2.7 Моделирование сигналов функциями Уолша

функциям Уолша (рисунок 2.3, г-е).

И

Способ задания функций Уолша через функции Радемахера основан на

том, что каждая функция wal(w, ) Уолша порядка w,

входящаяРв систему из

N 2n

функций, является произведением функций Радемахера (в соответст-

вующих степенях) первых n порядков:

Б

n

a

a

k 1 ,

w 0,

Уn

(2.44)

wal(w, ) rk k

2 1,

k 1

а

Г

a 2k

a 2n

где a , a

коэффициенты, представляющие число w a 20 a21

k

k 1

0

1

k

n

(2.44), можно, в

частности,

е

wal(0, ) r0

( ) r0

( ) r0

( ),

установить, что

1

2

3

wal(3, ) r0( ) r1( ) r0( ) и wal(6, ) r1

( ) r0( ) r1( ).

1

2

3

т

к1

2

3

о

и

л

б

и

Б

имеют

свойство

мультипликативности

wal(k, ) wal(i, )

wal(k i,

), т.е. перемножение двух функций Уолша дает новую функцию;

представить также в виде wal(i, 1 ) wal(i, 2 ) wal(i,

1 2 );

образуют полную систему функций, ортонормированную с единичным

весом на отрезке 0, 1 ;

в соответствии с условиями теоремы разложения в обобщенный ряд Фу-

рье представляют моделируемую функцию

f( ) (нормированного аргумента)

на отрезке 0, 1 рядом (по функциям Уолша)

И

У

Р(2.45)

f( ) Cnwal(n,

),

1

n 0

Г

где Cn f( )wal(n, )d ,

( t/T).

0

Б

Функции Уолша периодичны, поэтому ряд (2.45) в основном используют

для аппроксимации периодических функций

f( ) f( 1). При нахождении

спектральных коэффициентов Cn

(по

Уолша

н логии с рядом Фурье) операцию ин-

к

тегрирования можно выполнять не толь на отрезке 0, 1 , но на любом отрез-

е

являются базисом спектрального

ке единичной длительности. Функции

(негармонического) представл ния сигналов.

2.8 Моделирование сигналов на основе преобразования Фурье

Ортогональные

во

емы базовых функций описывают исследуемые сиг-

сис

временнойт

области). Наряду с этим в задачах модели-

налы на оси времени (

л

спользуют их представление в частотной области и на

рования СТК ш роко

дискретного быстрого преобразований.

преоб

Как звестно, прямое преобразование Фурье ставит во взаимно однознач-

и

f(t ) S( ) исходному сигналу

f(t )

(функции времени)

ное соответствие

спектральную плотность (спектральную характеристику)

Б

S( ) f(t )e j tdt,

(2.46)

тяженные сигналы, описываемые функциями f(t ) с быстро спадающими “хво-

стами”.

Р

И

S( )

f(t )cos tdt j f(t )sin tdt A(

) jB(

У

) S( )ej ( ), (2.48)

B( )

где

S( )

A2( ) B2( )

;

( ) arctg

.

Б

A( )

Модуль

S( )

спектральной

плотности

являетсяГчетной, а аргумент

к

мплитудный и фазовый соответ-

тические спектры непериодического сигн :

е

ственно. Значение S(0)

f (t)dt сп

тральнойлаплотности S( ) численно рав-

но площади (с учетом знака) под кривой f(t )

сигнала.

2

соо

(2.48),

0

Основываясь на

ношении

обратное преобразование (2.47)

представляют также в ф рме

тj ( )

и

1

j t

1

f(t )

S(

)e

e

d

S( )

cos( t ( ))d , (2.49)

которая широко пр меняется в практике моделирования, особенно при исполь-

зовании численных методов.

Рассмотримлнепериодический финитный сигнал fT (t ) произвольной

формы дл тельностью T . Периодическим повторением с периодом T обра-

б

f(t ). Очевидно,

сигнал

зуем соответствующий ему периодический сигнал

fT (t ) иописывается спектральной плотностью S( ) (2.46), сигнал f(t )

спек-

тральными коэффициентами Cn (2.20). Сравнивая эти выражения, устанавлива-

Б

ем:

S(n 1 )/T Cn .

(2.50)

Свойство

линейности.

Если

fi ( t ) Si

( )

( i 1, N ) ,

то

N

N

И

f (t) Ai fi(t) S( ) AiSi( ) ( Ai

– постоянные коэффициенты), т.е. ли-

i 1

i 1

У

Р

нейной суперпозиции сигналов

fi(t ) соответствует линейная суперпозиция их

спектральных плотностей

Г

Si( ). Доказательство свойства выполняется под-

становкой f(t ) в интеграл (2.46) Фурье.

Свойство

сдвига

по

времени.

Если

f1 ( t ) S1( ) ,

то

f

(t ) f

(t t

) S

( ) S (

на

0

2

1

0

2

1

f1(t )Бизменяет только его фазовый

сдвиг

по

времени исходного

сигнала

спектр: начальная фаза ( ) каждой спе тр льной компоненты получает от-

е

угол t , прямо пропорциональ-

рицательное (положительное) приращ ние

т

ный частоте и времени t0. Доказаткльство свойства выполняют по следую-

щей схеме: рассматривают произвольный финитный сигнал

f1(t ), заданный на

о

на отрезке t1 t0 ,

t2 t0 , подверга-

отрезке t1, t2 , переходят к сигналу f2(t )

t

t0 переменной.

