Зубенко, Омельчук - Програмування. Поглиблений курс

Розділ І. ЛОГІКО-АЛГЕБРИЧНІ УНІВЕРСАЛІЇ

7. Що таке терм (умовний терм, підтерм)?

8. Скільки всього підтермів у таких термах: а)

(((x y) +(x /y)) 1),

б) (f 3(x,y,x) + g2(f 3(1,x +y,g2(x,z)),2))?

9.Що таке опорна операція в термі? Проілюструвати прикла- дами.

10.У чому полягає різниця між префіксними, постфіксними та інфіксними термами?

11.Що таке ОПЗ?

12.Яка роль формул у ПЧП?

13.Які бувають логічні зв'язки та квантори?

14.Що таке пропозиційна змінна та пропозиційна формула?

15.Дати визначення тавтології. Навести приклади тавтологій.

16.Що таке рівносильні пропозиційні формули?

б) P Q R ↔ ←Q P .

19.Розглянемо систему аксіом:

1)P (Q P );

2)(P (Q R)) ((P Q) (P R)) ;

3)(←Q ←P ) ((←Q P ) Q)

і правило виведення MP (лат. – modus ponens): із формул- засновків P , P Q виводиться формула-висновок Q . Пока-

зати, що: а) усі аксіоми 1)–3) є тавтологіями для будь-яких фор- мул P,Q,R , б) якщо у правилі МР засновки P , P Q – тав-

тології, то й висновок Q – тавтологія, в) ** система аксіом є по-

вною, тобто в ній виводяться усі тавтології [84].

20. Довести рівносильність пропозиційних форм 1)-6):

1)x x & y x; 2)x &(y x) x; 3)x x & y x y;

4)←x x & y ←x y; 5)x &(y x) x & y; 6)←x &(y x) ←x & y.

21.Відновити дужки у формулі y z x(P 1(x) P2(y)& ←P1(z)).

22.З'ясувати, які входження змінних x,y,z є вільними та зв'я-

заними у формулі y(P 2(x,y) z xP1(y,x,z)) P 2(z,y)) . 23. Записати засобами ПЧП натуральної арифметики такі твер-

дження:

а) для будь-яких двох чисел існує найбільший спільний дільник; б) найбільший спільний дільник двох чисел ділиться на будь- який їхній спільний дільник.

31

ПРОГРАМУВАННЯ

24. Студент написав твердження: x(Dv(x) ³ä(x)), де універ- сумом є академічна група, ³ä(x) інтерпретується як " x – відмінник", Dv(x) – як " x має заборгованості". Чи може воно

бути істинним?

25. Ввести необхідну сигнатуру й переформулювати твердження у вигляді формул відповідних ПЧП:

а) тільки судді в захваті від суддів; б) існують судді, від яких не в захваті жоден правопорушник;

в) кожна жінка-адвокат у захваті від якогось судді-чоловіка; г) деякі програми можна зрозуміти; д) деякі лекції не можна зрозуміти;

е) є замки, які не відкриваються, але зачиняються; є) кожна програма містить помилки; ж) усі чесні програмісти поважають один одного.

26 * . Спростити формули ПЧП, де p,q,r – унарні предикатні символи, x,y,z – предметні змінні:

p(x)& q(y)& r(z) p(x)& q(y)& ←r(z) а) p(x)& ←q(y)& r(z) ←p(x)& q(y)& r(z);

б) x y z(p(x) p(x)& q(y) q(y)& r(z) ←p(x)& r(z));

в) x y( ( p(x) q(y))&

&( ←p(x)& ←q(y) r(z)) ←r(z) (p(x) q(y))& (u(z ) v(z ))) .

1.2. Множини

¾Поняття множини

¾Алгебра множин

¾Індексовані множини

¾Бінарні відношення

¾Еквівалентності й порядки

Ключові слова: множина, характеристична функція, індексована множина, пряма сума множин, перетин множин, об'єднання множин, різниця множин, доповнення множини, закони булевої алгебри множин, діаграма Ейлера – Венна, кортеж, вектор, декартів добуток множин, відношення, відповідність, відображення, множення та обернення відношень, рефлективність, симетричність, транзитивність, транзитивне замикання бінарного відношення, антисиметричність, частковий порядок, лінійний

32

Розділ І. ЛОГІКО-АЛГЕБРИЧНІ УНІВЕРСАЛІЇ

порядок, діаграма Гессе, монотонне й неперервне відображення, нерухома точка, структура, повна структура, еквівалентність, фактор-множина, індекс еквівалентності, факторизація.

