emph_f

следуя методу гармонических мажорант, функцию

Здесь M = supx2K jv(x)j, " – положительное число такое, что x0 принадлежит кольцу K" = fx 2 K : " < jx x0jg. Ясно, что функция v" гармонична

в K" и непрерывна в замыкании K". Кроме того, она положительна в K", равна нулю при = R и равна M при = ". Из свойств функции v вытекает, что на границе @K" кольца K" выполняется условие

Это означает, что v" является гармонической мажорантой функции v на @K". Из следствия 3.5 вытекает тогда, что (6.13) выполняется в каждой точке кольца K", в том числе и в точке x0, так что

Устремим " к нулю. Тогда правая часть в (6.14) также будет стремиться к нулю. В таком случае из (6.14) будет вытекать, что v(x0) = 0.

Для доказательства теоремы осталось принять v(x0) = 0, т. е. положить u(x0) = u1(x0). Доопределенная таким образом в x0 функция u будет совпадать всюду в K с гармонической функцией u1.

Замечание 6.1. Теорема 6.7 верна в более общей формулировке, а именно: пусть u – гармоническая функция в окрестности точки x0, за исключением самой точки x0, где u не определена, и пусть для любой точки x из этой окрестности выполняется условие

Здесь (x) ! 0, когда x ! x0. При этих условиях функцию u можно определить в точке x0 так, чтобы u являлась гармонической во всей рассматриваемой окрестности точки x0, в том числе и в самой точке x0. Доказательство этого факта аналогично доказательству теоремы 6.7.

Следствие 6.2. Пусть u – ограниченная и гармоническая в областифункция, непрерывная во всех точках границы @ области , за исключением конечного числа точек. При этих условиях функция u не может внутри принимать значения, большие, чем верхняя грань значений u на границе @ , и меньшие, чем нижняя грань значений u на границе @ .

Действительно, пусть M = supx2 u(x). Для простоты предположим, что u непрерывна во всех точках границы @ , за исключением одной точки x1. Пусть диаметр области равен R, так что точки отстоят от x1 не

351

больше, чем на R. Введем функцию v"(x; x1) = M + " ln(R=jx x1j). Рассмотрим область , состоящую из точек области , расстояние от которых до x1 больше . Легко видеть, что на границе этой области u(x) < v"(x), если достаточно мало. В силу принципа максимума тогда имеем u(x) < v"(x) в . Устремляя " к нулю, получаем, что u(x) < M в любой точке x области . Точно так же выводим, что u(x) > m, где m = infx2 u(x).

Замечание 6.2. Все доказанные выше свойства гармонических функций от двух переменных сохраняются для гармонических функций лю-

бого числа n переменных. При этом условие (6.15) заменяется условием ju(x)j (x)jx x0j2 n, где (x) ! 0, когда x ! x0.

Задачи к гл. 6

1.Пусть для любой сферы , лежащей в области , функция u 2 C1( ) удовлетворяет условию R @n@u d = 0. Доказать, что u гармонична в .

2.Доказать, что функция u 2 C2( ), удовлетворяющая в уравнению Гельмгольца u + u = 0, где = const, аналитична в . (Следствием является аналитичность в собственной функции любой краевой задачи для оператора Лапласа в ).

352

ГЛАВА 7. Элементы теории потенциала

§7.1. Объемные потенциалы и их свойства

7.1.1.Определение объемного потенциала. Непрерывная дифференцируемость объемного потенциала в пространстве Rn. Обозначим через En( ; y) сингулярное решение оператора Лапласа в Rn, определяемое формулой

Здесь !n – мера единичной сферы в Rn (см. § 6.1). В частности, !n = 4

Введем пару ( ; ), где – некоторое множество в Rn с границей , а

–заданная в функция. Будем предполагать, что выполняются условия:

(i)– ограниченное открытое(кубируемое) множество в Rn;

(ii)– ограниченная интегрируемая в функция: j (y)j M 8y 2 .

Определение 1.1. Объемным (логарифмическим при n = 2) потенци-

алом пары ( ; ) называется функция u : Rn ! R, определяемая в каждой точке x 2 Rn формулой

Z

u(x) = [A ](x) En(x; y) (y)dy: (1.4)

Из результатов § 6.1 вытекает, что при выполнении условий (i), (ii) объемный потенциал (1.4) существует как собственный интеграл в любой точке x 2 e, где e Rnn – внешность , и как несобственный интеграл в любой точке x 2 . Более того, так как En( ; y) при всех x 6= y является всюду в Rnnfyg решением уравнения Лапласа, то потенциал u является бесконечно дифференцируемой и, более того, аналитической в e (в силу теоремы 6.1 гл. 6) функцией, удовлетворяющей в e уравнению Лапласа

353

Из (1.4) и свойств сингулярного решения En вытекает также, что при n 3 потенциал u(x) стремится к нулю при jxj ! 1 с порядком O(jxj2 n), т. е.

