Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Киевский национальный университет им. Т. Шевченко

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

MathAnalysis2015

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.03.2016

Размер:

539.4 Кб

Скачать

☆

1 / 91 2 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

КИЇВСЬКИЙ НАЦIОНАЛЬНИЙ УНIВЕРСИТЕТ IМЕНI ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

НАВЧАЛЬНI ЗАВДАННЯ

ДО ПРАКТИЧНИХ ЗАНЯТЬ З

МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛIЗУ

для студентiв спецiальностi "механiка" механiко–математичного факультету

(I семестр першого курсу)

2015

Навчальнi завдання до практичних занять з математичного аналiзу для студентiв механiко–математичного факультету (1 семестр першого курсу) / Упорядн. М. О. Назаренко, О. Н. Нестеренко, Т. О. Петрова, А. В. Чайковський. – Електронне видання. – 2015. – 91 с.

	ЗМIСТ
ЗМIСТ . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	3
ПЕРЕДМОВА	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	5
ЗАНЯТТЯ 1.	СПРОЩЕННЯ ВИРАЗIВ.
АЛГЕБРАЇЧНI ТА IРРАЦIОНАЛЬНI РIВНЯННЯ. ПРОГРЕСIЇ. . . . . . . . . . . .		7
ЗАНЯТТЯ 2.	ГРАФIКИ ЕЛЕМЕНТАРНИХ ФУНКЦIЙ. ВЛАСТИВОСТI ЛО-
ГАРИФМIВ ТА ПОКАЗНИКОВИХ ФУНКЦIЙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		12
ЗАНЯТТЯ 3.	ТРИГОНОМЕТРIЯ. НЕРIВНОСТI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	17
ЗАНЯТТЯ 4.	КОНТРОЛЬНА РОБОТА. ВИБРАНI ПИТАННЯ ЕЛЕМЕНТАР-
НОЇ МАТЕМАТИКИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		21
ЗАНЯТТЯ 5.	ЛОГIЧНI СИМВОЛИ. МНОЖИНИ I ДIЇ НАД НИМИ. . . . . . . . .	23
ЗАНЯТТЯ 6.	ДIЇ НАД МНОЖИНАМИ (ПРОДОВЖЕННЯ). ВIДОБРА-
ЖЕННЯ. ОБРАЗИ I ПРООБРАЗИ. СЮР’ЄКЦIЯ, IН’ЄКЦIЯ, БIЄКЦIЯ. . .		27
ЗАНЯТТЯ 7.	ДIЙСНI ЧИСЛА. ОСНОВНI НЕРIВНОСТI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	30
ЗАНЯТТЯ 8.	ГРАФIКИ ФУНКЦIЙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	32
ЗАНЯТТЯ 9.	ГЕОМЕТРИЧНЕ МIСЦЕ ТОЧОК. ПОЛЯРНI КООРДИНАТИ. 34
ЗАНЯТТЯ 10.	ГРАНИЦЯ ПОСЛIДОВНОСТI. ОБЧИСЛЕННЯ ГРАНИЦI ЗА
ОЗНАЧЕННЯМ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		37
ЗАНЯТТЯ 11.	ВЛАСТИВОСТI ЗБIЖНИХ ПОСЛIДОВНОСТЕЙ.
ТЕОРЕМА ПРО ГРАНИЦЮ СУМИ, ДОБУТКУ I ЧАСТКИ . . . . . . . . . . . . .		40
ЗАНЯТТЯ 12.	ГРАНИЦЯ ПОСЛIДОВНОСТI. ТЕОРЕМА ШТОЛЬЦА . . . . . . .	43
ЗАНЯТТЯ 13.	ГРАНИЦЯ МОНОТОННОЇ ПОСЛIДОВНОСТI . . . . . . . . . . . . . . .	45
ЗАНЯТТЯ 14.	ТОЧНI МЕЖI. ПIДПОСЛIДОВНОСТI. ЧАСТКОВI ГРАНИЦI.
ВЕРХНЯ ТА НИЖНЯ ГРАНИЦI ПОСЛIДОВНОСТI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		48
ЗАНЯТТЯ 15.	ТОЧНI МЕЖI. ПIДПОСЛIДОВНОСТI. ЧАСТКОВI ГРАНИЦI.
ВЕРХНЯ ТА НИЖНЯ ГРАНИЦI ПОСЛIДОВНОСТI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		50
ЗАНЯТТЯ 16.	ФУНДАМЕНТАЛЬНI ПОСЛIДОВНОСТI. КРИТЕРIЙ КОШI .	52
ЗАНЯТТЯ 17.	КОНТРОЛЬНА РОБОТА. ДIЇ НАД МНОЖИНАМИ.
ТОЧНI МЕЖI. ГРАНИЦI ПОСЛIДОВНОСТЕЙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		54

ЗАНЯТТЯ 18. ГРАНИЦЯ ФУНКЦIЇ У ТОЧЦI. АРИФМЕТИЧНI ДIЇ НАД
ГРАНИЦЯМИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	57
ЗАНЯТТЯ 19. ГРАНИЦЯ ФУНКЦIЇ В ТОЧЦI (ПРОДОВЖЕННЯ). . . . . . . . . . .	61
ЗАНЯТТЯ 20. ГРАНИЦЯ ФУНКЦIЇ У ТОЧЦI (ПРОДОВЖЕННЯ). . . . . . . . . . .	64
ЗАНЯТТЯ 21. ОДНОСТОРОННI ГРАНИЦI.
ВIДНОШЕННЯ "О", "о" ТА ЕКВIВАЛЕНТНОСТI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	67
ЗАНЯТТЯ 22. НЕПЕРЕРВНI ФУНКЦIЇ. ТОЧКИ РОЗРИВУ . . . . . . . . . . . . . . . . .	71
ЗАНЯТТЯ 23. ВЛАСТИВОСТI НЕПЕРЕРВНИХ ФУНКЦIЙ.
РIВНОМIРНА НЕПЕРЕРВНIСТЬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	73
ЗАНЯТТЯ 24. ОЗНАЧЕННЯ ПОХIДНОЇ. ОБЧИСЛЕННЯ ПОХIДНИХ . . . . . . .	75
ЗАНЯТТЯ 25. ОБЧИСЛЕННЯ ПОХIДНИХ (ПРОДОВЖЕННЯ) . . . . . . . . . . . . .	78
ЗАНЯТТЯ 26. ОБЧИСЛЕННЯ ПОХIДНИХ (ПРОДОВЖЕННЯ).
ГЕОМЕТРИЧНИЙ ЗМIСТ ПОХIДНОЇ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	80
ЗАНЯТТЯ 27. ДИФЕРЕНЦIЙОВНIСТЬ. ДИФЕРЕНЦIАЛ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	82
ЗАНЯТТЯ 28. ПОХIДНI ТА ДИФЕРЕНЦIАЛИ ВИЩИХ ПОРЯДКIВ . . . . . . . .	85
ЗАНЯТТЯ 29. КОНТРОЛЬНА РОБОТА. ГРАНИЦЯ ФУНКЦIЇ В ТОЧЦI. ПО-
ХIДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	87
ПРОГРАМА КУРСУ "МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛIЗ" ДЛЯ СТУДЕНТIВ
СПЕЦIАЛЬНОСТI "МЕХАНIКА".
I КУРС, I СЕМЕСТР . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	89

ПЕРЕДМОВА

У цьому методичному посiбнику наведенi теми практичних занять з математичного аналiзу, умови задач, рекомендованих для розв’язання в аудиторiї, а також задачi для домашньої роботи

Головна мета практичних занять активне засвоєння студентами основних понять i положень курсу, набуття навичок їх застосування до розв’язання стандартних задач, опанування деяких спецiальних методiв. Умовам задач в кожному заняттi передують кiлька контрольних запитань, вiдповiдi на якi студенти мають пiдготувати вдома.

Укожному заняттi група задач А задачi для аудиторної роботи, група

Бдля домашнього завдання. Кiлькiсть i якiсть задач, що розв’язуються в аудиторiї i задаються додому, залежить вiд рiвня пiдготовки cтудентiв. Цi задачi пiдбираються викладачем з набору задач, наведених в методичцi.

Пропонуються також завдання пiдвищеної складностi для студентiв з високим рiвнем пiдготовки за умови успiшного виконання обов’язкової частини. Задачi пiдвищеної складностi позначенi лiтерою Д.

Упершому семестрi, як правило, проводяться двi контрольнi роботи, зразки умов та розв’язання (частково) яких наведено в текстi.

Упосiбнику також вмiщено програму курсу "Математичний аналiз"для студентiв спецiальностi "механiка" I курс, I семестр".

При пiдборi задач використано такi збiрники задач:

Сканави М.И. Сборник задач по математике для поступающих во втузы. – Минск, 1990.

Дороговцев А.Я. Математический анализ. Сборник задач. -- Киев, 1987. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому

анализу. – М., 1969.

Виленкин Н.Я. и др. Задачник по курсу математического анализа. // Под ред. Н.Я.Виленкина – М., 1971, Ч.1.

