Безруков А.В. ОСНОВЫ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ
.pdfобратное преобразование
x(t) L 1 x( p) |
1 |
0 |
j |
|
|
x( p)e pt dp |
(2.3) |
||
2 j |
|
|||
|
0 |
j |
|
|
|
|
|
где L{x(t)}, L-1{x(p)} – символические обозначения прямого и обратного преобразования Лапласа;
x(t) – оригинал – вещественная или комплексная функция вида (2.1), непрерывная или кусочно-непрерывная, однозначная на любом конечном интервале в области определения, имеющую ограниченную степень роста экспоненциального порядка 0(ext), т.е. для каждой функции рассматриваемого класса существуют такие положительные постоянные А и, что для всех t>0
x(t) Ae t (A и не равны бесконечности) (2.4)
Точная нижняя грань тех значений , для которых имеет место неравенство (2.4) (а точнее, когда оно превращается в равенство) называется показателем степени роста функции x(t),
р – оператор Лапласа
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р j ; |
|
|
|
|
|
(2.5) |
|
X ( p) |
— L-изображение (L-образ) функции x(t) , результат преобразования |
|||||||||||||||
Лапласа; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
0 — абсцисса абсолютной сходимости интеграла (2.2). |
|
|||||||||||||||
|
|
Преобразование Лапласа справедливо только в области абсолютной |
||||||||||||||
сходимости интеграла (2.2) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x(t)e pt |
dt |
x(t)e ( j )t |
dt |
|
|
|
|
|
|
||||||
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x(t) |
|
e j t |
e t dt |
|
x(t) |
|
e t dt , |
(2.6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
определяемой абсциссой абсолютной сходимости 0 . На комплексной p- плоскости это область, где Re( p) 0 .
Сравнивая (2.4) и (2.6) можно убедиться, что понятие показателя степени роста (в случае вещественных чисел) и абсциссы абсолютной сходимости (в случае комплексных чисел) идентичны.
Как известно, в области сходимости интеграла (2.6) обеспечивается и сходимость интеграла (2.2), однако, обратное не всегда справедливо. Может случиться, что интеграл (2.2) сходится за счѐт сбалансированности площадей с положительными и отрицательными знаками, а интеграл (2.6) расходится.
2.1.2. Преобразование Фурье
11
Преобразованием Фурье функции x(t) вида (2.1) называется следующая пара взаимно однозначных преобразований:
прямое преобразование
|
|
|
|
|
X ( j ) x(t)e j t dt ; |
(2.7) |
|||
|
|
0 |
|
|
обратное преобразование |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
x(t) |
X ( j )e j t d , |
(2.8) |
||
2 |
||||
|
|
|
||
|
|
|
где:
— оригинал — вещественная или комплексная функция (2.1), удовлетворяющая условиям Дирихле; на любом конечном интервале в области задания определена, однозначна, непрерывна или кусочнонепрерывна, имеет конечное число экстремумов и разрывов первого рода;
X ( j ) — Фурье-изображение (Фурье-образ) функции x(t) , результат преобразования Фурье.
Преобразование Фурье справедливо только в области абсолютной сходимости интеграла (2.7)
x(t)e j t dt x(t) dt .
0 0
(2.9)
Условие сходимости преобразований Лапласа (2.6) и Фурье (2.9) позволяют утверждать, что преобразование Фурье справедливо для более узкого класса сигналов, чем преобразование Лапласа.