У цьому підрозділі розглядаються фундаментальні з погляду дескрип- тології математичні поняття – множина, індексована множина й відно- шення, а також деякі похідні від них поняття, важливі для застосувань.

1.2.1. ПОНЯТТЯ МНОЖИНИ

Сукупність матеріальних чи абстрактних об'єктів, об'єднаних будь- якою спільною властивістю, називається множиною. Об'єкти й понят- тя, що складають множину, називаються її елементами. Будемо по- значати множини великими, а їхні елементи – малими літерами ла- тинської або грецької абеток. Твердження, що елемент a є елементом множини А, подається формулою a A . Бінарний предикат нази- вається предикатом приналежності. Його заперечення записується як , тобто формула a A означає, що об'єкт a не належить А. Еле- ментами множини можуть бути й самі множини. Наприклад, студе- нтські академічні групи утворюють курс певного року навчання й самі є множинами, що складаються з відповідних студентів. Дві мно- жини А та В називаються рівними (А=В), якщо вони складаються з одних і тих самих елементів. Засобами ПЧП цей предикат коротко можна було б визначити так:

def

A = B = x(x A ↔ x B ).

Для того, щоб задати множину, достатньо перерахувати всі її еле- менти в довільному порядку. Такий перерахунок записується зазви-

чай усередині фігурних дужок. Наприклад, запис {2,0,7} означає множину M , що складається із чисел 2, 0 та 7. Ця множина збігаєть- ся з множинами {0,2,7} та {2,0,0,7}. В останньому випадку елемент 0 поданий двічі, а це не суттєво для означення множини. Розрізняти- мемо елемент a , множину {a}, множину {{a}}, єдиним елементом

якої є множина {a} тощо. Розглядають також порожню множину ,

яка не містить жодного елемента. Множина В називається підмножи- ною множини A , а множина A , у свою чергу, – надмножиною мно- жини B (записується B A ), якщо кожний елемент B є елементом

def

A , тобто B A = x(x B → x A).

33

ПРОГРАМУВАННЯ

Підмножина В називається власною ( B A ), якщо B ≠ A . Нехай A – певна множина, P – деяка властивість елементів з A . Нехай формула

P (x ) означає, що елемент x має властивість P , тобто P (x ) =1. Тоді за- пис P(A) означає підмножину {x A : P (x )} тих елементів A , які мають

властивість P . Як уже зазначалось, P називається характеристичною властивістю (функцією) цієї підмножини. Якщо х є типізованою змінною

типу T , то замість виразу вигляду {x A : P (x )} пишуть просто {x : P (x )}. Так, у прикл. 1.5 змінна n вважається натуральною.

Приклад 1.5. Характеристичні властивості множин.

{x N : x < 0} = ,

{x N : 0 < x < 4}={1,2,3},

{x N : x =a1 K x =an } ={a1,K,an }.

{n : n%2 = 0} збігається з множиною парних натуральних чисел.

Тут символ " % " позначає операцію взяття залишку від ділення ці- лих чисел ■

1.2.2. АЛГЕБРА МНОЖИН

У зв'язку з поняттям множини цілком природно виникає питання: чим є сукупність (універсум) усіх можливих множин U ? Як з'ясувало- ся, сам універсум U не може належати до множин. Це першим зафі- ксував Б. Рассел (парадокс Рассела). Дійсно, якщо універсум визнати

def

множиною, то має існувати й множина M = {x U : x x}. Припус-

тимо, що M M . Тоді за означенням M M . Нехай тепер M M . Тоді за означенням M M . В обох випадках маємо протиріччя. Отже, або універсум U не є множиною, або необхідно відмовитись від визна- чень підмножин за допомогою властивостей. Математики обрали пе- рший шлях і вилучили з теорії універсум усіх множин. Один зі спосо- бів уникнути парадоксів, подібних парадоксу Рассела, запропонував сам Рассел у теорії типів. За цією теорією кожній константі та змінній приписується певний тип, сукупність типів має строгу ієрархічну бу- дову, а предикат x M має сенс тільки у випадку, коли тип M є на- ступним у ієрархії за типом x . Якщо це не так, то значення предика- та вважається беззмістовним. Теорія типів мала певний вплив на ро- збудову основ математики. Однак не менше, а можливо, і ширше,

34

Розділ І. ЛОГІКО-АЛГЕБРИЧНІ УНІВЕРСАЛІЇ

своє застосування вона знайшла при створенні штучних формальних мов різного призначення, у тому числі – мов програмування (див. принцип типізації, підрозд. 2.2.2). Принциповим у зв'язку із цим є те, що поняття типу унеможливлює появу заздалегідь помилкових мов- них виразів, і перевірити виконання типових вимог можна суто фор- мально, не звертаючи увагу на значення виразів. Визначимо тепер

основні операції на множинах:

def

A B = {x : x A x B} – об'єднання множин A та B ,

def

A ∩ B = {x : x A & x B} – перетин множин A та B ,

def

A \ B = {x : x A & x B} – різниця множин A та B ,

def

A = {x : x A}– доповнення множини A ,

def

B (A) = {X : X A} – булеан множини A ,

def

A = – потужність множини A .

Булеан множини A також позначають 2A .

Нехай A – довільна множина. Сигнатуру Ω2 булевої алгебри мно-

жин Β(A) = {2A ; ,∩,\, , } над A складають:

1) сорти σ,ρ та λ , що подають відповідно базову множину A , буле- ан 2A і множину істиннісних значень Bool = {1,0,#};

2) сукупність ΩC – константа типу ρ, що інтерпретується як по-

рожня підмножина; 3) індексована сукупність змінних

ΩV = {x : σ,x1 : σ,K,y : σ,y1 : σ,K,X : ρ,X1 : ρ,K,Y : ρ,Y1 : ρ,...};

4) бінарні функціональні символи ,∩,\ : ρ×ρ → ρ і унарний символ

: ρ → ρ , що інтерпретуються відповідно як операції об'єднання, пе-

ретину, різниці й доповнення множин;

5) предикатні символи : ρ×ρ → Bool та : σ×ρ → Bool , що інтер- претуються як предикати включення й приналежності.

35

ПРОГРАМУВАННЯ

Для операцій об'єднання, перетину й доповнення виконуються за- кони булевої алгебри, перші два з яких проілюструємо за допомогою діаграм Ейлера –Венна:

1) комутативності: A B = B A , A ∩ B = B ∩ A (рис. 1.1);

A B

– перетин

– об’єднання

Рис. 1.1

2) асоціативності об'єднання й перетину множин:

A (B C )= (A B ) C , A ∩ (B ∩C )= (A ∩ B )∩C (рис. 1.2);

A B

C

–об’єднання множин A, B, C

–перетин множин A, B

Рис. 1.2

3) дистрибутивності:

а) перетину відносно об'єднання:

A ∩ (B C )= (A ∩ B ) (A ∩C );

36

Розділ І. ЛОГІКО-АЛГЕБРИЧНІ УНІВЕРСАЛІЇ

б) об'єднання відносно перетину:

A (B ∩C ) = (A B )∩ (A C );

4)ідемпотентності: A A = A , A ∩ A = A ;

5)дії з універсальною й порожньою множинами:

A = A , A ∩ = , A U =U , A ∩U = A , A A =U , A ∩ A = ;

6) де Моргана:

а) A ∩ B = A B ;

б) A B = A ∩ B ;

7) подвійного доповнення: A = A .

Наведені закони дозволяють за допомогою тотожних перетворень спрощувати складні вирази над множинами.

Приклад 1.6. Спростимо вираз, скориставшись законом булевої алгебри підмножин над множиною Α :

(A ∩ B ∩C ) (A ∩ B ∩C ) (B C ) = [(A A)∩ B ∩C] (B C) = = [Α ∩ B ∩C] B ∩C = B ∩C B ∩C = Α ■

1.2.3. ІНДЕКСОВАНІ МНОЖИНИ

Розглянемо загальні засоби структурування елементів множин. Пер- шим і найфундаментальнішим є індексування (ми його вже застосову- вали в підрозд. 1.1). Нехай I та M – довільні множини. Елементи I бу- демо називати індексами. Проіндексувати множину M означає поста- вити у відповідність усім або деяким її елементам певний індекс. При цьому можливі два варіанти: 1) різні елементи отримають обов'язково різні індекси (сильна індексація); 2) індекси різних елементів можуть збі- гатися (слабка індексація). В обох випадках зворотне не вимагається, тобто елемент може мати кілька індексів. Якщо i – індекс елемента a , то індексований елемент записується ai . Важливо, що, приписуючи ін-

декс елементу, ми тільки вводимо для нього нове ім'я, а сам елемент при цьому не змінюється. Проіндексовані елементи збігаються тільки тоді, коли вони однакові й у них збігаються індекси. Отже, якщо ai = bj , то

a = b та i = j . Зокрема, ai ≠ a j для будь-якого a та i ≠ j . Слабка індек-

сація використовується, наприклад, для побудови прямих сум множин. При звичайному об'єднанні однакові елементи в операндах "склеюють- ся" в один екземпляр. Цього можна уникнути, якщо перед об'єднанням

37

ПРОГРАМУВАННЯ

множини спочатку проіндексувати. Щоб побудувати пряму суму мно- жин A B , проіндексуємо всі елементи множин A та B відповідно ін- дексами 1 та 2 і покладемо

def

A B = {a1 : a A } {b2 : b B } .

