2.7 Двоїстість та ортогоналізація

Надалі ми припускаємо, що такий, щодля деякої функції𝜑 з класу Харді . Нехайіце коефіцієнти в наступних розкладах:

Зауважимо, що

Явний вигляд для ів термінах коефіцієнтів ряду Фур’є дляможна знайти в [11] та [12].

Для набору індексів , котрі відповідають видаленню перших n частот з, відомо, що

(див. [7], [11], [2]). Це так званий – й крок прогнозу дисперсії. Для множини індексівкотрий дорівнює приєднанню наступнихчастот дов [10] показано, що

якщо . Дуже цікавий обернений зв'язок між співвідношеннями (2.2) і (2.3), а також потреба в нетривіальній умовіпояснюється встановленням двоїстості міжтаяк Банахових просторів (див. [9], [2]). Відмітимо, що доповнення ізвеквівалентно півосі, де. Отже, загальна і більш складна проблема прогнозування на основівбула зведена до звичайної проблеми прогнозування в. В цілому, для будь-якого набору індексівіз скінченним числом точок іздобавлених чи відібраних, нехайбуде доповненнямдо, і для фіксованого, визначимотанаступною рівністю:

відповідно. Тоді той же аргумент двоїстості показує, що

якщо . Хоча останнє нетривіальне обмеження може бути послаблене [2], до, але величина, можливо, не буде чітко визначена. На щастя, для наборуця складність була усунута в [2, Теорема 3], використовуючи іншу задачу екстремальної двоїстості в [3], пов’язану з проекцієюна простір Харді. Тим не менш, для загального, визначення правої частини рівності (2.4) залишається відкритим питанням. В ідеалі хотілося б застосувати (2.4), коли одна проблема простіша, ніж інша, однак (2.4) не має сенсу, коли проблеми прогнозування, що відповідаютьтамають однакову складність або ж навіть ідентичні. У попередньому випадку, підходяща ортогоналізація у поєднанні з (2.4), здається, забезпечує гарний метод для розв’язку деяких проблем прогнозування. Наприклад, длядоповненняеквівалентно, що відповідає вилученню і приєднанню одного спостереження ввідповідно. Жодна з проблем не є тривіальною, але останнє здається простіше. В [2, теореми 5, 6] метод ортогоналізації використовується для обчислення. Тоді співвідношення двоїстості (2.4) використовується для визначення, що дає:

(2.5)

В цьому пункті ми обчислюємо для більш загального набору індексівзі, тобто

Цей набір індексів має властивості як так і. Насправді, він зводиться до, коли, в той час як його доповненнявмає той же вигляд, як і, так, що відношення двоїстості (2.4) не має сенсу. Тут також показано, що метод ортогоналізації, головним кроком якого є визначення проекціїзна підпростір, може бути використаний для вирішення проблеми. Щоби встановити значення, позначимо ортогональну проекціюна підпростір. Оскількиортогональні до, то підпросториіможна записати у вигляді наступних ортогональних сум:

(2.6)

Таким чином, обчислення , його проекції та норми являється першочерговим. Наступна тотожність, яка являє собою узагальнення [2, теорема 6], представляє окремий інтерес. Власне , цікавий її зв’язок з, де(з, де):

(2.7)

Де i

Константа насправді являється коефіцієнтому формальному розкладі в ряд-го кроку прогнозу. [16]). Наостанок, бажана відстань:

Де

На відміну від (2.2), (2.3) і (2.5), де відстань залежить або ж лише від або лише від, у випадку (2.7) і (2.9) одночасно залежить від обох. Явні вирази цих відстаней забезпечують корисні інструменти для оцінки впливу додавання (вилучення) вектора на зниження (підвищення) таких відстаней. А саме, як слідує з (2.7), видаленняізне буде збільшувати відстань відзякщорівне нулю. Аналогічно з (2.9), додаваннядоне зменшитьякщо. Ці факти швидше за все мають цікаву інтерпретацію результатів у статистиці (див. [16], [14]). Було б корисно привести кілька конкретних прикладів оціночних функційабо ж стаціонарних процесів, які відображають ці феномени.