4.1.1 Дифференциальные уравнения.

Как правило, АСР представляет собой соединение нескольких звеньев, каждое из которых может быть описано дифференциальным уравнением. Таким образом, АСР описывается системой линейных дифференциальных уравнений. Исключая промежуточные переменные, можно получить дифференциальные уравнения n-го порядка:

(1)

где y(t), x(t) – выходная и входная величины соответственно;

y₀ = y(0), = y⁽ⁱ⁾ (0) – начальные условия выходной величины и ее производных.

4.1.2 Передаточная функция.

Динамические свойства линейных звеньев (систем) удобнее описывать передаточной функцией W(s), которая представляет собой отношение изображения по Лапласу выходной величины Y(s) к изображению входной величины X(s) при нулевых начальных условиях, т.е.

(2)

где L{f(t)} = -оператор преобразования Лапласа.

Преобразуем по Лапласу обе части уравнения (1) при нулевых начальных условиях, используя теорему о дифференцировании оригинала

и ,

в

(3)

место уравнения (1) получим:

(a_n pⁿ + … + a₁ p + a₀) Y(p) = (b_m p^m + … + b₁ p + b₀) X(p),

откуда в соответствии с формулой (2) получим выражение для передаточной функции:

(4)

.

Если начальные условия ненулевые, то изображения производных (1) определяются по формулам:

=a₀ Y(p),

=a₁ p Y(p) – a₁ y₀,

=a₂ p² Y(p) – a₂ p y₀ – a₂ y’₀,

…

=a_n pⁿ Y(p) – a_n p^n-1 y₀ – a_n p^n-2 y’₀ - … - a_n y^(n-1)₀,

=b_k p^k X(p), k = .

(5)

Преобразуя по Лапаласу обе части уравнения (1) с учетом последних формул, получено:

(a_n pⁿ + … a₁ p + a₀) Y(p) – P_н(p) = (b_m p^m + … + b₁ p + b₀) X(p),

г

(6)

деP_н(p) = a_n y₀p^n-1 (a_n-1 y₀ + a_n y’₀) p^n-2 + … + (a₂ y₀ + a₃ y’₀ + … + a_n y_o^(n-2))p +

+ (a₁ y_o + a₂ y’_o +… + a_n y_o^(n-1) )

или Р_н(р) = .

Для системы 1-го порядка (n = 1): Р_н(р) = а₁ у_о.

Для системы 2-го порядка (n = 2): Р_н(р) = а₂ у_о р + а₁ у_о + а₂ у’_о

Для системы 3-го порядка (n = 3):

Р_н(р) = а₃ у_о р² + (а₂ у_о + а₃ у’_о)р + а₁ у_о + а₂ у’_о + а₃ у”_о.

Преобразуя выражение (5), получим операторное уравнение звена при ненулевых начальных условиях

(7)

о

(8)

ткуда, согласно (4), можно записать операторное уравнение звена

Y(p) = W(p) X(p) + F_н(p),

где F_н(р) =.

Слагаемое F_н(р) в уравнении (8) можно рассматривать как изображение некоторого воздействия f_н(t), эквивалентного начальным условиям системы и приведенного к выходу (рис. 1).

Рис. 1

(9)

Если же начальные условия нулевые, то из (8) следует известное уравнение

Y(p) = W(p) X(p).

Аналитическое выражение для y(t) можно получить из 7), используя обратное преобразование Лапласа

(10)

,

где первое слагаемое определяет выходной сигнал при нулевых начальных условиях, второе – реакцию на воздействие, эквивалентное начальным условиям. Формулы обратного преобразования Лапласа приведены в Приложении 1. Пример определение выходного сигнала звена, описываемого дифференциальным уравнением с начальными условиями, приведен в Приложении 2.

4.1.3 Временные характеристики.

Динамические свойства систем автоматического управления и их звеньев могут быть однозначно определены временными характеристиками: переходной и импульсной (весовой). Для получения указанных характеристик на вход системы (звена) подают определенного вида воздействие x(t) и исследуют реакцию системы (звена) y(t) на это воздействие (рис. 2).

САУ,

звено

x(t)

y(t)

Рис. 2

Переходной характеристикой системы (звена) h(t) называется реакция звена на единичное ступенчатое воздействие x(t) = 1 (t) при нулевых начальных условиях.

Изображение единичного ступенчатого воздействия по Лапласу равно L{1(t)} = . Изображение переходной функции находится из (9) при

Х(р) = :

Н

(11)

(р) = W(р) .

Замечание. При экспериментальном исследовании динамических характеристик на вход объекта подают скачкообразное воздействие x(t) = A^.1(t), где А – амплитуда воздействия. Реакцию объекта на это воздействие иногда называют кривой разгона. Кривая разгона отличается от переходной кривой лишь масштабом.

(12)

Приx(t) = 1(t) и ненулевых начальных условиях выходной сигнал y(t), согласно (10) может быть записан следующим образом:

y(t) = h(t) + f_н(t).

Импульсной или весовой характеристикой системы (звена) на импульсное воздействие типа -функции при нулевых начальных условиях.

(13)

Изображение по Лапласу-функции:

L{(t)} = 1.

(14)

Подставляя в уравнение (9) Х(р) = 1, находим:

(t) = L^-1{W(p)},

т.е. импульсная характеристика является оригиналом передаточной функции.

Известно, что импульсная характеристика равна производной переходной функции, т.е.



(15)

(t) = h’(t).