У прямій сумі множин індекс кожного елемента свідчить про приналеж- ність його до першого чи другого операнда й саме за цим показником

A B = A . Значення елементів b1 і b2 та c1 і c2 однакові (відповідно b

та c ), але як індексовані елементи вони різні й тому не "склеюються" в сумі. Надалі під індексацією будемо розуміти сильний її варіант.

У математиці як індекси найчастіше використовують натуральні числа (усі або початкові їхні відрізки). Нехай M – довільна множина. Сильно проіндексовані натуральними числами множини називаються послідовностями на множині M , але не всі, а тільки ті, у яких для ін- дексації елементів використані всі без винятку натуральні числа (або всі числа їхнього початкового відрізка). Кількість елементів у послідо- вності називається її довжиною. Наприклад, для множини A = {a,b,c }

послідовностями будуть {a1} (довжиною 1), {a1,b2} (довжиною 2), {ci : i ≥ 0} (нескінченна послідовність), а сукупності {a1,b1} та {a1,b3} –

ні. У першому випадку індексація несильна, у другому – пропущено елемент з індексом 2. У другому випадку індексована сукупність на- зивається підпослідовністю. Таким чином, на відміну від послідовнос- тей, у підпослідовності можуть бути пропущені ті чи інші індекси.

Індексація дозволяє переносити бінарні операції на випадок індексо- ваних сімей множин. Наприклад, нехай P1,...,Pn та A1,...,An – довільні

вирази 1 ≤ i ≤ n та 1 ≤ i ≤ n замінюють обмежені квантори i 1...n таi 1...n . Тоді вже відомі нам операції можна узагальнити:

38

Подібні узагальнені операції розглядаються, наприклад, у [62, 105] і мають численні застосування у програмуванні. Скінченні послідовності отримали окрему назву кортежів. Індекси елементів кортежу називають-

ся їхніми порядковими номерами, або координатами. Кортежі запису-

ються у вигляді [a0,....,an−1], [a1,....,an ]. Кортеж довжиною 0 є порожньою

сукупністю й записується []. На відміну від множин, елементи в кортежі можуть повторюватись, але координати при цьому в них будуть різні.

Сукупність усіх кортежів з елементами з A позначається A* . Два кортежі рівні, якщо вони мають однакову довжину й рівні покоординатно:

непорожні кортежі v та w , що y = v oz ow .

Індексація є основним інструментом структурування даних у програ- муванні. Тут як індекси використовуються спеціальні імена – l-вирази15.

15 Найпростіші з них – ідентифікатори (див. 3.1.2).

39

ПРОГРАМУВАННЯ

1.2.4. БІНАРНІ ВІДНОШЕННЯ

Кортежі фіксованої довжини n ≥ 0 називаються векторами. Вони позначаються (a1,....,an ). Елементи вектора називаються компонен-

тами. Декартовим добутком сукупності множин A1,...,An назива-

степенем A й позначається An . За означенням A1 =A , A0 ={[]}, де []

– порожній кортеж. Якщо принаймні одна з координат добутку Ai по-

відношення R, і записують R(a1,....,an ). У протилежному випадку ка-

жуть, що дані елементи не задовольняють R, і записують ←R(a1,....,an ) . Відношення зручно задавати предикатами. Предикат

n

p : ∏ Ai → Bool називається характеристичною властивістю відно-

i =1

шення R , якщо R(a1,....,an ) p (a1,....,an ) =1.

Вектори довжиною 2 називаються упорядкованими парами й по- значаються (a1,a2 ) . Елементи a1 та a2 називаються відповідно пер-

шою й другою компонентами пари.

Бінарним відношенням, або відповідністю між множинами A та B ,

називається довільна підмножина декартового добутку R A B . Серед бінарних відношень особлива роль належить відображенням.

Це такі відношення F A B , для яких x A 1y B (x,y) F . По-

няття відображення є центральним у більшості розділів математики – математичному й функціональному аналізах, алгебрі, теорії диферен- ційних рівнянь тощо. Ми повернемося до них у підрозд. 1.4.

Відношення вигляду R A A називається бінарним відношенням на множині A . Серед усіх бінарних відношень на A виділяють: по-

рожнє ε , тотальне A A та одиничне (рівність) iA ={(a,a ): a A}.

40