Безруков А.В. ОСНОВЫ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ
.pdfнепосредственно разностным уравнением, и в этом смысле структура ЛДС отображает разностное уравнение.
Алгоритм вычисления реакции по РУ (4.8) основан на выполнении трех типов операций с отсчетами сигнала:
1)задержки сигнала на период дискретизации T;
2)умножения на константу;
3)алгебраического сложения.
На структурной схеме они изображаются в виде, изображенном на рисунках 7.1, а, 7.1, б и 7.1, в соответственно.
Условное обозначение элемента задержки связано с тем, что задержка сигнала на период дискретизации T отображается в z-области умножением z- изображения данного сигнала на z 1
X (nT ) X (z) ;
X (nT T ) X (z)z 1 .
Физически элемент задержки представляет собой регистр сдвига. Структура ЛДС может быть реализована аппаратно или программно. Разностному уравнению (4.8) соответствует передаточная функция (5.6). Однако ПФ может иметь и другие, эквивалентные виды математического представления и, следовательно, РУ могут иметь различные виды, отображаемые различными структурами ЛДС.
7.1. Структуры рекурсивных ЛДС
Рекурсивными ЛДС соответствуют три основных структуры:
прямая;
каскадная;
параллельная.
7.1.1.Прямая структура
Прямая структура определяется передаточной функцией (5.6)
51
|
|
N 1 |
|
|
|
|
|
|
|
bi z i |
|
|
|
||
H (z) |
i0 |
|
|
, |
|
||
M 1 |
|
|
|||||
|
|
1 ak z k |
|
||||
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
и отображает разностное уравнение (4.8) |
|
|
|
|
|||
N 1 |
|
M 1 |
|
|
|
||
y(n) bi x(n i) |
ak y(n k) . |
||||||
i 0 |
|
k 1 |
|
|
|
||
На рисунке 7.2 приведена прямая структура звена 2-го порядка с ПФ |
|||||||
H (z) |
b b z 1 b z 2 |
, |
|||||
0 1 |
2 |
|
|||||
1 a z 1 |
a |
z 2 |
|||||
|
|
||||||
|
|
1 |
2 |
|
|
|
описываемого РУ
y(n) b0 x(n) b1 x(n 1) b2 x(n 2) a1 y(n 1) a2 y(n 2) .
В общем случае прямая структура содержит [(N 1) (M 1)] элементов задержки, из них: (N 1) — для предшествующих отсчетов воздействий и (M 1) — для предшествующих отсчетов реакций.
Структуру называют канонической, если число элементов задержки в ней минимально и равно порядку ПФ — max{(M 1),(N 1)}. Представим три разновидности таких структур.
7.1.2. Прямая каноническая структура 1
Прямая каноническая структура 1 определяется эквивалентным представлением ПФ (5.6) в виде произведения двух ПФ
|
Y (z) |
|
|
1 |
N 1 |
|
H (z) |
|
|
bi z i H1 (z)H 2 (z) , |
(7.1) |
||
|
|
|
||||
X (z) |
|
M 1 |
||||
|
1 |
ak z k |
i 0 |
|
||
|
|
|
k 1
52
одна из которых описывает рекурсивную часть ЛДС
H1 (z) |
1 |
|
, |
|
|
|
|
||
M 1 |
|
|
||
|
1 ak z k |
|
||
|
k 1 |
|
|
|
а вторая — нерекурсивную |
|
|
|
|
|
N 1 |
|
|
|
H 2 (z) bi z |
i . |
|
||
|
i 0 |
|
|
|
Передаточным функциям H1 (z) , H2 (z) |
соответствуют РУ |
|
||
|
M 1 |
|
|
|
(n) X (n) ak (n k) ; |
(7.2) |
|||
|
k 1 |
|
|
|
|
N 1 |
|
|
|
y(n) bi (n i) , |
(7.3) |
i 0
отображаемые прямыми структурами. На рисунке 7.3, а показана прямая структура звена 2-го порядка в виде последовательного соединения рекурсивной (7.2) и не рекурсивной (7.3) частей. В этом случае ПФ (7.1) и РУ (7.2) и (7.3) принимают вид
H (z) H (z)H |
|
(z) |
|
1 |
|
|
(b |
b z 1 |
b z 2 ) ; |
(7.4) |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
a z 1 |
a z |
2 |
||||||
1 |
2 |
1 |
0 |
1 |
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
(n) X (n) a1 (n 1) a2 (n 2) ; |
|
(7.5) |
||||||||
y(n) b0 (n) b1 (n 1) b2 (n 2) . |
|
(7.6) |
Объединение двух линий задержки в одну (на основании равенства входного и выходного сигналов в точке А) приводит к прямой канонической структуре 1 (рисунок 7.3, б).
53
7.1.3. Каноническая структура 2
Каноническая структура 2 определяется другим эквивалентным
представлением ПФ H (z) (5.6), которое можно |
получить путем деления |
||||||||||||
числителя на знаменатель по правилу деления многочленов при N M : |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
M 1 |
|
|
|
M 1 |
|
|
|
|
|
Y (z) |
|
|
|
bi z i |
|
|
|
(bk b0 ak )z k |
|
|||
H (z) |
|
|
|
i 0 |
b |
k 1 |
|
|
|
||||
|
|
|
M 1 |
|
M 1 |
||||||||
|
X (z) |
|
|
0 |
|
|
|
||||||
|
1 |
ak z k |
|
|
|
1 ak z k |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
k 1 |
|
||
H нр (z) H р (z) |
|
Yнр |
|
|
Yр |
, |
|
(7.7) |
|||||
|
|
|
X (z) |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
X (z) |
|
|
|
в результате чего H (z) представляется в виде суммы двух ПФ, описывающих нерекурсивную (с индексом «нр»)
H |
|
(z) |
Yнр (z) |
b |
(7.8) |
нр |
|
||||
|
|
X (z) |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
и рекурсивную (с индексом «р»)
54
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Yр (z) |
|
(bk b0 ak )z |
k |
|
|
||||||
|
|
H |
|
(z) |
|
k 1 |
|
|
|
|
(7.9) |
||||||||
|
|
р |
|
|
|
|
M 1 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
X (z) |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ak z k |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
части ЛДС. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Передаточной функции |
H нр ( z ) |
|
(7.8) соответствует разностное |
||||||||||||||||
уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yнр (n) b0 X (n) |
|
|
|
|
(7.10) |
||||||||||||
Для того, чтобы получить РУ, соответствующее |
H р (z) , представим ее |
||||||||||||||||||
подобно (7.1) в виде произведения двух ПФ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
H |
|
(z) |
Yр (z) |
H |
|
(z)H |
|
(z) |
|
|
|
||||||||
р |
|
р1 |
р2 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
X (z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
M 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(bk b0 ak )z k |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
M 1 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ak z k k 1 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
||
и запишем РУ в виде (7.2) и (7.3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M 1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
р (n) X (n) ak (n k) ; |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
M 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yp (n) (bk b0 ak ) (n k) , |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
совокупность которых отображается прямой канонической структурой 1. В итоге передаточной функции H (z) (7.7)
|
1 |
M 1 |
|
|
|
H (z) H нр (z) H р1 (z)H р2 (z) b0 |
(bk |
b0 ak )z k |
(7.11) |
||
|
|||||
M 1 |
|||||
|
1 ak z k |
k 1 |
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
соответствует система разностных уравнений
y(n)
(n)
M1
yнp (n) yp (n) b0 X (n) (bk b0 ak ) (n k);
|
k 1 |
, |
(7.12) |
M 1 |
|
||
|
|
|
|
X (n) ak (n k) |
|
|
|
k 1
отображаемая канонической структурой 2.
На рисунке 7.4 приведена каноническая структура 2 звена 2-го порядка. В этом случае ПФ и система РУ [(7.11) и (7.12) соответственно] принимают вид
H (z) b |
|
|
1 |
|
|
[(b |
b a )z 1 |
(b |
b a )z 2 ] ; |
(7.13) |
||
|
|
|
|
|||||||||
|
a z 1 |
a z 2 |
||||||||||
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
2 |
0 |
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
55 |
|
|
|
|
|
|
|
y(n) b0 X (n) (b1 |
b0 a1 ) (n 1) (b2 |
b0 a2 ) (n 2); |
. |
(7.14) |
|
|
|
|
|
||
(n) X (n) a (n 1) a (n 2) |
|
|
|
||
|
1 |
2 |
|
|
|
7.1.4. Каноническая структура 3
Каноническая структура 3 определяется еще одним эквивалентным представлением ПФ H (z) (5.6), которое получается следующим образом:
|
|
|
|
|
|
|
|
M 1 |
|
полагая N M , умножим левую и правую части (5.6) на [1 ak z k ] |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
M 1 |
|
|
|
|
|
M 1 |
|
|
bi z |
i |
M 1 |
|
|
|
H (z)[1 ak z |
k |
] |
i 0 |
|
[1 ak z |
k |
] ; |
|
|
M 1 |
|
|
||||
|
k 1 |
|
|
1 ak z k |
k 1 |
|
|
k 1
сократим общие множители в числителе и знаменателе справа:
M 1 |
M 1 |
H (z) bi z i H (z) ak z k ; |
|
i 0 |
k 1 |
представим ПФ в виде разложения (в лестничной форме):
H (z) b z 1H |
(z); |
|
|
|
|
||||||
H |
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
(z) [b a H (z)] z 1H |
2 |
(z); |
|
|||||||
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
2 (z) [b2 |
a2 H (z)] z 1H3 (z); |
(7.15) |
||||||||
H |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
M 1 |
(z) b |
a |
M 1 |
H (z) |
|
|
|
|||
|
|
M 1 |
|
|
|
|
|
|
таким образом, что H (z) определяется последовательной подстановкой снизу вверх.
