Тема 2 Векторная алгебра(4 часа)
|
№ п/п |
Умение |
Алгоритм |
|
1 |
Вычислить
площадь треугольника, пост-роенного
на векторах |
1.
Изучить определение и свойства
векторного произведения
2.
Найти координаты векторного произведения
3.
Вычислить модуль векторного произведения
4. Выписать ответ:
площадь треугольника Sравна половине площади параллелограмма,
т.е.S= |
|
2 |
Проверить, будут ли векторы
линейно зависимы (компланарны), и най-ти объем параллелепипеда, построенно-го на этих векторах в противном случае |
1. Изучить определение смешанного произведения трех векторов, его вычисление через координаты сомножителей и геометрический смысл. 2. Вычислить смешанное произведение
3. Сделать вывод: если
|
и
.
:
.
,
,
.
= 0, то вектора
,
,
лежат в одной плоскости, т.е. линейно
зависимы (любой вектор может быть
линейно выражен через другие); если
(векторы не компланарны), то объем
параллелепипеда, построенного на этихвекторах,
,
причем тройка
,
,
будетправой,
если
,
и левой в противном случае
Тренинг по решению задач
Задание
Найти площадь треугольника
,
построенного на векторах
и
.
Решение
|
№ п/п |
Алгоритм |
Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму |
|
1 |
Ознакомиться с определением вектора, равного векторному произведению
|
где
Т.е.
|
|
2 |
Вычислить координаты векторного произведения
|
|
|
3 |
Вычислить модуль векторного произ-ведения
|
|
|
4 |
Выписать ответ |
Площадь
|
,
,
и
.
- численно равен площади параллелограмма,
построенного на
и
;
равна половине площади параллело-грамма
=
Решите самостоятельно следующие задания:
Задание 1
Даны векторы
и
.
Найти векторное произведение векторов
и
,
где
,
.
Задание 2
Найти площадь параллелограмма,
построенного на векторах
и
,
где
,
.
Задание 3
Найти векторы
,
,
,
где
,
,
- базисная тройка.
Задание 4
Найти координаты вектора
,
если известно:
1)
,
;
2)
,
;
3)
.
Задание.5
Найти площадь параллелограмма,
построенного на векторах
,
как на сторонах, если
и
- единичные векторы, угол между которыми
равен 30о.
Задание
Проверить, будут ли векторы
,
и
компланарны, и найти объем параллелепипеда,
построенного на
,
,
,
в противном случае.
Решение
|
№ п/п |
Алгоритм |
Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму |
|
1 |
Изучить определение смешанного произведе-ния трех векторов, его вычисление через координаты сомножителей и геометрический смысл |
|
|
2 |
Вычислить смешанное
произведение
|
Определитель считаем разложением по 1-му столбцу |
|
3 |
Сделать вывод: если
|
Так
как
Так,
Объем параллелепипеда в этом случае V= 0 |
=
=
0, то векторы лежат в одной плоскости,
если
0, то объем параллелепипеда
=
0, то векторы лежат в одной плоскости
и будут линейно зависимыми.
.
Решите самостоятельно следующие задания:
Задание 1
Вычислить объем тетраэдра, построенного
на векторах
,
и
как на сторонах, если
,
,
.
Задание 2
Найти высоту параллелепипеда, построенного
на векторах
,
,
.
Задание 3
Найти объем параллелепипеда, построенного
на векторах
,
,
,
если известно, что
,
,
скалярные произведения
,
и вектор
перпендикулярен осиОХ.
Задание 4
Доказать, что четыре точки А(1, 2, -1),В(0, 1, 5),С(-1, 2, 1),D(2, 1, 3) лежат в одной плоскости.
Задание 5
Вектор
ортогонален векторам
и
;
;
;
;
угол между векторами
и
равен
,
т.е. (
^
)
=
.
Вычислить
.
Задание 6
Определить, какой является тройка
векторов
,
,
(левой или правой), если
,
,
.
Примеры решения задач
Пример 1. Даны два вектора
и
.
Найти косинус угла между векторами
и
.
Решение. Найдем координаты
векторов
и
.
;
;
;
;
;
.
Итак:
,
.
Вычислим модули этих векторов и их скалярное произведение:
;
;
.
Теперь можно вычислить косинус угла между этими векторами
.
Пример 2. При каком
значениивекторы
и
ортогональны? (Координаты векторов
и
заданы в примере 1.)
Решение. Найдем координаты
векторов
и
:
;
.
Запишем условие ортогональности полученных векторов:
,
или
.
После преобразования получим
;
откуда
.
. Самостоятельно решите следующие задачи
1. Найти скалярное произведение
.
2. При каком значении векторы
и
ортогональны?
3. Даны три вектора
,
,
.
Определить, лежат ли они в одной плоскости
(являются ли они линейно зависимыми).
Если нет, то вычислить объем треугольной
пирамиды (тетраэдра), построенной на
векторах
,
,
.
|
№ п/п |
|
|
|
|
1 |
{1,2,0} |
{0,-1,2} |
{2,3,2} |
|
2 |
{1,2,-1} |
{0,-1,1} |
{1,1,4} |
|
3 |
{0,2,1} |
{1,1,0} |
{1,3,-2} |
|
4 |
{1,0,1} |
{0,2,1} |
{1,4,3} |
|
5 |
{2,1,0} |
{1,0,1} |
{2,2,-2} |
|
6 |
{0,1,-1} |
{2,2,-1} |
{2,3,-2} |
|
7 |
{2,-1,0} |
{0,-1,-1} |
{-2,0,1} |
|
8 |
{0,1,1} |
{1,1,0} |
{2,5,1} |
|
9 |
{1,0,1} |
{3,2,1} |
{-2,-2,0} |
|
10 |
{0,1,-2} |
{3,2,-1} |
{0,2,-4} |
|
11 |
{1,0,-1} |
{2,3,-1} |
{2,0,-2} |
|
12 |
{2,1,1} |
{0,1,-1} |
{3,1,0} |
|
13 |
{0,2,2} |
{3,1,2} |
{1,5,6} |
|
14 |
{1,1,1} |
{0,1,2} |
{1,1,4} |
|
15 |
{0,-1,-2} |
{1,-4,-2} |
{0,-1,-2} |
|
16 |
{1,2,0} |
{0,-1,2} |
{1,1,1} |
|
17 |
{1,2,-1} |
{0,-1,1} |
{1,1,1} |
|
18 |
{0,2,1} |
{1,1,0} |
{1,3,5} |
|
19 |
{1,0,1} |
{0,2,1} |
{3,2,4} |
|
20 |
{2,1,0} |
{1,0,1} |
{-1,-1,-1} |
|
21 |
{0,1,-1} |
{2,2,-1} |
{6,8,-5} |
|
22 |
{2,-1,0} |
{0,-1,-1} |
{4,-4,-2} |
|
23 |
{0,1,1} |
{1,1,0} |
{1,4,3} |
|
24 |
{1,0,1} |
{3,2,1} |
{-2,-2,0} |
|
25 |
{0,1,-2} |
{3,2,-1} |
{3,3,1} |
|
26 |
{1,0,-1} |
{2,3,-1} |
{3,3,0} |
|
27 |
{2,1,1} |
{0,1,-1} |
{2,2,0} |
|
28 |
{0,2,2} |
{3,1,2} |
{-3,1,0} |
|
29 |
{1,1,1} |
{0,1,2} |
{2,1,0} |
|
30 |
{0,-1,-2} |
{1,-4,-2} |
{1,-5,1} |