л

масштаба по времени. Если f1(t ) S1( ), то

Свойство зменен я

и

1

f

(t ) f

(nt ) S

( )

S

, т.е. растяжению (n 1) или сжатию (n 1)

n

2

1

2

1

n

и

гнала по времени в n раз соответствует такое же по величине сжа-

исходного с

Б

тие (растяжениеб) его спектральной плотности по частоте при одновременном

увел чен

(уменьшении) амплитуд спектральных компонент в n раз. Доказа-

ный финитный сигнал

f1(t ), заданный на отрезке 0, t1 , переходят к сигналу

f2(t ) на отрезке

0, t1

/ n , который подставляют в интеграл (2.46) с после-

дующей заменой t / n в нем переменной.

Свойство

смещения

спектра сигнала. Если f1(t ) S1( ),

то

f2 t f1 t cos 0t 0

S2

1

e j 0 S1 0 e j 0 S1 0 ,

т.е.

2

Свойство

дифференцирования

сигнала. Если f1(t ) S1( ), то

(t ) f ' (t ) S

j

f

, т.е. операция дифференцирова-

2

2

( ) j S ( ) S ( )e 2

1

1

1

И

0

. Доказательство свойства осуществляется подстановкой f2(t ) в инте-

2

частям. Как известно, физическую реализацию математической операции диф-

ференцирования сигнала (функции)

Г

f1(t ) с определенной погрешностью вы-

полняет простейшая дифференцирующая C R — цепь,Упричем величина по-

грешности тем меньше, чем меньше постоянная RC этой цепи.

Свойство

интегрирования

сигнала.

Если

f1(t ) S1( ), то

t

а

f2(t ) f1(t )dt S2( )

1

S ( )

j

Б

S1

( )

1

e

2 , т.е. операция интегрирова-

j

е

ния приводит к относительному ув лич нию (уменьшению) амплитуд низко-

частотных (высокочастотных) сп

ктральных

компонент исходного сигнала и

0

свойс

. Доказательство

ва наиболее просто выполняется представле-

2

f

имеют

f (t )

f ' (t )

0 1

нием сигнала

(t ) в в де

и последующим использованием свой-

1

1т2

л

Свойство интегрирования применимо только к тем

ства дифференцирован я.

б

сигналам,

которые

нулевую (с учетом знака) площадь lim S ( ) 0 .

и

математической операции

интегрирования

сигнала

Физическую реализацию

(функц

)

f1(t ) с погрешностью выполняет простейшая интегрирующая

Б

1

R C — цепь, причем величина погрешности тем меньше, чем больше постоян-

ная RC этой цепи.

Свойство произведения сигналов. Если f1(t ) S1( ) и f2(t ) S2( ),

то

произведение

f(t ) f

(t ) f

(t ) S( )

S

( x)S

( x)dx

1

2

2 1

2

1

S

( x)S

( x)dx,

т.е. произведению исходных сигналов соответствует

2

1

2

ное

для

практики моделирования

следствие:

f1(t) f2(t)dt S(0)

1

1

1

S1(x) S2( x)dx

S1( ) S

2*( )d

S1*( ) S2

( )d ,

где

2

2

2

Р

S1*( ) S2*( ) функция,

комплексно-сопряженная

функции

(спектральной

плотности)

S1 ( ) S2 ( ) .

И

Очевидно, следствие определяет энергию взаимо-

действия сигналов f1(t )

и

f

У

2(t ) через их спектральные плотности S1( ) и

S2( ).

Г

и S2( ) f2

(t ),

Свойство произведения спектров.

Если S1( ) f1(t )

Б

f1(t ) f2( )d , т.е.

то S( ) S1( ) S2( ) f(t ) f1( )f2(t )d

а

щему свойству. Из свойства произведения спектров вытекает известный метод

е

моделирования по формуле Дюам ля.

Свойство взаимозаменя мостиквр мени и частоты. Если f(t ) S( ),

т

повторяющему по форме спек-

то S(t ) F( ) 2 f( ),

.е. сигналу S(t ),

о

f(t ), соответствует спектраль-

тральную плотность S( )

исходного сигнала

ство справедливо для с гнала, описываемого четной функцией

f(t ). Его спек-

тральная

п отность

S( ) также представляет собой вещественную четную

б

функцию. Поэтомуиобратное преобразование Фурье можно представить в виде

1

j t

f t

Sлe

d . Формально выполняя в последнем интеграле замену

2

F( )

на t

t на , приходим к выражению для спектральной плотности

сигналаиS(t ).

БРавенство Парсеваля. Если f (t ) S( ), то

Э

f 2 ( t

)dt

1

1

S( )

2 d

S( )

2 d . Равенство Парсеваля является частным случа-

2

0

дем

спектральную

плотность

S( )

финитного

радиосигнала

f(t ) f1(t )cos( 0t 0

) с

частотой

0

заполнения,

начальной

фазой

0

и огибающей

f1(t ), составленной из трех идеальных прямоугольных

2

Р

импульсов разной длительности и амплитуды (рисунок 2.4, а, б).

f(t )

4A

f1(t )

И

4A

2A

У

A

t

0

2

б

12

Г6

0

t

f

0(t )

-A

A

а

Б

-4A