Формулы обратного преобразования Лапласа

Для нахождения оригинала f(t) по известному изображению F(p) вида

необходимо найти корни р₁, р₂ … р_n полинома знаменателя А(р) = 0. Вид оригинала существенно зависит от корней полинома А(р). Рассмотрим несколько случаев:

1. Корни p_i, i = - действительные и различные, тогда

.

Если из n корней А(р) = 0 имеются 2r комплексно-сопряженных р₁, , р₂, … p_r,, а остальные корни действительные и различные, то

,

где Re[ ] – действительная часть.

2. Один из корней нулевой р₁ = 0, остальные – различные.

Тогда А(р) = А₁(р)^. р и оригинал имеет вид:

.

3. Уравнение А(р) = 0 имеет корень кратности q.

р₁ = р₂ = … = р_q, остальные корни различные.

Разложение F(p) на сумму простых дробей имеет вид:

,

где .

Известно, что L^-1.

Отсюда cледует

.

Приложение 2

Пример определения аналитического выражения переходного процесса

Требуется найти аналитическое выражение переходного процесса, описываемого дифференциальным уравнением

при у(0) = 1, у’(0) = 2.

Решение.

Операторное уравнение звена:

Y(p) = W(p) X(p) + F_н(p) = ,

где W(p) = , X(p) = ,

P_н(p) = a₂ y₀ p + a₁ y₀ + a₂ y’₀ = p + 2 +2 = p + 4.

Отсюда изображение сигнала:

Оригинал: y(t) = h(t) + f_н(t).

Корни характеристического уравнения А(р) = р² + 2р + 5 = 0 равны

р_1,2 = -1  j 2.

Определение h(t):

H(p) =  h(t) = 2 Re[M₁^.e^p1t] + M₃.

M₁ = , M₃ = ,

e^{p1 t} = e^{(-1 + j2) t} = -(2 cos 2t + sin 2t) e^-t,

h(t) = 1 - (2 cos 2t + sin 2t) e^-t.

Аналогично найдено выражение для f_н(t):

f_н(t) = (2 cos 2t + 3 sin 2t) e^-t.

Окончательно находим:

у(t) = 1 - (2 cos 2t + sin 2t) e^-t + (2 cos 2t + 3 sin 2t) e^-t.

Содержание

С.

1. Цель работы 3

2. Описание установки 3

3. Порядок выполнения работы 3

4. Теоретическая часть 3

4.1. Способы описания динамических свойств АСР 3

4.1.1 Дифференциальные уравнения 5

4.1.2 Передаточная функция 6

4.1.3 Временные характеристики 8

4.2. Типовые звенья АСР 9

5. Требования к оформлению отчета 10

6. Контрольные вопросы 11

Литература 11

Приложение 1. Формулы обратного преобразования Лапласа 12

Приложение 2. Пример определения аналитического выражения

переходного процесса 13

Приложение 3. Динамические характеристики типовых звеньев 14