где C – константа, зависящая от u и . В случае же n = 2 формула (1.4) принимает вид

равномерно по y 2 , то второе слагаемое в (1.7) равномерно стремится к нулю при jxj ! 1. В то же время первое слагаемое имеет логарифмическую особенность при x ! 1. Отсюда следует, что логарифмический потенциал пары ( ; ) в R2 имеет логарифмическую особенность при jxj ! 1, исключая случай, когда его плотность удовлетворяет условию

Z

(y)dy = 0: (1.9)

При выполнении условия (1.9) логарифмический потенциал u(x) равномерно стремится к нулю при jxj ! 1.

Установим еще ряд дополнительных свойств объемного потенциала при выполнении условий (i), (ii). Прежде всего отметим, что потенциал u является непрерывной функцией всюду в Rn. (На это свойство будем ссылаться как на свойство глобальной непрерывности потенциала в Rn). Действительно, непрерывность u в точках e очевидна, а в точках x 2 она вытекает из n-мерного аналога теоремы 1.2 гл. 6, примененной к функции (1.4).

Покажем, более того, что при выполнении условий (i), (ii) потенциал u является не только непрерывной, но и непрерывно дифференцируемой функцией в пространстве Rn, причем производные по xi в любой точке x 2 Rn получаются дифференцированием в (1.4) по параметру xi под знаком интеграла, так что справедлива следующая формула:

354

В случае трех измерений формула (1.10) переходит в формулу

(1.11)

доказанную в § 6.1 в случае, когда x лежит вне .

В силу аналитичности потенциала u в e достаточно доказать (1.10) в

случае, когда x 2 . Рассматривая для конкретности и наглядности случай трех измерений, возьмем произвольную точку x = (x1; x2; x3) 2 и введем точку x0 = (x1 + x1; x2; x3). Предполагая, что x0 2 , составим отношение

x1 u(x) = u(x0) u(x)x1 x1

и рассмотрим разность

Докажем, что стремится к нулю при x1 ! 0.

Зададим " > 0 и обозначим через B (x) шар достаточно малого радиуса= ("). Положим

Оценим каждое из трех слагаемых в (1.14). Ясно в силу равномерной сходимости интеграла в правой части (1.11), вытекающей из леммы 1.4 гл. 6, что второе слагаемое в (1.14) может быть сделано меньше "=3 за счет выбора достаточно малого числа = ("). Для оценки первого слагаемого рассмотрим треугольник с вершинами в точках x, x0, y. Поскольку стороны этого треугольника равны jx yj, jx0 yj и j x1j, то, очевидно, имеем

355

jx0 yj jx yj < j x1j: Используя эту оценку и известное неравенство jabj (1=2)(a2 + b2), приходим к следующей оценке:

меньше "=3 за счет выбора достаточно малого числа = (").

Обратимся теперь к третьему слагаемому в (1.14). Поскольку u2(x) представляет собой собственный интеграл в малой окрестности точки x, то его можно дифференцировать под знаком интеграла. Это означает, что при j x1j < 0, где 0 достаточно мало, выполняется условие

С учетом предыдущего приходим к выводу, что при достаточно малых j x1j выполняется условие j j ". Это означает справедливость (1.11) при i = 1. Аналогично доказывается справедливость (1.11) при i = 2 и 3.

Поскольку правая часть в (1.11), будучи равномерно сходящимся интегралом в каждой точке x 2 в силу леммы 1.4 гл. 6, является непрерывной на , то из (1.11) вытекает, что u 2 C1( ). Обобщая полученные результаты на случай n измерений, приходим к следующему утверждению.

Лемма 1.1. Пусть выполняются условия (i); (ii). Тогда объемный потенциал u = A является непрерывно дифференцируемой функцией в пространстве Rn и выполняются соотношения (1.10).

7.1.2. Существование производных второго порядка от объемного потенциала. Предположим в дополнение к (i), (ii), что непрерывна

в и имеет непрерывные ограниченные в производные, т. е. что (iii) 2 C( ) \ C1( ), jr j M1 < 1 в .

Лемма 1.2. При выполнении условий (i), (iii) объемный потенциал u = A принадлежит пространству C2( ), т. е. является дважды непрерывно дифференцируемой функцией внутри области .

Доказательство. Пусть x 2 – произвольная точка. Предположим сначала, что граница области обладает гладкостью, необходимой для применения формулы интегрирования по частям (2.4) из гл. 6, например:

(iv) граница области является кусочно-гладкой.

Обратимся к формуле (1.10) для @u=@xi. Учитывая согласно (1.3), что

356

@En=@xi = @En=@yi, и применяя указанную формулу интегрирования, перепишем (1.10) в виде

Здесь ny – единичный вектор внешней нормали к поверхности в точке y, d y – элемент площади поверхности, относящийся к точке y.