Получим систему РУ, соответствующую данной ПФ, для чего:умножим левую и правую части всех равенств (7.15) на X (z) :
56
H (z) X (z) b X (z) z 1H |
(z) X (z); |
|
|
|||
H |
|
0 |
1 |
|
|
|
1 |
(z) X (z) b X (z) a H (z) X (z) z 1H |
2 |
(z) X (z); |
|||
|
1 |
1 |
|
|
||
|
|
(z) X (z) b2 X (z) a2 H (z) X (z) z 1H3 (z) X (z); ;(7.16) |
||||
H |
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
H
|
обозначим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y (z) H (z) X (z); |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
(z) H1 |
(z) X (z); |
|
|
||||
|
|
V1 |
; |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
(z) H |
M 1 |
(z) X (z) |
|
|
|||
|
|
|
M 1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
подставим в (7.16) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y (z) b X (z) z 1V (z); |
|
|
||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
V (z) b X (z) a Y (z) V (z); |
|
|||||||||
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
(z) b |
X (z) a |
Y (z) |
|
||||||
|
|
M 1 |
|
|
M 1 |
|
|
|
M 1 |
|
|
Используя свойства z-преобразования, запишем РУ в виде системы:
y(n) b0 X (n) 1 (n 1); |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
(n) b X (n) a y(n) |
|
(n 1); |
|
|
||||
|
|
|
. |
(7.17) |
||||||
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n) b |
X (n) a |
|
y(n) |
|
|
||
|
M 1 |
M 1 |
|
|
||||||
|
M 1 |
|
|
|
|
|
|
Она решается снизу вверх и отображается канонической структурой 3. На рисунке 7.5 приведена каноническая структура 3 звена 2-го порядка.
В этом случае ПФ (7.15) и система РУ (7.17) принимают вид:
57
H (z) b z 1H |
(z); |
|
|
|
||||||
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
a1H (z)] z 1H (z); |
|
|||||||
H1 (z) [b1 |
(7.18) |
|||||||||
H (z) b a H (z) |
|
|
|
|||||||
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y(n) b0 X (n) 1 (n 1); |
|
|
|
|||||||
|
(n) b X (n) a y(n) |
|
(n 1); |
(7.19) |
||||||
|
|
|||||||||
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
(n) b X (n) a |
2 |
y(n) |
|
|
|
||||
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
7.1.5. Каскадная структура
Дробно-рациональная ПФ вида (5.6) может быть представлена в виде произведения множителей второго порядка с вещественными коэффициентами (при M N L ) (см. п/о)
|
|
|
|
|
k1 |
k1 |
b0k |
b1k |
z |
1 |
b2k |
z |
2 |
|
||
|
|
|
|
H (z) H k |
(k) ( |
|
|
|
) , |
|||||||
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
1 |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
k1 1 |
k1 1 |
1 a z |
|
|
a |
z |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1k1 |
|
|
|
|
2k1 |
|
|
|
||
где b0k |
, b1k |
, b2k , |
a1k |
, a2 k |
— вещественные коэффициенты, а k1 — количество |
|||||||||||
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
звеньев второго порядка. Опуская вывод этого соотношения, заметим, что коэффициенты aik и bik определяются по координатам комплексно-
сопряженных нулей и комплексно-сопряженных полюсов и k1 k2 L2 . k1
определяется числом полюсов (нулей) ПФ.
При прямой структуре всех звеньев (см. рисунок 7.2) данному виду ПФ соответствует система РУ
|
1 (n) b01 X (n) b11 x(n 1) b21 x(n 2) a11 1 (n 1) a21 1 (n 2); |
|
|||||||||||||||||
|
|
(n) b |
|
(n) b |
|
(n 1) b |
|
(n 2) a |
|
(n 1) a |
|
(n 2); |
|||||||
|
2 |
1 |
1 |
1 |
2 |
2 |
|||||||||||||
|
|
02 |
|
12 |
|
22 |
|
|
12 |
|
22 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(n) b |
|
k 1 |
(n) b |
|
(n 1) b |
|
(n 2) a |
y(n 1) a |
2,k 1 |
||||||||||
|
|
0,k 1 |
|
|
1,k 1 k 1 |
|
|
2,k |
1 k 1 |
|
|
1,k 1 |
|
|
|
,
y(n 2)
из которых следует, что реакция k-го звена, k = 1, 2, …, (k – 1), служит воздействием для (k + 1)-го звена, поэтому данная система отображается каскадным соединением рекурсивных звеньев 2-го порядка — каскадной структурой.
На рисунке 7.6 изображена каскадная структура из трех звеньев 2-го порядка прямой структуры.
58
Для перехода к ПФ с вещественными множителями попарно умножают простейшие множители с комплексно-сопряженными нулями (в числителе) и комплексно-сопряженными полюсами (в знаменателе)
|
|
N |
|
|
|
H (z) p |
|
(x xk |
0 |
) |
, при M N L . |
|
k 1 |
|
|||
0 |
|
|
|||
N |
|
|
|||
|
|
|
|
||
|
|
(x xk |
n |
) |
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7.1.6. Параллельная структура
Параллельная структура определяется ПФ, представленной в виде суммы дробей второго порядка с вещественными коэффициентами (см п/о)
|
|
|
|
k1 |
k1 |
b0k |
b1k z |
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
H (z) H k1 |
(k1 ) ( |
|
|
2 ) , |
|||||
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
k1 1 |
k1 1 |
1 a |
z a |
2k1 |
z |
|
|
||
|
|
|
|
1k1 |
|
|
|
|
|
||||
где b0k , |
b1k , |
a1k , |
a2 k |
— вещественные коэффициенты, а k1 — количество |
|||||||||
1 |
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
звеньев второго порядка, определяемые как и в предыдущем пункте. Получим РУ, соответствующее данному виду ПФ, для чего
|
умножим левую и правую части последнего равенства на X (z) : |
||||||||||||||
|
k1 |
|
k1 |
|
|
|
b0k |
b1k z |
1 |
|
|
||||
|
Y (z) H (z) X (z) H k1 (z) X (z) ( |
|
|
2 ) X (z) ; |
|||||||||||
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
k1 1 |
k1 1 |
1 a |
z |
|
a |
|
z |
|
|
|||||
|
|
|
|
1k1 |
|
|
|
2k1 |
|
|
|||||
|
обозначим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
b |
z 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Vk1 (z) H k1 (z) X (z) |
0k |
|
|
1k |
|
|
z 2 |
X (z) ; |
|
|
||||
|
1 a z 1 |
a |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1k |
|
|
|
|
|
2k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
представим реакцию Y (z) в виде суммы реакций |
|
|
|
|
k
Y (z) 1 Vk1 (z) ;
k 1
выполним обратное z-преобразование левой и правой частей и запишем искомое разностное уравнение
|
|
|
k1 |
|
|
|
|
|
|
|
y(n) k1 (n) , |
|
|
(7.20) |
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
k |
(n) b0k |
X (n) b1k |
x(n 1) a1k k |
(n 1) a2k |
k |
(n 2) . |
(7.21) |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
Из РУ (7.20) следует, что воздействие для всех звеньев одинаковое, а реакция равна сумме реакций отдельных звеньев, поэтому данное РУ отображается параллельной структурой. На рисунке 7.7 изображена
59
параллельная структура из трех звеньев 2-го порядка прямой или канонической структуры.
Для перехода к ПФ с вещественными коэффициентами попарно складывают простые дроби с комплексно-сопряженными полюсами.
Если порядок многочлена числителя меньше порядка многочлена знаменателя
M 1 |
M 1 |
|
|
Ak |
|
|
H (z) H k |
(z) |
( |
|
|
) |
|
|
|
1 |
||||
k 1 |
k 1 |
1 |
z |
|||
|
|
k |
|
|
||
где k Z*k — k-й полюс ПФ. |
|
|
|
|
|
|
В общем случае полюса — попарно комплексно-сопряженные. Ak — коэффициент разложения при k-м полюсе, всегда число того же типа, что и полюс (вещественное или мнимое). M 1 — число полюсов (и констант Ak ).
Для перехода к ПФ с вещественными коэффициентами необходимо попарно сложить простые дроби с комплексно-сопряженными полюсами (и комплексно-сопряженными коэффициентами Ak ). В результате чего получим функцию в виде суммы дробей второго порядка с вещественными коэффициентами.
7.2. Структуры нерекурсивных фильтров
Нерекурсивные ЛДС описываются ПФ, которая может рассматриваться как частный случай H (z) общего вида (5.6) при ak 0 , k = 1, 2, …M – 1. При этом знаменатель H (z) оказывается равным единице, и ПФ имеет вид рациональной функции.
Нерекурсивным ЛДС соответствуют два вида математического представления ПФ:
рациональный;
произведение множителей второго порядка, которые определяют две основные структуры:
прямую;
каскадную.
60