Частина задач складена упорядниками. При пiдготовцi цього учбового посiбника автори суттєво використали методичнi розробки

Навчальнi завдання до практичних занять з математичного аналiзу для студентiв механiко-математичного факультету (1 семестр першого курсу) // Упорядн. А.Я.Дороговцев, О.О.Курченко, М.О.Денисьєвський. – К.,1994,

Навчальнi завдання до практичних занять з математичного аналiзу для студентiв механiко–математичного факультету (1 семестр першого курсу) / Упорядн. М. О. Денисьєвський, О. О. Курченко, В. Н. Нагорний, А. В. Чайковський. – К.: ВПЦ "Київський унiверситет", 2002.

Навчальнi завдання до практичних занять з математичного аналiзу для студентiв механiко--математичного факультету (2 семестр першого курсу) // Упорядн. М. О. Денисьєвський, О. О. Курченко, В. Н. Нагорний, А. В. Чайковський, О.Н. Нестеренко. – К.: ВПЦ "Київський унiверситет", 2004.

ЗАНЯТТЯ 1 СПРОЩЕННЯ ВИРАЗIВ.

АЛГЕБРАЇЧНI ТА IРРАЦIОНАЛЬНI РIВНЯННЯ. ПРОГРЕСIЇ

Контрольнi запитання

1.Формули скороченого множення.

2.Властивостi дiй над степенями.

3.Властивостi дiй з коренями.

1. Спростити вираз:

a2+3a

;

ax¡5x+8a¡40

x+8

r13 + 30

2 +

9 + 4p

1=2

+ y

1=2

(x + y)

(x + y)1=2

x1=2 + y1=2

(m¡n)2+4mn

ry m2¡n2

m¡n

А1

!¡2

x + y

¡ 2pxy ;

2. Вказати множину, на якiй виконується рiвнiсть px2 + 6x + 9 = x + 3:

p 2

pa2

= (p

)2; б) p

; в)

3. Коли правильнi формули: а)

y ; г) a b = ¡ a b?

Розв’язати рiвняння:

= 0;

8x2

¡ 5x

¡ 3

+ x + 1)(x + x + 2) = 12;

2x3 ¡ 5x2 + 7x ¡ 10 = 0;

jx2j + jx ¡ 1j = 1;

jx ¡ 3x + 2j + 2x = 0:

5. Розв’язати системи рiвнянь:

x¡1 + y¡1 = 5;

xy = ¡12;

(x¡2 + y¡2 = 13;

(x2

¡ xy = 28:

6.Розв’язати рiвняння з iррацiональностями:

1)px + 1 + px = 1;

2)p3x + 4 + px ¡ 4 = 2px:

7.Знайдiть суму дванадцяти перших членiв арифметичної прогресiї, якщо a1 = ¡40; d = 6:

8.Знайдiть 10-й член геометричної прогресiї, якщо b1 = ¡128 i q = 12 :

9.Знайти натуральне число n таке, що:

1)2 + 5 + ::: + (3n + 2) = 7n + 5;

2)3 + 6 + 12 + ::: + 3 ¢ 2n = 4n ¡ 7 ¢ 2n+2 + 2n+1 ¡ 3:

Д1. Спростити вираз:

2+2a 3

2a + a2)(a2

1)(a

1) :

a 4

;

pa+1

¡x2¡x+1

¢ j

;

x ¡5x +7x¡3

4x+4+x¡1

;

¢j2x2¡x¡1j

pp5¡2¢p9+4p5+ pa2¡pa

5+2¢p4

9+4p

5+a

Д2. Розв’язати рiвняння:

;

x2+3x+2

x2+5x+2

1 p

px =

1 + px +

9 ¡ px + 1 +

7 + px + 1 = 4;

+ p

24 +

7 + px + 1 = 4;

1 +

¡ p

+ px = 1:

Д3. Розв’язати системи рiвнянь:

x3 + x3y3 + y3 = 17;

x2 + 2y2 = 17;

(x + xy + y = 5;

(x2 ¡ 2xy = ¡3;

xy + x22 + x33

= 14;

x3 + y3 = 2;

(x + yy = 3;y

(x2 + y2 = 2:

Д4. Чи

правильно,

що

для всiх

(

2; 2) виконується нерiвнiсть

x4 + x · 20:

Д5. Скiльки членiв арифметичної прогресiї 4; 10; ::: знаходиться мiж числами 110 i 340?

Д6. При яких значеннях параметра a коренi рiвняння x2 + 2(a ¡ 7)x + a2 ¡ 9 = 0 рiзнi i обидва додатнi?

Д7. Знайти всi значення параметра a; при яких рiвняння (a¡2)x2 ¡2(a+ 3)x+4a = 0 має два коренi, якi задовольняють умову: а) x1 < 2; x2 > 3;

б) x1 < 3; x2 > 2:

Д8. При яких значеннях параметра a рiвняння x2+4x¡2jx¡aj+2¡a = 0 має чотири коренi?

Б1

1.Розкласти на множники:

1)a2(x ¡ 1) ¡ y(1 ¡ x);

2)3(x + y) + (x + y)2;

3)ax + ax+1;

4)acx2c + acxc;

5)ax2 ¡ cx2 ¡ cx + ax ¡ a + c;

6)12a2y2 ¡ 6ayc + 3ac2 ¡ 6a2yc ¡ c + 2ay;

7)(x + y)(x2 + y2) ¡ x3 ¡ y3;

8)a2b2(b ¡ a) + b2c2(c ¡ b) + c2a2(a ¡ c);

9)x3 + 9x2 + 11x ¡ 21;

10)x4 + y4 + z4 ¡ 2x2y2 ¡ 2x2z2 ¡ 2y2z2;

11)x2y + xy2 + x2z + xz2 + y2z + yz2 + 3xyz:

2.Позбавитися iррацiональностi в знаменнику:

	p		;	2)		2			;	3)			47
	p					2							47
	b	b															:
	b	b													4
1)	4				p		p					p
1)	4				p		p					p
	p	5				5+		6			2		3	¡		3
		b												¡

3. Спростити вираз:

a + x ¡

a2+x2

;

a¡x

;

3x¡2

6xy+9x¡4y¡6

+ 1

2x2

;

1¢ 4x ¡1

³x 2

¡b

¢ ³

4x2

8c2

2x+y

;

(a¡b)(a¡c)

(b¡a)(b¡c)

(c¡a)(c¡b)

9 ¡

;

a7=12

x5=6

: a

2=3

3=4

0:5

0:25

0:5

¡ (ax)

0:25

0:5

);

+ (ax)

+ x

) ¢ (a

+ x

10)

0:5

(ax)0:5

0:5

a¢a0:5

+x¢0x:5

;

´ ¢ ³

a4=3 8a1=3b

: (1

)

2=3´

11)

3 b

;

2=3

+4b2=3

1=2

¡ x

12)

x + (x ¡ 1)

1 ¡ px2¡1

x ¡ px2 ¡ 1

x(x2 ¡ 1)¡1=2

+ 1

(x ¡ x1 )¡1=2

4. Спростити вираз:

(p4

+ p4

)2 + (p4

¡ p4

;

2(m ¡ n)

pm3 ¡ pn3

x ¡ y

x1=2y1=4 + x1=4y1=2

x1=4y¡1=4

x3=4 + x1=2y1=4 ¢

x1=2 + y1=2

¢ x1=2 ¡ 2x1=4y1=4

+ y1=2

5. Нехай D =

0; x =

+ p

Обчислити

q¡

x3 + ax + b:

6. Розв’язати рiвняння:

¡ 4x ¡ 1 = 0;

5x2

2x + 3x + 7 = 0;

3x2 + 9x + 1 = 0;

2x4 + x2 ¡ 3 = 0;

(x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) = 9;

3¡ 1)(x2

¡ 2)(x ¡ 3)(x ¡ 4) = 3;

4x + 1 = 0;

= ¡2;

xx+1+1 + xx

+22

¡14

= 0;

20(xx+1¡2 )2 ¡ 5(xx+21 )2

+ 48xx2

= 1;

10)

3x2¡x+2

3x2+5x+2

11)j2x ¡ 1j + jx + 1j = 1;

12)j1 ¡ xj + j3x ¡ 1j = 2;

13)jx2 ¡ 3j + 2 = 0;

14)j5 ¡ 4x ¡ x2j + x ¡ 5 = 0:

1 / 91 2 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.03.2025180.92 Кб2mat.log1ustn.docx
#
01.03.20252.2 Mб0Matan-examen-ответы.doc
#
20.11.201829.73 Кб6Match_the_English_cinema_words_with_their_Ukrai....docx
#
01.04.20252.38 Mб0Matematichny_analiz.doc
#
01.05.2025330.24 Кб0Materialy_rukovodyaschie_rabotniki.doc
#
07.03.2016539.4 Кб7MathAnalysis2015.pdf
#
01.04.20254.74 Mб0matstatistika_vse.docx
#
07.03.20161.97 Mб31mat_metody_Nasledov.docx
#
09.12.20183.27 Mб44mat_model.doc
#
19.03.201514.21 Mб274Mech-Slobod.pdf
#
19.03.20154.07 Mб36mediapravo_ispit.pdf