При x 2 второе слагаемое в правой части (1.17) имеет (в силу бесконечной дифференцируемости функции En(x; y) при x 6= y 2 ) непрерывные производные по xi, которые могут быть вычислены дифференцированием под знаком интеграла. Ввиду непрерывности и ограниченности @ =@yi в области первое слагаемое в правой части этой формулы имеет в силу леммы 1.1 непрерывные производные 1-го порядка, причем

Это означает, что u 2 C2( ) при выполнении условий (i), (iii), (iv), причем

Если же граница не обладает нужной гладкостью, то выделим в произвольную строго внутреннюю подобласть 0 с гладкой границей0, содержащую точку x, и перепишем первое равенство в (1.17) в виде

Применяя к первому интегралу в правой части формулу (2.4) гл. 6, получим

Z

@u(x) @ (y)

@xi = 0 En(x; y) @yi dy

Здесь d y0 – элемент площади поверхности 0, n0y – единичный вектор внешней нормали к 0 в точке y 2 0. Непрерывная дифференцируемость первых двух слагаемых в правой части этой формулы при x 2 0 доказывается

357

Поэтому, переходя в (1.25) к пределу при " ! 0, получим (1.20).

Если же – произвольное открытое ограниченное множество, как указано в условии (i), то для доказательства (1.20) в окрестности произвольной точки x0 2 , достаточно представить u(x) в виде

Z Z

u(x) = E(x; y) (y)dy + E(x; y) (y)dy; x 2 BR(x0); (1.26)

R BR(x0)

где шар BR(x0) лежит в области , R R(x0) = n BR(x0). Первое слагаемое в (1.26) является гармонической функцией внутри шара BR(x0),

поскольку x 6= y 2 R, а для второго слагаемого можно применить приведенные выше рассуждения. Сформулируем полученные результаты в виде теоремы.

Теорема 1.1. Пусть выполняются условия (i); (ii). Тогда объемный потенциал u = A принадлежит пространству C1(Rn), удовлетворяет при n 3 условию (1.6) на бесконечности, а его сужение на внешностьe множества является аналитической в e функцией, удовлетворяющей уравнению Лапласа. Если, более того, выполняются условия (iii), то тогда сужение потенциала u на область принадлежит классу C2( )

иудовлетворяет в каждой точке x 2 уравнению Пуассона (1.20).

7.1.3.Обзор дополнительных свойств объемного потенциала. Эллиптическая регулярность. Приведем здесь обзор некоторых дополнительных свойств объемного потенциала. Начнем с того, что условие (iii), будучи достаточным условием непрерывности вторых производных потенциала u внутри , может быть ослаблено. Чтобы сформулировать более общее условие, введем в рассмотрение пространство функций, удовлетворяющих условию Гельдера.

359

Определение 1.2. Говорят, что функция f : Rn ! R удовлетворяет в условию Гельдера с показателем > 0 и константой L, если для любой пары точек x 2 , y 2 выполняется неравенство

jf(x) f(y)j Ljx yj :

Обозначим через C ( ) множество всех функций, удовлетворяющих условию Гельдера в с показателем 2 (0; 1]. Ясно, что каждая функция f 2 C ( ) является непрерывной в и, следовательно, C ( ) C( ). Для каждой функции f 2 C ( ) введем норму по формуле

Известно, что пространство C ( ) с так введенной нормой является полным нормированным, т. е. банаховым пространством [28].

Через Cm; ( ) обозначим подпространство пространства Cm( ), состоящее из функций в , все m-е частные производные которых удовлетворяют условию Гельдера в с показателем . Можно показать, что Cm; ( ) - банахово пространство по норме k kCm; ( ), определенной формулой

Наряду с пространством Cm; ( ) будем также рассматривать его надпространство Cm; ( ). Оно состоит из всех функций пространства Cm( ), которые удовлетворяют условию Гельдера с показателем локально в , т. е. на любом компакте K, целиком лежащем в . В случае неограниченной области e под Cm; ( e) будем понимать подпространство пространства Cm( e), введенного в § 6.3, состоящее из функций f, все m-е производные которых удовлетворяют условию Гельдера с показателем в области видаe \ BR, где e = e [ , а BR – шар любого радиуса R. Точно так же под Cm; ( e) будем понимать подпространство пространства Cm( e), состоящее из функций f, все m-е производные которых удовлетворяют условию Гельдера с показателем локально в e, т. е. на любом компакте K e.

Мы уже знаем, что свойства потенциала u в областях и e сильно раз-

личаются между собой. С учетом этого введем специальные обозначения

для сужений u на и e: u+ = uj , u = uj e. Функцию u+ (либо u ) будем называть внутренним (либо внешним) потенциалом пары ( ; ). Будем

говорить, что открытое множество 0 является строго внутренним подмножеством множества , и писать 0 , если 0 . Предположим, что вместо (iii) выполняется условие

360