Сравнивая преобразования Лапласа (2.2) и Фурье (2.7), легко видеть их взаимосвязь: при условии абсолютной сходимости соответствующих интегралов Фурье-изображение X ( j ) функции x(t) совпадает с ее L- изображением X ( p) , если область значений переменной p на комплексной p- плоскости ограничена точками на оси частот j :
|
|
||
X ( j ) X ( p) |
|
p j . |
(2.10) |
|
|
2.1.3.Ряд Фурье
Непрерывная периодическая функция времени x(t) с периодом TS ,
удовлетворяющая в пределах периода условиям Дирихле, может быть представлена в виде ряда Фурье
|
|
x(t) X (k )e jk t , |
(2.11) |
k
где:
12
— период дискретизации по частоте:
2 ;
TS
X (k ) — коэффициенты Фурье (комплексные числа):
|
|
TS |
2 |
|
|
|
1 |
|
|
||
X (k ) |
x(t)e jk t dt , |
(2.13) |
|||
T |
|||||
|
T |
|
|
||
|
S |
|
|
||
|
|
S |
2 |
|
|
|
|
|
|
k — номер коэффициента Фурье, соответствующего частоте
Аналогично, непрерывная периодическая функция частоты с периодом S , удовлетворяющая в пределах периода условиям Дирихле, может быть представлена в виде ряда Фурье, аналогичного (2.11),
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
X ( ) x(n)e jn t , |
(2.14) |
|||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||
где: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
t — период дискретизации по времени: |
|
|
|
|
||||||||
t |
2 |
( S |
|
2 |
|
2 |
) ; |
(2.15) |
||||
|
|
t |
|
|||||||||
|
S |
|
|
|
TS |
|
||||||
x(n) — коэффициенты Фурье (комплексные числа): |
|
|||||||||||
|
|
1 |
|
S |
2 |
|
|
|
|
|
||
x(n) |
|
X ( )e jn t d ; |
(2.16) |
|||||||||
S |
||||||||||||
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
n — номер коэффициента Фурье, соответствующего времени n t . |
|
На основании (2.12) и (2.15) можно записать соотношение для периодов функций и периодов дискретизации во времени и частотной областях
TS S t . (см п/о)
2.2. Математическое описание дискретных сигналов и линейных систем в z-области и в частотной области
Математическое описание дискретных сигналов и линейных систем в z- области (на комплексной z-области) и в частотной области основано соответственно на z-преобразовании и преобразовании Фурье последовательности , для которой выполнено условие
|
(2.17) |
||
x(nT) |
|
n 0 0 . |
|
|
|
2.2.1. Дискретное преобразование Лапласа
Дискретное преобразование Лапласа (Д-преобразование) последовательности x(nT ) вида (2.17) имеет прямую аналогию с преобразованием Лапласа (2.2) непрерывной функции.
13
В результате перехода от непрерывного времени к дискретному t nT
и замены непрерывной функции последовательностью
x(t) x(nT )
интеграл в (2.2) заменяется суммой. Соответственно, дискретным преобразованием Лапласа называется следующий ряд
|
|
X (e pt ) D{x(nT )} x(nT )e pnT |
(2.18) |
n 0 |
|
где: |
|
D{x(nT )} — символическое обозначение дискретного |
преобразования |
Лапласа;
x(nT ) — оригинал — вещественная или комплексная последовательность
(2.17):
X (e pt ) — Д-изображение (Д-образ) последовательности x(nT ) , результат дискретного преобразования Лапласа. Дискретное преобразование Лапласа
однозначно связывает последовательность x(nT ) |
с ее Д-изображением X (e pt ) |
||||||||
и справедливо только в области абсолютной сходимости ряда (2.18) |
|
||||||||
|
|
|
|
||||||
|
x(nT )e pnT |
|
x(nT ) |
e j T |
e nT |
x(nT ) |
e nT , |
(2.19) |
|
n 0 |
n 0 |
n 0 |
|
определяемой абсциссой сходимости 0 . На комплексной p-области это область, где Re( p) 0 .
2.2.2. Z-преобразование
При исследовании дискретных сигналов и линейных систем, как правило, вместо дискретного преобразования Лапласа используют z- преобразование, которое получается из дискретного преобразования Лапласа (2.18) в результате замены переменных
z e pt .
Z-преобразованием последовательности x(nT ) следующий ряд:
(2.20)
вида (2.17) называется
|
|
X (z) Z{x(nT )} x(nT )z n , |
(2.21) |
n 0
где:
Z{x(nT)} — символическое обозначение z-преобразования;
x(nT ) — оригинал — вещественная или комплексная последовательность
(2.17);
14
X (z) — z-изображение (z-образ) последовательности x(nT ) , результат z- преобразования;
Z-преобразование однозначно связывает последовательность x(nT ) с ее z- изображением X (z) и справедливо только в области абсолютной сходимости ряда (2.21)
|
|
|
|
|
x(nT )z n |
. |
(2.22) |
n 0 |
|
|
В области сходимости ряда (2.22) обеспечивается и сходимость ряда (2.21), однако обратное не всегда справедливо. Может случиться, что ряд (2.21) сходится за счет сбалансированности слагаемых с положительными и отрицательными знаками, а ряд (2.22) расходится.
2.2.3. Связь z-преобразования с дискретным преобразованием Лапласа
Сравнивая дискретное преобразование Лапласа (2.18) и z- преобразование (2.21), легко видеть их взаимосвязь
X (z) |
|
z e |
pt X (e pt ) |
|
|||
|
|
|
Может возникнуть вопрос, почему при исследовании дискретных сигналов и линейных систем используют z-, а не Д-преобразование. Дело в том, подобно преобразованию Лапласа непрерывных функций, z- преобразование последовательности позволяет получить алгебраические соотношения (пока не будем вникать, какие именно), в то время как Д- преобразование приводит к весьма неудобным для анализа трансцендентным соотношениям.
2.2.4. Преобразование Фурье
Преобразованием Фурье последовательности x(nT ) вида (2.17) называется следующий ряд
|
|
X (e j T ) x(nT )e j Tn , |
(2.23) |
n 0
где:
x(nT ) – оригинал – вещественная или комплексная последовательность (2.17); x(e j t ) – Фурье – изображение (Фурье – образ) последовательности x(nT ) , результат преобразования Фурье.
Пример функции, периодической по частоте и времени
1) ЛИМ-колебание
f
10 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
t |
|
1 |
2 |
4 |
6 |
||
15 |
TS 2c, |
fS 10 Гц |
Интервал дискретизации по частоте
f Д 1 0,5Гц
TS
Интервал дискретизации по времени
t |
|
|
1 |
|
0,1c T |
2c |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
fS |
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f |
|
|
|
1 |
|
0,5 f |
|
10 Гц |
|
|
|
|
||
Д |
|
fS |
|
S |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
TS f Д |
2 0,5 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
fS t 10 0.1 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Преобразование Фурье |
однозначно |
связывает последовательность |
||||||||||||
x(nT ) с ее |
Фурье-изображением x(e j t ) и |
справедливо только в области |
||||||||||||
абсолютной сходимости рода (2.23) |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
x(nT )e j Tn |
|
|
x(nT ) |
|
(2.24) |
|
|
|
|
|
|
|
|
n 0 |
|
|
|
n 0 |
|
Условия сходимости z-преобразования (2.22) и преобразования Фурье (2.24) позволяют утверждать, что преобразование Фурье (2.24) позволяют утверждать. что преобразование Фурье справедливо для более узкого класса
дискретных сигналов. |
|
|
|
|
|
|
|||
Из |
(2.23) |
видно, что |
Фурье-изображение |
x(e j t ) последовательности |
|||||
x(nT ) является периодической |
функцией, |
поскольку |
аргумент |
данной |
|||||
функции |
e j T |
периодичен |
с |
периодом |
по |
частоте, |
равным |
частоте |
|
дискретизации Д 2 / T |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
e j T e j ( k |
2 |
)T e j T e j 2 k e j T |
|
|
|
||
|
|
T |
|
|
(2.25) |
||||
Значит, непрерывная периодическая функция частоты x(e j t ) |
может |
||||||||
быть представлена рядом Фурье (2.14) при S |
Д |
и t T |
|
|
x( ) x(e j t ) x(n)e
n
|
|
|
|
(2.26) |
jn t |
x(n)e |
j nT |
||
|
|
|
n
где коэффициенты Фурье x(n) вычисляются о формуле
|
|
|
|
|
|
T |
T |
|
|
x(n) |
x(e j Tn )d |
(2.27) |
||
2 |
||||
|
|
|
||
|
|
T |
|
|
|
|
|
16 |
Формула (2.27) представляет собой не что иное, как обратное преобразование Фурье.
2.2.5. Связь преобразования Фурье с Z-преобразованием
Сравнение преобразования Фурье (2.23) с Z-преобразованием (2.21) легко видеть их взаимосвязь: при условии абсолютной сходимости соответствующих рядов Фурье-изображение x(e j T ) последовательности x(nT) совпадает с ее Z-изображением x(Z), если область значений переменной Z на комплексной Z-плоскости ограничена точками на единичной окружности
x(e j T ) x(z) | |
j T |
(2.28) |
|
z e |
|
3. Z-преобразование
Как известно, анализ и синтез линейных систем существенно упрощает при переходе из временной области в p-области. В частности преобразование Лапласа позволили ввести фундаментальное понятие передаточной функции в удобном для анализа дробно-рациональном виде и описать соотношение вход-выход в виде алгебраических, а не дифференциальных (интегральнодифференциальных) уравнений.
Аналогично анализ и синтез дискретных систем существенно упрощается при переходе из временной области в Z-область. В частности Z- преобразование позволяет ввести понятие передаточной функции в дробнорациональном виде и описать соотношение вход-выход в виде алгебраических, а не трансцендентных уравнений (в чем убедимся чуть позже).
3.1. Z-преобразование соотношение между p- и Z- плоскостями
Связь между p- и Z- плоскостями определяется соотношением
z e pt e( j )T |
e T e j T |
|
(3.1) |
откуда, раскрывая e j T , имеем |
|
|
|
z e T [cos( T ) j sin( T )] |
|
(3.2) |
|
Таким образом, получаем вещественную и |
мнимую части |
||
комплексной переменной z, связанную с вещественной |
|
и мнимой |
|
частями комплексной переменной . |
|
|
|
e T cos( T ) |
|
|
(3.3) |
e T sin( T ) |
|
|
(3.4) |
|
17 |
|
|
Если же комплексную переменную z представить в показательной форме
|
|
|
z e j |
|
|
(3.5) |
то радиус r и угол выразятся соответственно в виде |
|
|||||
|
|
|
r e T |
|
|
(3.6) |
|
|
|
T |
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда видно, |
что угол , характеризующий (наряду с радиусом r) |
|||||
|
|
|
|
^ |
|
|
положение |
точки на |
Z-плоскости, есть не что иное, |
как |
нормированная |
||
частота |
|
в радианах (см. подраздел 1.2). |
|
|
||
В силу периодичности экспоненты e j e j 2 k угол |
комплексной |
|||||
переменной z указывается с точностью до слагаемого |
2 k , где k – любое |
|||||
|
^ |
|
|
|
|
|
число: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 k |
|
(3.7) |
но как правило, представляет интерес главное значение аргумента в |
||||||
диапазоне |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.8) |
3.2. Отображение p-плоскости на Z-плоскость
Используя взаимосвязь между переменными Z и p (3.1) рассмотрим отображение на Z-плоскость характерных точек и областей p-плоскости
1.Начало координат p-плоскости — точка с координатами ( 0; 0) отображается в точку z-плоскости с координатами ( 1; 0) или с полярными координатами (r 1; 0) (рис. 3.1)
2.Точка p-плоскости с координатами ( ; 0) соответствует началу
координат z-плоскости — точке с |
координатами ( 0; 0) или |
с |
|||||||||
полярными координатами ( 0; 0) |
|
|
|
|
|||||||
z e pt e e j 0T |
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|||
e |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. Точка p-плоскости на оси |
частот |
j с координатами |
( 0; |
|
) |
||||||
2T |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
отображается в точку z-плоскости с координатами (r 1; |
) |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
z e pt e0T e j |
|
T e j |
2 cos( ) j sin( ) j |
|
|
|
|||||
2T |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
4. |
Точка p-плоскости на оси частот |
j с координатами |
( 0; |
|
) |
|||||||||||
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2T |
|
|
отображается |
в точку z-плоскости с координатами ( 0; 1) или с |
||||||||||||||
|
полярными координатами (r 1; ) (рис.3.1) |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) j sin( ) j |
|
|
|
|||||
|
z e pT |
e0T e j |
|
T e j |
2 cos( |
|
|
|
||||||||
|
2T |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
5. |
Две |
точки |
|
p-плоскости |
|
на |
оси |
частот j с |
координатами |
|||||||
|
( 0; ) |
отображаются в одну точку z-плоскости с координатами |
||||||||||||||
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1; 0) |
или с полярными координатами (r 1; ) |
(рис. 3.1) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z e pT |
e0T e j T T |
e j |
cos( ) j sin( ) 1 |
|
|
|
|||||||||
6. |
Отрезок оси частот |
j p-плоскости |
|
|
|
|
||||||||||
|
0; |
|
|
2 |
|
Д |
|
|
|
|
||||||
|
T |
T |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
отображается |
на |
z-плоскость |
в |
окружность единичного радиуса |
|||||||||||
(единичную окружность) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
z e pT e0T e j T e j T e j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
^ |
|
|
|
|
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=2 |
|
|
|
|
|||||
|
r=1; < |
|
|
|
|
|
|
Радиус-вектор совершает один полный оборот, против часовой стрелки начиная с точки z e j 1 . т.е. угол на z-плоскости ограничен областью главных значений
19
Несложно показать, что при движении точки с начальными
координатами ( 0; |
) вдоль оси |
j |
вверх частотный интервал k Д |
|
2 k |
|
|||||
|
T |
|
|
|
1 |
, k=1,2,… отображается на z-плоскости в k –совпадающих единичных
окружностей z e j |
|
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 2 k) |
|
= 2 k ; k=1,2,… |
|
|
|
||
Аналогично |
при |
движении |
точки с |
начальными |
координатами |
||
( 0; ) вдоль |
оси |
j вниз |
частотный |
интервал k Д |
|
2 k |
, k=1,2,… |
|
|||||||
T |
|
|
|
|
|
1 |
|
отображается на z-плоскости в k –совпадающих единичных окружностей
z e j |
|
^ |
|
|
|
( 2 k) |
|
|
Таким |
образом, мнимая ось j отображается в бесчисленное |
множество совпадающих единичных окружностей, вследствие чего возникает неоднозначность отображения точек p-плоскости на z-плоскость. Для их взаимно-однозначного отображения ограничивающийся частотным диапазоном
|
|
|
|
2 |
Д , |
|
T |
||||
|
T |
T |
|
|
|
|
в результате чего, p-плоскость ограничивается "коридором" между |
||||
двумя |
линиями, |
параллельными оси |
абсцисс и пересекающими ось |
||
ординат |
j в точках j |
|
|||
|
|
|
T |
|
|
7. |
"Коридор" в левой полуплоскости |
|
|||
|
|
|
20 |
|