Elementy_teorii_grafov_1

41

42

43

Задача 2

1.{1,2}, {1,7}, {1,8}, {1,9}, {2,3}, {2,9}, {3,4}, {3,5}, {3,9}, {4,5}, {4,7}, {4,9}, {5,6}, {5,8}, {6,7}, {6,8}, {7,9}

44

2.{1,2}, {1,3}, {1,4}, {1,6}, {2,5}, {2,9}, {3,4}, {3,6}, {3,7}, {4,8}, {4,9}, {5,6}, {5,7}, {6,8}, {8,9}

3.{1,4}, {1,7}, {1,9}, {1,10}, {2,3}, {2,5}, {2,6}, {2,8}, {3,6}, {3,10}, {4,5}, {4,9}, {5,7}, {6,8}, {7,9}, {8,10}

4.{1,3}, {1,4}, {1,5}, {1,6}, {1,8}, {2,4}, {2,5}, {2,7}, {2,8}, {3,5}, {3,6}, {3,7}, {4,6}, {4,7}, {5,8}, {6,7}, {7,8}

5.{1,4}, {1,5}, {1,6}, {1,7}, {2,3}, {2,5}, {2,6}, {2,8}, {3,4}, {3,5}, {3,6}, {4,7}, {4,8}, {5,7}, {6,8}, {7,8}

6.{1,3}, {1,4}, {1,8}, {2,4}, {2,7}, {2,8}, {3,5}, {3,7}, {4,5}, {4,6}, {5,8}, {6,7}, {6,8}

7.{1,3}, {1,4}, {1,8}, {2,3}, {2,4}, {2,6}, {2,7}, {3,5}, {4,6}, {4,7}, {5,7}, {5,8}, {6,7}, {6,8}

8.{1,3}, {1,4}, {1,5}, {1,8}, {2,4}, {2,5}, {2,6}, {2,7}, {3,6}, {3,7}, {3,8}, {4,7}, {4,8}, {5,6}, {5,7}, {6,8}

9.{1,3}, {1,4}, {1,6}, {1,7}, {1,8}, {2,4}, {2,5}, {2,7}, {3,5}, {3,6}, {3,8}, {4,5}, {4,8}, {5,6}, {5,7}, {6,7}

10.{1,3}, {1,7}, {1,8}, {2,4}, {2,6}, {2,7}, {3,4}, {3,5}, {3,6}, {4,8}, {5,7}, {5,8}, {6,8}

11.{1,2}, {1,4}, {1,5}, {1,6}, {2,3}, {2,6}, {2,7}, {3,7}, {3,8}, {4,6}, {4,7}, {4,8}, {5,7}, {5,8}

12.{1,5}, {1,6}, {1,7}, {2,3}, {2,4}, {2,6}, {2,7}, {3,8}, {3,9}, {4,5}, {4,7}, {4,8}, {5,6}, {6,9}, {7,9}, {8,9}

13.{1,3}, {1,6}, {1,7}, {1,8}, {2,4}, {2,6}, {2,7}, {3,4}, {3,5}, {3,7}, {4,7}, {4,9}, {5,8}, {5,9}, {6,7}, {6,8}, {8,9}

14.{1,2}, {1,7}, {1,8}, {1,9}, {2,5}, {2,8}, {2,9}, {3,5}, {3,6}, {3,8}, {4,5}, {4,7}, {4,9}, {6,8}, {6,9}

15.{1,3}, {1,5}, {1,9}, {2,4}, {2,8}, {2,10}, {3,5}, {3,6}, {3,9}, {4,6}, {4,10}, {5,7}, {6,8}, {7,9}, {7,10}, {8,10}

45

16.{1,3}, {1,4}, {1,5}, {1,6}, {2,5}, {2,6}, {2,7}, {2,8}, {3,4}, {3,5}, {3,7}, {4,6}, {4,8}, {5,7}, {5,8}, {6,7}, {6,8}

17.{1,4}, {1,5}, {1,6}, {1,7}, {2,3}, {2,4}, {2,6}, {2,8}, {3,5}, {3,7}, {3,8}, {4,5}, {4,6}, {5,7}, {6,8}, {7,8}

18.{1,3}, {1,5}, {1,6}, {1,7}, {2,4}, {2,5}, {2,8}, {3,4}, {3,5}, {4,6}, {4,7}, {6,8}, {7,8}

19.{1,3}, {1,6}, {1,7}, {1,8}, {2,4}, {2,5}, {2,7}, {3,5}, {3,6}, {3,7}, {4,6}, {4,8}, {5,8}, {6,7}

20.{1,1,3}, {1,5}, {1,7}, {1,8}, {2,4}, {2,6}, {2,7}, {2,8}, {3,5}, {3,6}, {3,7}, {4,5}, {4,6}, {4,7}, {5,8}, {6,8}

21.{1,3}, {1,4}, {1,7}, {1,8}, {2,4}, {2,5}, {2,6}, {2,8}, {3,6}, {3,8}, {4,5}, {4,6}, {4,7}, {5,7}, {5,8}, {6,8}

22.{1,3}, {1,4}, {1,5}, {1,6}, {2,3}, {2,6}, {2,8}, {3,7}, {4,7}, {4,8}, {5,7}, {5,8}, {6,7}

23.{1,2}, {1,5}, {1,7}, {1,8}, {2,3}, {2,4}, {2,8}, {3,5}, {3,6}, {4,5}, {4,6}, {4,7}, {5,7}, {6,8}

24.{1,3}, {1,5}, {1,6}, {1,8}, {2,6}, {2,8}, {2,9}, {3,7}, {3,8}, {3,9}, {4,5}, {4,6}, {4,7}, {4,8}, {5,7}, {6,9}

25.{1,3}, {1,4}, {1,7}, {2,4}, {2,7}, {2,8}, {2,9}, {3,6}, {3,7}, {3,9}, {4,5}, {4,7}, {5,6}, {5,8}, {6,8}, {6,9}, {7,9}

26.{1,3}, {1,4}, {1,8}, {2,3}, {2,6}, {2,7}, {2,9}, {3,6}, {3,8}, {4,5}, {4,6}, {5,7}, {5,9}, {6,9}, {8,9}

27.{1,2}, {1,6}, {1,9}, {2,3}, {2,8}, {2,10}, {3,5}, {3,8}, {4,6}, {4,7}, {4,9}, {5,7}, {5,10}, {6,7}, {7,9}, {8,10}

28.{1,3}, {1,4}, {1,5}, {1,6}, {1,7}, {2,4}, {2,5}, {2,6}, {2,7}, {2,8}, {3,5}, {3,7}, {3,8}, {4,6}, {4,7}, {5,8}, {6,8}

29.{1,3}, {1,5}, {1,6}, {1,8}, {2,4}, {2,5}, {2,7}, {2,8}, {3,5}, {3,6}, {3,7}, {4,6}, {4,7}, {4,8}, {5,7}, {6,8}

46

30.{1,3}, {1,7}, {1,8}, {2,4}, {2,6}, {2,7}, {3,4}, {3,5}, {3,6}, {4,7}, {5,7}, {5,8}, {6,8}

31.{1,3}, {1,6}, {1,8}, {2,4}, {2,5}, {2,7}, {2,8}, {3,5}, {3,7}, {4,5}, {4,6}, {4,8}, {5,8}, {6,7}

32.{1,3}, {1,4}, {1,5}, {1,8}, {2,4}, {2,5}, {2,7}, {2,8}, {3,6}, {3,7}, {3,8}, {4,5}, {4,7}, {5,6}, {6,7}, {6,8}

33.{1,3}, {1,4}, {1,5}, {1,6}, {2,5}, {2,6}, {2,7}, {2,8}, {3,5}, {3,6}, {3,7}, {4,5}, {4,6}, {4,8}, {5,7}, {5,8}

34.{1,3}, {1,4}, {1,5}, {1,6}, {2,3}, {2,6}, {2,8}, {3,7}, {4,7}, {4,8}, {5,7}, {5,8}, {6,7}

35.{1,5}, {1,6}, {1,8}, {2,3}, {2,4}, {2,5}, {2,6}, {3,6}, {3,7}, {4,7}, {4,8}, {5,7}, {5,8}, {6,8}

36.{1,3}, {1,4}, {1,7}, {2,4}, {2,5}, {2,8}, {2,9}, {3,6}, {3,8}, {3,9}, {4,6}, {4,7}, {5,6}, {5,8}, {6,9}, {7,9}

37.{1,4}, {1,6}, {1,7}, {1,9}, {2,3}, {2,8}, {2,9}, {3,4}, {3,5}, {3,8}, {4,7}, {5,6}, {5,7}, {5,8}, {6,8}, {6,9}, {8,9}

38.{1,4}, {1,5}, {1,6}, {1,7}, {2,7}, {2,8}, {2,9}, {3,4}, {3,5}, {4,6}, {4,9}, {5,8}, {6,8}, {6,9}, {7,9}

39.{1,6}, {1,7}, {1,8}, {2,6}, {2,7}, {2,8}, {3,4}, {3,6}, {3,9}, {3,10}, {4,9}, {4,10}, {5,8}, {5,9}, {5,10}, {7,8}

40.{1,2}, {1,5}, {1,6}, {1,8}, {2,3}, {2,6}, {2,7}, {2,8}, {3,4}, {3,7}, {3,8}, {4,5}, {4,6}, {4,7}, {5,6}, {5,7}, {5,8}

41.{1,2}, {1,5}, {1,6}, {1,8}, {2,3}, {2,7}, {2,8}, {3,4}, {3,7}, {3,8}, {4,5}, {4,6}, {4,7}, {5,6}, {5,7}, {6,8}

42.{1,5}, {1,6}, {1,7}, {2,6}, {2,7}, {2,8}, {3,5}, {3,7}, {3,8}, {4,6}, {4,7}, {4,8}, {5,6}

43.{1,2}, {1,6}, {1,7}, {1,8}, {2,4}, {2,6}, {2,8}, {3,5}, {3,6}, {3,7}, {4,5}, {4,7}, {5,8}, {6,8}

47

44.{1,3}, {1,4}, {1,5}, {1,8}, {2,4}, {2,5}, {2,7}, {2,8}, {3,6}, {3,7}, {3,8}, {4,5}, {4,7}, {5,6}, {6,7}, {6,8}

45.{1,4}, {1,5}, {1,6}, {2,3}, {2,6}, {2,7}, {2,8}, {3,4}, {3,5}, {3,7}, {3,8}, {4,6}, {4,8}, {5,6}, {5,7}, {6,8}

46.{1,6}, {1,7}, {1,8}, {2,6}, {2,7}, {2,8}, {3,5}, {3,6}, {3,8}, {4,5}, {4,6}, {4,8}, {5,7}

47.{1,4}, {1,5}, {1,6}, {1,8}, {2,4}, {2,7}, {2,8}, {3,4}, {3,6}, {3,8}, {4,7}, {5,6}, {5,7}, {6,7}

48.{1,2}, {1,3}, {1,5}, {1,6}, {2,4}, {2,6}, {2,8}, {3,7}, {3,8}, {4,5}, {4,9}, {5,8}, {5,9}, {6,7}, {6,9}, {7,8}

49.{1,2}, {1,7}, {1,8}, {1,9}, {2,3}, {2,9}, {3,4}, {3,5}, {3,9}, {4,5}, {4,7}, {4,9}, {5,6}, {5,8}, {6,7}, {6,8}, {7,9}

50.{1,2}, {1,3}, {1,4}, {1,6}, {2,5}, {2,9}, {3,4}, {3,6}, {3,7}, {4,8}, {4,9}, {5,6}, {5,7}, {6,8}, {8,9}

51.{1,2}, {1,6}, {1,9}, {2,3}, {2,8}, {2,10}, {3,5}, {3,8}, {4,6}, {4,7}, {4,9}, {5,7}, {5,10}, {6,7}, {7,9}, {8,10}

9Маршруты в графах

Последовательность

¹[x1; u1; x2; u2; x3; : : : ; un¡1; xn] (xi 2 X; ui 2 U);

в которой чередуются вершины и ребра, и при этом

8i 2 1; n ¡ 1 ui = fxi; xi+1g;

называется маршрутом.

Чаще маршрут изображается последовательностью вершин

¹[x1; x2; : : : ; xn];

для которой любые две соседние вершины смежны.

48

Длина маршрута определяется либо как число ребер маршрута, либо как сумма длин ребер (при введении весов ребер, называемых их длиной) X

l(¹) = l(u):

u2¹

Первый случай может быть включен во второй, если длину каждого ребра по умолчанию считать равной 1.

Цепь – маршрут, в котором все ребра попарно различны. Так, марш-

рут ¹[x1; x2; x3; x4; x5; x3; x2; x6] не является цепью – ребро fx2; x3g повторяется дважды.

Простая цепь – это цепь, в которой нет повторяющихся вершин. Так, цепь ¹[x1; x2; x3; x4; x2; x5] не является простой.

Маршрут замкнутый, если первая вершина маршрута совпадает с последней.

Цикл – замкнутая цепь (нет повторяющихся ребер).

Простой цикл – цикл, у которого все вершины различны, кроме совпадающих первой и последней вершин.

Граф связен, если для любых двух его вершин существует цепь, их соединяющая. Если граф G не связен, то его можно разделить на компоненты связности – связные подграфы, каждый из которых не является собственным подграфом никакого другого связного подграфа из G. Так, например, граф

G(f1; 2; 3; 4; 5; 6; 7g; ff1; 2g; f1; 3g; f2; 3g; f2; 4g; f5; 6gg)

состоит из трех компонент связности G1(f5; 6gff5; 6gg); G2(f7g; ;);

G3(f1; 2; 3; 4g; ff1; 2g; f1; 3g; f2; 3g; f2; 4gg).

Расстояние между вершинами – длина кратчайшей цепи, их связывающей

½(xi; xj) = min l(¹):

¹=¹[xi;:::;xj]

Диаметр связного графа – расстояние между двумя наиболее удаленными вершинами в графе

d(G) = max ½(xi; xj):

xi;xj2G

49

Радиусом графа называется минимум по всем вершинам расстояний от каждой из них до наиболее удаленной от нее вершины

r(G) = min max ½(x; y):

x2X y2X

Центр графа – множество вершин графа, расстояние от каждой из которых до наиболее удаленной вершины графа равно радиусу графа

C = fxj x 2 X; max ½(x; xi) = r(G)g:

xi2X

Так, для графа, изображенного на рис. 10, r(G) = 2; C(G) = f1; 3; 4; 7g. В орграфе цепь º[x1; : : : ; xn], проходимая в направлении ориентации дуг ((xi; xi+1) 2 U (i 2 1; n ¡ 1)), называется путем. Простой путь есть простая ориентированная цепь. Контур есть ориентированный цикл, а простой контур есть простой ориентированный цикл. Орграф G(X; U) называется связным, если из любой его вершины x 2 X в любую его вершину y 2 X есть путь. При связности орграфа

аналогичным для обыкновенного графа образом вводятся диаметр, радиус и центр орграфа. Если орграф не связен, но обыкновенный граф, полученный из него потерей ориентации дуг (заменой дуг на ребра) является связным, то орграф называется слабо связным. Так, орграф, изображенный на рис. 9, связный с диаметром 3, радиусом 2 и центром {3}. А орграф G(f1; 2; 3; 4g; f(1; 2); (1; 3); (1; 4); (2; 4); (4; 3)g), отличающийся от предыдущего только ориентацией дуги между вершинами 1 и 3, не является связным,он слабо связный.

10 Задача о кратчайшем маршруте

Задача о кратчайшем маршруте для произвольных вершин a и b связного графа G формулируется следующим образом:

найти кратчайший маршрут ¹[a; : : : ; b] : l(¹) = l(a; b).

Один из эффективных алгоритмов нахождения кратчайшего маршрута предложен Дейкстрой. В этом алгоритме для каждой вершины x вводятся 2 характеристики:

¸x – расстояние от вершины a до x и

50