Методика количественной оценки степени развития дефектов погружного электрооборудования на основе результатов вейвлет-преобразования

Главным источником информации, извлекаемой из скейлограммы, является положение, величина и взаимозависимость яркостей соседних областей, соответствующих локальным максимумам вейвлет-преобразования. Ранее было показано, что на основе этой информации можно сформировать диагностические признаки для всех наиболее характерных видов дефектов погружного электрооборудования [68]. Однако, хотя скейлограмма и удобна для зрительного восприятия, но для автоматического распознавания дефекта необходимо аналитическое описание топологии. Аналитическое описание дает возможность задавать топологию в более лаконичной форме, выделяя наиболее существенные элементы и исключая избыточную информацию, позволяя в то же время восполнять информацию, утерянную из-за помех в канале передачи данных. Одним из наиболее перспективных подходов к решению этой достаточно сложной задачи является метод анализа главных компонент, суть базовой версии которого заключается в аппроксимации множества исходных данных линейными многообразиями меньшей размерности. При этом в качестве формального способа описания трехмерных сцен с использованием множества линейных отрезков фиксированной длины широко используется преобразование Карунена-Лоэва [3]. Дискретный вариант преобразования Карунена-Лоэва известен под названием «преобразование Хотеллинга».

Обычно преобразование Карунена-Лоэва рассматривается в рамках вероятностной модели сигнала, но, как показывают многочисленные исследования, этот метод носит более общий характер. Он применим для совокупности не обязательно случайных элементов изображения, для которых не используется никакая гипотеза о статистическом порождении данных.

Еще одно важное требование, которое возникает при разработке аналитического описания топологии вейвлет-преобразования сигналов вибрации, заключается в том, чтобы полученные соотношения устанавливали непосредственную связь между характеристиками скейлограммы и показателями, которые позволяют количественно оценить степень развития дефекта погружного электрооборудования. Наиболее распространенными критериями такой оценки являются следующие два показателя:

• расстояние между максимальным и минимальным значениями виброскорости на всей анализируемой числовой оси;

• СКЗ виброскорости.

Следует отметить, что целый ряд действующих ГОСТов и технических регламентов использует критические значения виброскорости для оценки работоспособности электрооборудования самого различного назначения. В связи с этим большинство диагностических центров нефтегазодобывающих компаний ориентируется на этот показатель при оценке ТС погружного электрооборудования, при котором допустима его промысловая эксплуатация. Поэтому при разработке аналитической модели для количественной оценки степени развития дефекта мы также будем использовать СКЗ виброскорости.

Аналитическая модель для количественной оценки степени развития дефекта на основе преобразования Карунена-Лоэва

Требуется определить аналитическую зависимость между численными значениями СКЗ виброскорости (V_скз) и значениями вейвлет-преобразования (W) в точках максимума, то есть определить функцию:

_. (2.7)

Здесь для оценки СКЗ виброскорости используется ее дискретное представление:

(2.8)

где N – число отсчетов значений виброскорости в заданном промежутке времени; V_r – значение виброскорости в r-ой точке измерения [17].

Учитывая, что скейлограммы вейвлет-преобразования сигналов вибрации содержат большое количество исходных данных, а информация о виде функциональной зависимости (2.30) отсутствует, воспользуемся методикой аппроксимации указанной зависимости соответствующими линейными многообразиями в пространстве параметров V_скз и W. При этом под аппроксимацией мы будем понимать восстановление функциональной зависимости по экспериментальным данным при отсутствии предположений о законах, которым подчиняется анализируемый процесс (Data-Driven).

В качестве исходных данных рассмотрим конечное множество векторов , описывающих локальные максимумы вейвлет-преобразования с координатами, дляm СКЗ виброскорости.

Отметим, что наиболее характерными частотами для погружного электрооборудования являются частота вращения ротора (50 Гц) и ее кратные гармоники: 25 Гц, 100 Гц, 150 Гц, 200 Гц. Скейлограмма вибросигнала с частотой 50 Гц приведена на рисунке 2.9, а векторы локальных максимумов вейвлет-преобразования для трех СКЗ виброскорости (m=3) сведены в таблицу 2.10.

Рисунок 2.8 - Скейлограмма вибросигнала с частотой 50 Гц

Таблица 2.3 - Значения вейвлет преобразования при синусоидальном сигнале с частотой 50 Гц

№	Масштаб	Сдвиг	Значение Vскз 1,05 мм/сек	Значение Vскз 2,11 мм/сек	Значение Vскз 3,51 мм/сек
1.	140	39	11,9644	23,9289	39,8814
2.	136	121	16,3379	32,6758	54,4597
3.	133	202	16,7893	33,5785	55,9642
4.	125	283	16,1547	32,3095	53,8492
5.	122	363	16,0582	32,1164	53,5274
6.	122	443	16,4654	32,9307	54,8846
7.	120	523	15,8359	31,6718	52,7864
8.	109	598	11,7816	23,5632	39,2719

В свою очередь скейлограмма вибросигнала с частотой 100 Гц приведена на рисунке 2.10, а таблица 2.11 содержит векторы локальных максимумов вейвлет-преобразования этого вибросигнала. Следует обратить внимание, что в первом случае число локальных максимумов равно 8, а во втором - 16. Аналогичные таблицы могут быть составлены и для других характерных частот.

Таблица 2.4 - Значения вейвлет-преобразования при сигнале 100 Гц

№	Масштаб	Сдвиг	Значение Vскз 1,5 мм/сек	Значение Vскз 3 мм/сек	Значение Vскз 5 мм/сек
1.	70	20	11,92	23,95	39,9
2.	68	61	16,35	32,69	54,46
3.	66	102	16,84	33,68	56,11
4.	63	142	16,29	32,58	54,28
5.	63	182	16,06	32,13	53,52
6.	63	222	16,05	32,11	53,49
7.	63	262	16,07	32,13	53,53
8.	63	302	16,07	32,13	53,53
9.	63	342	16,07	32,13	53,53
10.	63	382	16,07	32,13	53,52
11.	63	422	16,04	32,07	53,43
12.	63	462	15,95	31,9	53,14
13.	61	502	16,07	32,14	53,54
14.	61	542	16,05	32,99	54,97
15.	60	582	15,86	31,72	52,84
16.	54	620	11,79	23,59	39,29

Рисунок 2.9 - Скейлограмма вибросигнала с частотой 100 Гц.

Среди всех линейных многообразий в найдем такое, где- ортонормированные вектора, что сумма квадратов уклонений от минимальна:

(2.9)

где - евклидово расстояние от точки до линейного многообразия; при этом -евклидова норма,- евклидово скалярное произведение, или в координатной форме:

Решение задачи аппроксимации для k = 0,1 включает построение вложенных линейных многообразий . Эти линейные многообразия определяются ортонормированным набором векторов. Вектор ищется, как решение задачи минимизации для :

(2.10)

или, что то же самое:

_. (2.11)

В результате получаем, что является выборочным средним исходных векторов ,

(2.12)

Чтобы найти ортонормированный вектор . централизуем вначале вектора исходных данных, в результате чего получаем: . Далее, решаем следующую задачу оптимизации:

_. (2.130)

Используя описанную методику, определим аналитическую зависимость изменения значений вейвлет-преобразования от СКЗ виброскорости для вибросигнала с частотой 50 Гц. Результаты расчетов сведены в таблицу 2.12.

На рисунке 2.11 приведены графики полученных зависимостей. Анализируя данные таблицы 2.12 и приведенные графики, можно сделать вывод о том, что все линии тренда можно разбить на 2 общие группы:

• линии тренда для масштабов 120, 122, 125, 133 и 136;

• линии тренда для масштабов 109 и 140.

Эти группы имеют близкое расположение на координатной плоскости и, следовательно, близкие аналитические описания. Разброс же в значениях между этими группами объясняется спецификой вейвлет-преобразования, а именно формой материнской функции. Такое положение вещей наблюдается при каждом вейвлет-преобразовании любого гармонического сигнала: локальные максимумы с наибольшим и наименьшим временным сдвигом резко отличаются от прочих максимумов анализируемого сигнала. Поэтому для количественной оценки степени развития дефекта погружного электрооборудования данные максимумы (вторая группа) допускается не учитывать.

Таким образом, полученные функциональные зависимости могут использоваться для выявления возможных противоречий в экспериментально полученных данных.

Таблица 2.5 - Аналитические выражения для линий тренда на частоте 50 Гц

№	Масштаб	Сдвиг	Аналитическая зависимость
1.	b1 = 140	а1 = 39	= 11,351 VСКЗ + 0,0217
2.	b2 = 136	а2 = 121	= 15,500 VСКЗ + 0,0295
3.	b3 = 133	а3 = 202	= 15,928 VСКЗ + 0,0304
4.	b4 = 125	а4 = 283	= 15,326 VСКЗ + 0,0292
5.	b5 = 122	а5 = 363	= 15,235 VСКЗ + 0,0290
6.	b6 = 122	а6 = 443	= 15,621 VСКЗ + 0,0298
7.	b7 = 120	а7 = 523	= 15,024 VСКЗ + 0,0286
8.	b8 = 109	а8 = 598	= 11,177 VСКЗ + 0,0214

Найдем аналогичную аналитическую зависимость изменения значений вейвлет-преобразования от СКЗ виброскорости для вибросигнала с частотой 100 Гц. Результаты расчетов занесены в таблицу 2.13.

Воспользуемся полученными соотношениями, а также аналитическими зависимостями для оставшихся частот - 25 Гц, 150 Гц, 200 Гц, для оценки эффективности предложенной методики построения аналитической модели для количественного определения степени развития дефекта.

Рисунок 2.10 - Зависимости значений вейвлет преобразования от СКЗ виброскорости для вибросигнала с частотой 50 Гц.

Таблица 2.6 - Аналитические выражения для линий тренда на частоте 100 Гц

№	Масштаб	Сдвиг	Аналитическая зависимость
1.	b1 = 70	а1 = 20	= 7,9932 VСКЗ - 0,0553
2.	b2 = 68	а2 = 61	= 10,888 VСКЗ + 0,0201
3.	b3 = 66	а3 = 102	= 10,854 VСКЗ + 0,0122
4.	b4 = 63	а4 = 142	= 10,854 VСКЗ + 0,0122
5.	b5 = 63	а5 = 182	= 10,702 VСКЗ + 0,0123
6.	b6 = 63	а6 = 222	= 10,697 VСКЗ + 0,0103
7.	b7 = 63	а7 = 262	= 10,703 VСКЗ + 0,0181
8.	b8 = 63	а8 = 302	= 10,703 VСКЗ + 0,0181
9.	b9 = 63	а9 = 342	= 10,703 VСКЗ + 0,0181
10.	b10 = 63	а10 = 382	= 10,700 VСКЗ + 0,0242
11.	b11 = 63	а11 = 422	= 10,683 VСКЗ + 0,0181
12.	b12 = 63	а12 = 462	= 10,625 VСКЗ + 0,0162
13.	b13 = 61	а13 = 502	= 10,705 VСКЗ + 0,0162
14.	b14 = 61	а14 = 542	= 11,113 VСКЗ - 0,5211
15.	b15 = 60	а15 = 582	= 10,565 VСКЗ + 0,0162
16.	b16 = 54	а16 = 620	= 7,8568 VСКЗ + 0,0103

Оценка эффективности аналитической модели для количественного определения степени развития дефекта

Осредним компоненты полученных векторов линейных многообразий по совокупности значений масштабов вейвлет-преобразования

; (2.14)

В результате вместо совокупности выражений для каждого локального максимума вейвлет-преобразования мы получим обобщенную аналитическую зависимость, справедливую для соответствующей частоты вибросигнала (50 Гц, 100 Гц, 150 Гц, 200 Гц и 25 Гц):

(2.15)

В частности, при использовании данных таблицы 2.12 для вибросигнала частотой 50 Гц выражение (2.38) приобретает вид:

(2.16)

Полученное выражение позволяет решить обратную задачу – оценить величину СКЗ виброскорости по результатам вейвлет-преобразования соответствующего вибросигнала. Следовательно, выражение, позволяющее по результатам вейвлет-преобразований вычислить СКЗ виброскорости примет вид:

(2.170)

Определим точность такой оценки для каждой точки локального максимума вейвлет-преобразования применительно ко всем трем рассматриваемым СКЗ виброскорости. Относительные погрешности приведены в таблице 2.14.

Таблица 2.7 - Относительная погрешность выражения

№	Масштаб	Сдвиг	Относительная погрешность, %
			Vскз 1,05 мм/сек	Vскз 2,11 мм/сек	Vскз 3,51 мм/сек
1.	136	121	0,96	0,39	0,54
2.	133	202	3,76	3,16	3,32
3.	125	283	0,16	0,73	0,57
4.	122	363	0,76	1,32	1,17
5.	122	443	1,74	1,17	1,33
6.	120	523	2,13	2,68	2,53

Как следует из данных, приведенных в таблице 2.14, максимальная погрешность определения СКЗ виброскорости не превышает 4 %.

Еще более высокую точность оценки можно получить, если в выражении (2.40) вместо локальных максимумов вейвлет-преобразования использовать их осредненные значения:

( 2.180)

В самом деле, рассчитаем СКЗ виброскорости для вибросигнала частотой 50 Гц, используя средние значения локальных максимумов. Результаты расчетов приведены в таблице 2.15. Таким образом, погрешность оценки не превышает одного процента, что является достаточно приемлемым результатом в задаче диагностики погружного электрооборудования.

Таблица 2.8 - Результаты расчетов V_СКЗпо средним значениям локальных максимумов

Истинное значение VСКЗ, мм/сек		Рассчитанное значение VСКЗ, мм/сек	Относительная погрешность, %
1,05	16,27	1,0557	0,54%
2,11	32,54	2,1095	0,023%
3,51	54,24	3,5150	0,142%

Аналогичные исследования проведем для вибросигналов с частотами 100 Гц, 150 Гц и 200 Гц и 25 Гц.

Формулы (2.39) и (2.40) приобретают вид:

- для вибросигнала с частотой 100 Гц

- для вибросигнала с частотой 150 Гц

- для вибросигнала с частотой 200 Гц

- для вибросигнала с частотой 100 Гц

Далее рассчитаем СКЗ виброскорости, используя средние значения локальных максимумов для вибросигналов соответствующих частот. Результаты расчетов сведены в таблицу 2.16.

В результате получаем пять аналитических зависимостей, позволяющих с высокой точностью оценивать СКЗ вибрации по результатам вейвлет-преобразования вибросигналов:

для частот 25 Гц;

для частот 50 Гц;

для частот 100 Гц;

для частот 150Гц;

для частот 200 Гц.

Таблица 2.9 - Результаты расчетов V_СКЗпо средним значениям локальных максимумов для различных частот вибросигналов

Истинное значение VСКЗ мм/сек			Рассчитанное значение VСКЗ мм/сек		Относительная погрешность, %
Вибросигнал с частотой 100 Гц
1,5	16,13		1,5029		0,19%
3	32,32		3,0077		0,25%
5	53,85		5,0100		0,2%
Вибросигнал с частотой 150 Гц
1,5		13,15		1,5004		0,028%
3		26,294		3,0003		0,01%
5		43,824		5,0005		0,01%
Вибросигнал с частотой 200 Гц
1,5		11,369		1,4998		0,015%
3		22,746		3,0004		0,013%
5		37,906		5,000001		0,00003%
Вибросигнал с частотой 25 Гц
1,0598		23,29		1,0615963		0,169%
1,9784		43,47		1,9791		0,035%
3,3915		74,525		3,39125		0,0073%

Покажем теперь, каким образом полученные аналитические зависимости позволяют определить степень развития дефекта погружного электрооборудования. С этой целью рассмотрим скейлограмму вибросигнала, соответствующего дефекту типа «расцентровка» ротора. СКЗ виброскорости для этого дефекта составляет 2,15 мм/сек. Рассчитаем это значение, используя аналитическую модель. Параметры точек локальных максимумов скейлограммы приведены в таблице 2.17. Максимумы со значениями масштабов от 50 до 56 соответствуют гармонической составляющей вибросигнала с частотой 100 Гц, а максимумы со значениями масштабов от 120 до 150 - 50 Гц. Таким образом, исключая максимумы с наименьшим и наибольшим сдвигом, получаем следующие средние значения вейвлет-преобразования:

=10,922; =27,176.

Таблица 2.10 - Результаты вейвлет-преобразования вибросигнала при расцентровке

b	50	52	53	54	56	120	122	125	131	132	141	150
1	9.1182	10.295	11.107	10.693	11.503	26.758	25.952	26.922	28.386	18.926	27.571	20.848
2		10.758	11.108			27.469
3		10.762

Рассчитаем далее СКЗ виброскоростей для каждого случая:

- для частоты в 50 Гц;

- для частоты в 100 Гц.

После чего находим общее СКЗ виброскорости:

мм/сек.

Относительная погрешность полученного результата составляет 5,1 %, что в задачах количественного определения степени развития дефекта является достаточным.

На основе проведенного исследования показана практическая возможность количественной оценки степени развития дефектов погружного электрооборудования с использованием полученных аналитических зависимостей между показателями вейвлет-преобразования и СКЗ виброскорости. Построенные с помощью преобразования Карунена-Лоэва линейные многообразия позволяют с высокой точностью рассчитывать СКЗ виброскорости, которые используются в большинстве отраслевых стандартов в качестве критерия изношенности погружного электрооборудования.