bludova_t_v_praktikum_z_vishoi_matematiki

сторонами деякого трикутника. Обчислити кути трикутника і довжину медіани AD, якщо i i j — ортивідповідноїсистемикоординат.

Таблиця 2.1-5

Задача 2.1-6. Знайти проекцію вектора a bm sn на вісь, яка має напрям b pm qn , де m i n — одиничні вектори, кут між якими ( m, n ) = 120.

40

41

Задача 2.1-8. Дано вектор p ai bj ck , де i , j,k — орти від-

повідної системи координат. За даними табл. 2.1–8 знайти: а) довжину вектора p;

б) напрямні косинуси вектора p ;

в) проекцію вектора p на вектор q 2i 3 j 6k.

Таблиця 2.1–8

Задача 2.1-9. Дано вектор a a1,a2 ,a3 . За даними табл. 2.1-9

знайти:

а) довжину вектора;

б) одиничний вектор, паралельний вектору a ;

в) одиничнийвектор, перпендикулярнийдовектора a тадоосіОх;

42

Задача2.1-10. КоординатиточокA, B, C іD задано в табл. 2.1-10. Знайти:

1)розклад:

а) вектора 3 AC 2 AD в базисі AB, AC ; б) вектора 2 AC 3CD в базисі AB, AC, AD ;

2)центр мас трикутника ABC ;

3)довжини діагоналей паралелограма, побудованого на векто-

рах AB і AC , та кут між ними;

4)координати точки, яка поділяє відрізок DC у відношенні

л23 ;

5)розклад векторівAD, BD, CD і AD BD CD в базисі AB, AC ;

6)проекцію вектора AB на вісь, яка утворює з осями Ох, Оy гострі кути 600 , 1200 , а з віссю Оz тупий кут ;

7)проекцію вектора AD AC в напрямі вектора DC ;

8)проекцію вектора AD DC на координатні осі;

AACB; г) 2AB AC DC;

18)об’єм паралелепіпеда, побудованого на векторах AD, BD, CD;

19)об’єм тетраедра ABCD;

20)рівняння висоти, опущеної з точки D на площину АВС, і її довжину;

21)кут між площинами ABD і ABC;

22)площу проекції ABD на площину АВС;

23)відстань від точки А до прямої DC;

24)2AB CB 2BC BA ; AB2 ; AC2 ;

25)модуль вектора AB AC і його напрямні косинуси;

43

26)рівняння площини, яка проходить через точку А і паралельна площині BCD;

27)умову компланарності векторів AB BC, AD AC, AD AB.

Таблиця 2.1-10

44

Задача 2.2-1. Дано рівняння двох сторін АВ: ах + bу + с = 0 і

АС: mx + ny + p = 0, а також точку перетину медіан М (s, q). За даними табл. 2.2-1 знайти:

а) рівняння третьої сторони; б) відстань від точки В до прямої АС;

в) кут В в радіанах з точністю до двох знаків; г) точку перетину висот трикутника.

45

Таблиця 2.2-1

Задача 2.2-2. Дано координати двох вершин А (x1, y1) і В (x2, y2) трикутника АВС, а також точку М (x3, y3) перетину висот. За даними табл. 2.2-2 знайти:

а) рівняння сторін цього трикутника; б) координати третьої його вершини; в) тангенс кута А;

г) довжину висоти ВD; д) площу трикутника; е) точку перетину медіан.

Таблиця 2.2-2

46

Задача2.2-3. Данорівнянняоднієїзісторінквадратаах+ bу+ с= 0 іточку перетину діагоналейМ (d, l). Заданими табл. 2.2-3 знайти:

а) рівняння решти сторін і координати вершин; б) довжину сторони квадрата;

в) найбільшу відстань від вершини квадрата до початку координат.

Задача 2.2-4. Відомо рівняння двох сторін паралелограма

АВ: а1х + b1у + с1 = 0; АD : а2х + b2у + с2 = 0. Діагоналі паралелограма перетинаються в точці М (d, l). За даними табл. 2.2-4 знайти:

а) рівняння діагоналей; б) довжини висот паралелограма; в) кут ВАD паралелограма;

г) площу паралелограма;

д) рівняння висоти, опущеної з точки А на діагональ ВD.

47

Таблиця 2.2-4

Задача 2.2-5. Дано рівняння прямої ах + bу + с = 0 і точку М (d, l). За даними табл. 2.2-5 знайти:

а) рівняння прямої, яка проходить через точку М перпендикулярно до даної прямої;

б) координати точки М1, симетричної точці М, відносно даної прямої;

в) рівняння прямої, яка проходить через точку М під кутом 45 до даної прямої;

г) площу квадрата, сторона якого лежить на даній прямій і однією з вершин якого є точка М.

48

Задача 2.2-6. Пряма проходить через точку М (а, b) і відтинає трикутник площею S. За даними табл. 2.2-6 знайти:

а) рівняння прямої (дослідити окремі випадки); б) відстань від початку координат до прямої;

в) відстань між точками перетину даної прямої з осями координат;

г) рівняння прямої, яка проходить через початок координат перпендикулярно до шуканої.

Таблиця 2.2-6

Задача 2.2-7. Дано дві точки А (а, b) і В (с, d). За даними табл.2.2-7 знайти:

а) точку перетину прямої АВ з віссю Ох;

б) точку Сна осіОх, такущоплощатрикутникаАВСдорівнює S; в) відстань від точки С до прямої АВ;

г) рівняння висоти СD трикутника АВС; д) кут АСВ.

49