8.2.3. Парные сравнения.

Номер эксперта обозначим . Экспертсравнивает каждую пару объектови. Его оценка может выражать:

а) просто факт предпочтения объекта по сравнению с объектом:. Если наоборот, то.

б) балльную оценку предпочтения: .

в) долю суммарной интенсивности предпочтения, приходящуюся на объект :.

г) во сколько раз один объект важнее другого: .

По результатам экспертизы определяют средние арифметические оценки по всем экспертам:

: например,, гдечисло экспертов.

Случай а) сводится к случаю в), если трактовать как долю экспертов, предпочитающих объектперед объектом.

Случай б) сводится к в) после введения таких оценок: .

Случай в) сводится к г) при использовании оценок: .

Поэтому рассмотрим обработку результатов экспертизы применительно к случаю г).

Ясно, что в идеальном случае должно выполняться условие транзитивности:

, (8.8)

в частности , откуда, т.е. в матрицена диагоналях стоят 1.

Если условие (8.8) выполняется, то существует такой положительный вектор , что, гдечисло объектов. Компоненты вектораэто как-бы идеальные оценки объектов (количественные характеристики ценности или важности объектов).

Реальная матрица условию (8.8) обычно не удовлетворяет, и ее приходится аппроксимировать идеальной матрицей, используя, например, следующие соображения.

Для идеальной матрицы справедливы равенства для любого :

. (8.9)

Эти равенства можно записать так:

. (8.10)

Собственный вектор матрицы – это такой, который при умножении на матрицу направления не меняет, а меняет только свою величину. Изменение величины называется собственным числом матрицы. Для идеальной (состоятельной) матрицы собственное число равно .

Для матрицы, удовлетворяющей условию (8.8), число является наибольшим характеристическим числом, а искомый векторсобственным вектором (8.10).

Из теоремы Перрона-Фробениуса следует, что любая матрица имеет наибольшее характеристическое число. Поэтому для матрицы, не удовлетворяющей условию (8.8), векторищется путем решения уравнения:

, (8.11)

причем все компоненты такого вектора обязательно оказываются положительными.

Существуют специальные методы решения уравнения (8.11). Мы воспользуемся итеративным методом, суть которого заключается в последовательном приближении

и.

иполучаются най итерации в соответствии с формулой

, (8.12)

где сумма всех компонент вектора, а в качествеможно взять любой положительный вектор, например,.

Итеративный процесс заканчивается, когда вектор перестает изменяться для заданной точности. Величинахарактеризует степень близости матрицык идеальной (состоятельной), т.е. удовлетворяющей условию (8.8).

Пример 8.3. Четыре объекта сравниваются двумя экспертами. Требуется определить коэффициенты важности объектов. Получены следующие результаты: и. Определяем средний балл . Выбираем. .и. Далее повторяем итерации. .и..и. Изменения прекратились и вычисления можно закончить.

69