Тема3 Исследование и решение систем линейных уравнений методом Гаусса(4 часа)

№

п/п

Умение

Алгоритм

1

Решение систем линей-ных уравнений мето-дом Гаусса:

а) нахождение общего решения однородной системы в коор-динатной и векторной форме

1.Выписать матрицу коэффициентов при неизвестных и привести ее к ступенчатому виду (прямой ход метода Гаусса).

2.Выписать ступенчатую систему уравнений и определить ранг.

3.Сравнить с числом переменных

и определить, сколько решений имеет система: если , то система имеет множество решений, следует перейти к п. 4 для отыскания общего решения; если, то система имеет един-ственное решениетривиальное.

4. Определить зависимые и свободные переменные. Переменные, для которых угловые элементы служат коэффициентами, считать зависимыми, остальные переменныхсвободными

б) исследование на сов-местность неоднород-ной системы , нахождение ее общего или единствен-ного решения

5.Выразить зависимые переменные через свободные из ступен-чатой системы уравнений (обратный ход метода Гаусса).

6.Выписать общее решение в координатной форме. Общее реше-ние определяется формулами, полученными в п. 5. Эти выражения описывают все множество решений однородной системы: давая свободным переменным (параметрам) любые значения и вычисляя несвободные переменные, получим все решения системы.

7.Выписать общее решение в векторной форме. Используя общее решение в координатной форме, будем придавать свободным пере-менным последовательно значения, соответствующие линейно независимым векторам

.

По формулам п. 5 вычислим соответствующие значения . Получим фундаментальную систему решений (ФСР)базис в про-странстве решений однородной системы. Общее реше-ние в векторной форме имеет вид, где– произвольные постоянные.

1.Записать расширенную матрицу системы , приписав к основной матрицевектор свободных членов:.

2.Привести матрицу к ступенчатому виду и определитьи.

3.Исследовать систему на совместность. Если , то система несовместна (не имеет решения). Еслигде– число переменных, то решение един-ственное, перейти к п. 7. Еслиперейти к п. 4.

4.Выписать ступенчатую систему уравнений, соответствующую ступенчатой форме матрицы .

5.Определить зависимые и свободные переменные. Переменные, "соответствующие" угловым элементам, зависимые, остальныесвободные. Выразить зависимые переменные через свободные (обратный ход метода Гаусса).

6.Найти общее решение в координатной форме. Полученные в п. 5 выражения зависимых переменных через свободные и вектор пра-вых частей определяют параметрическую запись общего решения в координатной форме. Чтобы получить запись общего решения в векторном виде, следует перейти к п. 8.

7.Единственное решение получаем обратным ходом методу Гаусса, используя ступенчатую систему п. 4: из последнего уравнения находим , подставляемв предпоследнее уравнение, вычис-ляеми т.д., пока не найдем вектор-решение.

8.Записать общее решение неоднородной системы в векторной форме. Используя общее решение в координатной форме, найдем некоторое частное решение неоднородной системы . Выпишем общее решение соответствующей однородной системы в координатном виде. Для этого в формулах п. 5 следует свободные члены (константы) считать нулевыми. Найдем ФСР однородной системыи общее решение однородной системы. Общее решение неоднородной системы имеет вид

№

п/п

Алгоритм

Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму

1

Выписать матрицу коэффициен-тов при неизвестных и привести ее к ступенчатому виду

2

Выписать ступенчатую систему и определить ранг матрицы

.

Ранг матрицы равен 2, так как имеем два угловых элемен-та (подчеркнуты)

3

Сравнить ранг матрицы с числом переменных nи определить, ско-лько решений имеет система

; система имеет множество решений; пере-ходим к отысканию общего решения системы

4

Определить зависимые и свобод-ные переменные; переменные, со-ответствующие угловым элемен-там, объявляем зависимыми, а остальные – свободными

Так как угловые элементы в ступенчатой матрице явля-ются коэффициентами при переменных , то– зависимые,– свободные переменные

5

Выразить зависимые переменные через свободные

Из последнего уравнения получаем, что , затем, подставляяв первое уравнение, получаем выражение для:

.

Итак,

(*)

6

Найти общее решение системы, используя формулы (*), выража-ющие зависимые переменные через свободные

Формулы (*) задают общее решение системы. Давая пере-менным произвольные значения и вычисляя, получим все решения системы

7

Выписать общее решение в век-торной форме. Получить ФСР , записать общее реше-ние в виде

Число переменной , а ранг матрицы системы. Базис подпространства решения (ФСР) состоит из двухвекторов. Дадим свободным переменнымзначения , получим вектор, если,. Для вычисленияиспо-льзуем формулы (*). – любые числа

№

п/п

Алгоритм

Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму

1

Записать расширенную матрицу сис-темы, приписав к матрице коэф-фициентов вектор свободных членов:

2

Привести матрицу к ступенчатому виду и определить ранг основной матрицыrang(A) и ранг расширеннойrang

rang(A) = 2, rang= 2

3

Исследовать систему на совместность. Если , система несовместна, если же, система совместна, имеет единствен-ное или бесчисленное множество решений

, система имеет решение; так как, гдеn– число переменных, то решение системы не единственное, переходим к нахождению общего решения (п. 4)

4

Определить зависимые и свободные переменные

Угловые элементы соответствуют переменным ;– зависимые переменные,– свободные пере-менные

5

Выразить зависимые переменные через свободные обратным ходом метода Гаусса

Выражаем переменные через:

6

Найти общее решение системы, ис-пользуя выражения зависимых пе-ременных через свободные и вектор свободных членов

Окончательно формулы, определяющие общее решение, имеют вид:

(*)

7

Получить единственное решение в случае

Здесь , система имеет не единственное решение, переходим к п. 8

8

Записать общее решение в векторной форме. Найти частное решение неоднородной системы, используя формулы (*) в п.6. Найти ФСР од-нородной системы , вы-писать общее решение неоднородной системы в виде

,

т.е.

Найдем , положив в формулах (*) свободные пере-менные. Тогдаи=(-7,3,0,0) – частное решение неоднородной системы. Для получения ФСР однородной системы выпишем общее решение этой системы в координатном виде. В формулах (*) заменим свободные члены нулями, об-щее решение однородной системы

Так как , то ФСР состоит из двух векторов. Пусть, тогда, еслитои общее решение однородной системы имеет вид

.

Окончательно получим векторную форму общего ре-шения неоднородной системы как сумму и: