4 Лабораторная работа №4. Численные методы решения систем нелинейных уравнений. Метод Ньютона.

Задание.

С точностью найти все решения системы уравнений методом Ньютона. Исследовать процесс поиска решения, задаваясь разными значениями нулевого приближения.

Решение.

Нарисуем в системе координат XOY графики функций

Из графиков функций видно, что система имеет два действительных решения.

4.1 Нахождение первого решения (левой точки, с меньшим значением координаты «x»). Рассмотрим 4 варианта задания нулевого проиближения в каждом из четырех возможных секторов:

и изобразим картину процесса поиска решения.

1)

Приведем последовательность расчета первого варианта «вручную».

а) Расчет первого приближения.

где приращениянаходятся из системы уравнений (5.4)

(см. раздел 5.1 теоретической части).

В нашем случае

; ;

;

; ;

; ;

;

;

Решим систему линейных уравнений методом Крамера.

, , где

;

;

;

, ;

.

Так как и, то точность нахождения решения системы уравнений недостаточна, и необходимо еще одно приближение.

б) Расчет второго приближения.

где ,априращениянаходятся из системы уравнений

В нашем случае

; ;

;

; ;

; ;

;

;

Решим систему линейных уравнений методом Крамера.

, , где

;

;

;

, ;

.

Так как и, то точность нахождения решения системы уравнений недостаточна, и необходимо еще одно приближение.

в) Расчет третьего приближения.

где ,априращениянаходятся из системы уравнений

В нашем случае

; ;

;

; ;

; ;

;

;

Решим систему линейных уравнений методом Крамера.

, , где

;

;

;

, ;

.

Так как и, то точность нахождения решения системы уравнений недостаточна, и формально необходимо сделать еще одно последнее приближение.

Итак, решение системы: .

Ниже приведены расчеты этого и всех других вариантов расчета, выполненные с помощью компьютерной программы.

2)

3)

4) :

4.2 Нахождение второго решения (правой точки, с большим значением координаты «x»). Рассмотрим 4 варианта задания нулевого проиближения в каждом из четырех возможных секторов:

и изобразим картину процесса поиска решения.

1)

2)

3)

4) :

4.3 Пример задания исходных данных, когда решение методом Ньютона найти не удается. Рассмотрим следующий вариант задания нулевого проиближения:

Полученный результат – «Число приближений > 100 !!!» говорит о том, что процесс поиска решения расходится.

Выводы: Метод Ньютона быстро приводит к нахождению решения системы уравнений, но он очень чувствителен к заданию нулевого приближения. В случае неудачного задания нулевого приближения процесс поиска может расходиться.

5 Лабораторная работа №5. Численные методы поиска экстремума функций одной переменной. Методы дихотомии, «золотого сечения», Ньютона.

Задание.

С точностью найти глобальный минимум функции одной переменной методами дихотомии, «золотого сечения» и Ньютона. Значения границ интервала поиска задать из условия унимодальнос-ти функции в области глобального минимума(определить визуально,нарисовав для этого график функции).

Сделать выводы о скорости сходимости рассмотренных методов минимизации функции.

Решение.

График функции имеет вид:

Из графика видно, что функция имеет глобальный минимум и унимодальна (имеет единственный минимум) на отрезке .