Дискрет мат Лабы / Л.р.№2 Zпреобразования / Л.р.№2 Zпреобразования

Министерство образования и науки РФ

Федеральное государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Владимирский государственный университет

имени Александра и Николая Григорьевича Столетовых

Кафедра радиотехники и радиосистем

Лабораторная работа №2

Z – преобразования

11 вариант

Выполнил студент Группы КТс-113:

Спеньков К.А.

Проверил:

Бернюков А.К.

Цель работы:

Практическое изучение дискретных последовательностей.

Подготовка к работе:

Задача по теме:

x1(n)=e^Pкn; p_k= jπ/4 = σ_k+jω_k; σ_k=0;ω_k= π/4.

x2(n)=aⁿ; a=-1.

x3(n)=cos(ωn); ω= π/4.

x4(n)= sin(ωn); ω= π/4.

Построить графики:

x_Re(n); x_Im(n); z – плоскость.

Решение:

1);

Координаты нуля: z₀₁=0; координаты полюса z₁=e^jπ/4.

Поскольку |z1|=1, и arg(z1)=φ₁=ω₁T=π/4, ω₁= π/(4T) то заданный сегмент содержит две квадратурные составляющие

x_Re(n)= cos(πn/4); x_Im(n)= sin(πn/4);

дискретизированными восьмью отсчётами за период: T₁=2π/ ω₁=2π/ (π/(4T))=8T

2) x2(n)=aⁿ; a=-1;

Следовательно, координаты нуля: z₀₁=0; координаты полюса z₁=-1;

3) x3(n)=cos(nπ/4); arg(z)=φ=ωT=πT/4

Следовательно, координаты нуля: z₀₁=0; z₀₁= =0,707.

Координаты полюса z_n12= ; отсчётов за период: T₁=2π/ ω₁=2π/ (π/(4T))=8T

4) x4(n)= sin(nπ/4); arg(z)=φ=ωT=πT/4

Следовательно, координаты нуля: z₀₁=0.

Координаты полюса z_n12= ; отсчётов за период: T₁=2π/ ω₁=2π/ (π/(4T))=8T

Контрольные вопросы:

1) Как преобразовать совокупность случайных чисел {x(k)} во временной ряд, (дискретную последовательность)? Построить блок схему алгоритма вычислений по выражению: ; где- единичный импульс.

x(n)  xT(n) n-k)

Представим k как mT, где m=n/T=,...,0,1,2,...,; T – шаг дискретизации. Где{x(k)} - выборки x(n) с периодом Т, площадью x(k) и длительностью, равной нулю в дискретные моменты времени m. Тогда совокупность

случайных чисел {x(k)} можно представить как временной ряд следующим образом:

2) Дать на конкретном примере ( задача при подготовке к работе) определение комплексной ДП и её квадратурным компонентам.

Комплексной ДП можно назвать ДП имеющую квадратурные компоненты и представленную комплексной дискретной экспонентой. В примере:

x(n)= e^P0n=e ^(σ0+jω0)n= e ^σ0n e ^jω0n= e ^σ0n(sinω₀n+cosω₀n)= e ^-n(sin(πn/4) +cos(nπ/4));

x_Re(n)= e ^σ0ncosω₀n= e ^-ncos(πn/4); x_Im(n)=e ^σ0nsinω₀n=e ^-nsin(πn/4);

квадратурные компоненты реальная и мнимая соответственно.

3) Что такое модуль и аргумент ДП?

Модуль ДП – квадратный корень из суммы квадратов действительной и мнимой части ДП, из примера:

|x(n)|=;

причём при ₀<0 ДП затухает, при ₀>0 нарастает, при ₀=0 |ẋ(n)|=1.

Аргумент ДП – арктангенс отношения мнимой части ДП к действительной, в примере:

arg x(n)=arctg(x_Im(n)/ x_Re(n))= ω₀n= nπ/4

4) Что такое энергия и мощность ДП?

Энергия ДП – это сумма квадратов N модулей ДП: ;

Мощность ДП – отношение энергии к N: .

5)Как отражаются дискретные сигналы в плоскости переменной z=e^pT? Как связанны параметры полюса с характером ДП?

а) начало координат плоскости p отображается в точку на вещественной оси z_Re=1, (z _Im=0) плоскости z ;

б) любая точка на мнимой оси плоскости p в пределах -j/T j_i  j/T отображается на единичную (_i=0) окружность плоскости z. При движении p_i вдоль мнимой оси j в интервале (-j, j) соответствующая точка z _i описывает  число окружностей с радиусом 1 (_i=0). Один оборот совершается в пределах _i    _i+2/T=_i+ ;

в) однозначное отображение плоскости p в плоскость z существует только для полосы p-плоскости  j/T, то есть внутри полосы левая полуплоскость отображается внутрь единичного круга. Все параллельные полосы (периодические конфигурации полюсов при дискретизации сигнала с периодом T=2/) отображаются внутри того же круга;

г) правая полуплоскость p (зона неустойчивых сигналов и систем) отображается на всю плоскость z вне единичного круга.

Модуль показывает изменение амплитуды ДП за период дискретизации T.

Угол  _i=_iT в z-плоскости характеризует фазовый сдвиг за период дискретизации T. По величине  _i можно судить о числе отсчетов N за период T_i дискретизованного гармонического сигнала:

Полный оборот вектора z _i за один период дискретизации ( _i=2) соответствует частоте дискретизации _i==2/T.

Величина определяет задержку на период дискретизации T.

Следует заметить, что z-значение полюсов описывает только характер сигнала (без учета его начальных параметров). Точное z-отображение ДП- в рамках аналитических прямого и обратного z-преобразований.

Ход работы: