Задачи по Теории вероятностей

Артамонов Н.В.

28 iюня 2015 г.

Содержание

1.1Плотность, функция распределения и числовые характе-

1Одномерная случайная величина

1.1Плотность, функция распределения и числовые характеристики

№1. Случайная величина X имеет плотность

1.Найдите нормировочный множитель c;

2.Вычислите P(X > 0:5), P(0:25 < X < 0:75), P( 1 < X < 0:5);

3.Вычислите E(X), Var(X) и момент произвольного порядка k;

4.Найдите функцию распределения F (x);

5.Найдите формулу для квантили уровня p 2 (0; 1) и медиану распределения.

1

№2. Случайная величина X имеет плотность ( > 0 – параметр распределения)

(

f(x) = cx ; x 2 [0; 1] 0; иначе

1.Найдите нормировочный множитель c;

2.Вычислите P(X > 0:5), P(0:25 < X < 0:75), P( 1 < X < 0:5);

3.Вычислите E(X), Var(X) и момент произвольного порядка k;

4.Найдите функцию распределения F (x);

5.Найдите формулу для квантили уровня p 2 (0; 1) и медиану распределения.

№3. Случайная величина X имеет плотность

1.Найдите нормировочный множитель c;

2.Вычислите P( 5 X 0:25);

3.Вычислите E(X), Var(X) и момент произвольного порядка k;

4.Найдите функцию распределения F (x).

№4. Случайная величина X имеет плотность ( ; > 0 – параметры

1.Найдите нормировочный множитель c;

2.Вычислите P(X < 0:5);

3.Вычислите E(X), Var(X) и момент произвольного порядка k;

4.Найдите функцию распределения F (x).

2

№5. Случайная величина X имеет плотность

1.Найдите нормировочный множитель c;

2.Вычислите P(X > 0:5), P(0:25 < X < 0:75), P( 1 < X < 0:5);

3.Вычислите E(X), Var(X) и момент произвольного порядка k;

4.Найдите функцию распределения F (x);

5.Найдите формулу для квантили уровня p 2 (0; 1) и медиану распределения.

№6. Случайная величина X имеет плотность

1.Найдите нормировочный множитель c;

2.Вычислите P(X > 0:5), P(0:25 < X < 0:75), P( 1 < X < 0:5);

3.Вычислите E(X), Var(X) и момент произвольного порядка k;

4.Найдите функцию распределения F (x).

№7 (Равномерное распределение). Пусть случайная величина X имеет плотность

Обозначение X U(a; b).

1.Найдите нормировочную константу c;

2.Вычислите E(X), Var(X) и момент произвольного порядка k;

3.Найдите функцию распределения F (x);

3

4.Найдите формулу для квантили уровня p 2 (0; 1) и медиану распределения.

№8 (Экспоненциальное распределение). Для случайной величины X с плотностью ( > 0 – параметр распределение)

1.Найдите нормировочную константу c;

2.Вычислите E(X), Var(X) и момент произвольного порядка k;

3.Найдите функцию распределения F (x);

4.Найдите формулу для квантили уровня p 2 (0; 1) и медиану распределения.

№9 (Распределение Парето). Для случайной величины X с плотностью ( > 0 – параметр распределение)

(

f(x) = x 1 ; x 1 0; x < 1

1.Найдите нормировочную константу c;

2.Вычислите E(X) (при > 1), Var(X) (при > 2) и момент произвольного порядка k;

3.Найдите функцию распределения F (x);

4.Найдите формулу для квантили уровня p 2 (0; 1) и медиану распределения.

№10 (Логистическое распределение). Случайная величина X имеет функцию распределения

1.Найдите плотность распределения (x);

2.Найдите формулу для квантили уровня p 2 (0; 1) и медиану распределения.

4

№11 (Распределение Вейбулла). Случайная величина X имеет функцию распределения ( > 0, k > 0 – параметры распределения)

1.Найдите плотность распределения w(x);

2.Найдите формулу для квантили уровня p 2 (0; 1) и медиану распределения.

№12 (Распределение Коши). Пусть плотность распределения случайной величины X имеет вид

1.Найдите нормировочный множитель c;

2.Найдите функцию распределения F (x);

3.Найдите формулу для квантили уровня p 2 (0; 1) и медиану распределения.

1.2Распределение функции от случайной величины

Во всех задачах необходимо найти функцию распределения и плотность функции от случайной величины.

№13 (Равномерное распределение). Пусть X U(0; 1). Найдите распределение случайных величин

p

X2; X; X 1

№14 (Равномерное распределение). Пусть X U( 1; 1). Найдите распределение случайных величин

p jXj; X2; jXj

№15 (Нормальное распределение). Пусть X N(0; 1).

1.Найдите распределение случайной величины eX (логнормальное распределение);

5

2.Найдите распределение случайной величины X2 (распределение

21);

3.Найдите распределения случайных величин jXj, X4.

№16. Случайная величина X имеет экспоненциальное распределение с плотностью ( > 0 – параметр распределения)

Найдите нормировочный множитель c и распределения случайных вели-

№17. Случайная величина X имеет распределение Парето с плотностью ( > 0 – параметр распределения)

(

f(x) = cx 1 ; x 1 0; x < 1

Найдите нормировочный множитель c и распределения случайных вели-

Найдите нормировочный множитель c и распределения случайных вели-

чин

jXj; X2:

№19. Случайная величина X имеет логистическое распределение

Найдите распределения случайных величин

jXj; X2:

6

№20. Случайная величина X имеет распределение с плотностью

Найдите нормировочный множитель c и распределения случайных вели-

Найдите нормировочный множитель c и распределения случайных вели-

чин

X2; jXj:

7