = 0. При выполнении этого условия существует единственное

Существование решения '0 вытекает из второй теоремы Фредгольма. Подчеркнем, что применение МГИУ для всех рассмотренных выше кра-

евых задач привело к необходимости решения интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода. Это не случайно, а связано с тем обстоятельством, что задача нахождения решения интегрального уравнения 2-го рода является корректно поставленной задачей. В противоположность этому задача решения интегрального уравнения 1-го рода является примером некорректных задач [53]. Напомним, что МГИУ создавался в начале прошлого века, когда математики избегали исследования некорректных задач. Вот почему они применяли такую схему МГИУ, которая сводила рассматриваемую краевую задачу к решению именно интегральных уравнений 2-го рода.

Как уже указывалось в гл. 2, в настоящее время теория некорректных задач завоевала право на свое существование и является важным разделом современной математики. Поэтому теперь допускаются и такие схемы МГИУ, которые приводят к интегральным уравнениям 1-го рода. Чтобы пояснить одну из этих схем, обратимся к задаче Дирихле (3.1), (3.2). Будем искать ее решение u в виде потенциала простого слоя V ' в (3.13) при ' 2 C( ). Поскольку потенциал V ' удовлетворяет уравнению Лапласа всюду в , то остается выбрать ' так, чтобы функция u = V ' удовлетворяла условию Дирихле (3.2). Рассуждая, как и при выводе интегрального уравнения (3.8), приходим в силу свойства непрерывности потенциала простого слоя всюду в Rn к следующему интегральному уравнению 1-го рода

Решив его, получим решение задачи Дирихле (3.1), (3.2) в виде потенциала V '. К настоящему времени построена достаточно полная теория исследования интегральных уравнений 1-го рода вида (3.23). Это делает изложенную схему отыскания решения задачи Дирихле в виде V ' вполне конкурентоспособной как в теоретическом, так и в вычислительном плане по отношению к изложенной выше схеме отыскания ее решения в виде (3.5).

380