Тема 4 Обратная матрица(2часа)
|
№ п/п |
Умение |
Алгоритм |
|
3 |
Вычисление обратной матрицы
а) методом Гаусса
б) с помощью алгебра-ических дополнений |
|
|
5 |
Решение
невырожден-ной системы уравне-ний
|
|
справа за вертикальной чертой единичную
матрицу того же порядка. Полу-чим
матрицу
.
к ступенчатому виду, используя
изве-стные элементарные преобразования.
.
К элементарным преобразованиям
первого и второго типов добавляется
преобразование третьего типаумножение (деление) строки на число.
Преобразования следует начинать с
последней строки. Окончательно матрица
будет иметь вид
.
,
где
матрица, стоящая
справа от
в последней преобразованной матрице.
,
убедиться, что
.
вычислить его алгебраическое
допол-нение
и составить матрицу
,
получить "присоединенную"
мат-рицу
на
;
обратная матрица
.
Выписать обратную матрицу:
с помощью обратной матрицы
и убедиться, что матрица
невырожденная.
матрицу
.
Тренинг по решению задач
Задание
Вычислить матрицу
,
обратную матрице
,
с помощью алгебраических допол-нений.
Решение
|
№ п/п |
Алгоритм |
Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму |
|
1 |
Вычислить
определитель матрицы
|
Разложим определитель по первой строке:
|
|
2 |
Для каждого
элемента
|
|
|
№ п/п |
Алгоритм |
Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму |
|
3 |
Транспонировать
|
|
|
4 |
Разделить
все элементы матрицы
|
|
вычислить алгебраи-ческое дополнение
и составить матрицу
,
получить матрицу
на
.
Выписать
Решите самостоятельно следующие задания:
Найти матрицу, обратную матрице A
Задание 1
.
Задание 2
.
Задание 3
.
Задание 4
.
Задание 5
Найти матрицы, обратные к матрицам AиB:
,
.
Убедиться, что матрицы AиBвзаимно обратны, т.е.
.
Указание: умножить матрицу AнаB. Чему равно произведениеAB?
2. Задачи для самостоятельного решения:
Номер варианта каждого студента совпадает с его номером в списке группы. Задание состоит из двух задач.
Задача 1.Дана матрицаCи
вектор
.
Используя метод элементарных преобразований Гаусса, определить:
1) ранг матрицы C;
2) общее решение однородной системы
уравнений
,
где
,
–
вектор неизвестных,
– вектор правых частей однородной
системы. Выписать решения в координатной
и векторной формах;
3) совместна ли неоднородная система
уравнений
?
Если совместна, найти ее общее (или единственное) решение в координатной и векторной формах.
Задача 2.Даны матрицыAи
вектор
.
Считая вектор
вектором неизвестных, выписать систему
уравнений
:
1) вычислить определитель матрицы A,
убедиться, что матрицаAневырожденна,
;
2) найти матрицу
;
3) решить неоднородную систему
,
найти вектор-решение;
4) найти произведение матрицы
на
вектор
.
|
№ варианта |
Задача 1
|
Задача 2
| ||||
|
|
|
|
|
|
| |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
№ варианта |
Задача 1
|
Задача 2
| ||||
|
|
|
|
|
|
| |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
№ варианта |
Задача 1
|
Задача 2
| ||||
|
|
|
|
|
|
| |
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
17 |
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
19 |
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
26 |
|
|
|
|
|
|
|
№ варианта |
Задача 1
|
Задача 2
| ||||
|
|
|
|
|
|
| |
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
28 |
|
|
|
|
|
|
|
29 |
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
