4.2. Оценка математического ожидания (средней величины).

Пусть распределение значений количественного признака в большой выборке () известно и записано в табличной форме:

Значение,	Частота,
…	…
Итого

Выборочные среднее и дисперсия рассчитываются по формулам:

(4.1)

(4.2)

Величины иявляются оценками параметров генеральной совокупности: математического ожиданияи дисперсии. Оценкаявляется случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Величинаявляется центрированной (математическое ожидание равно нулю) и нормированной (дисперсия равна 1), поэтому для нахождения квантилей распределенияможно использовать таблицы функции распределения стандартного нормального распределения.

Истинное значение параметра можно оценить при помощи доверительного интервала, который его включает

, (4.3)

где доверительная вероятность (надежность оценки), а

уровень значимости, то есть вероятность ошибки.

Величина предельной ошибки равна:

• повторная выборка

, (4.4)

• бесповторная выборка

. (4.5)

Если объем генеральной совокупности существенно больше объема выборки, либо неизвестен, то пользуются формулой (4.4).

Средние ошибки выборки находят по формулам

и. (4.6)

Интервал может быть двусторонним, либо односторонним.

Пример 4.1. Произведены измерения признака, распределенного на элементах генеральной совокупности неизвестного объема. Результаты измерений и вычислений приведены в таблице. № п/п 1 6 5 30 1,98 3,92 19,6 2 7 10 0 0,98 0,96 9,6 3 8 20 160 0,02 0,0004 0,008 4 9 11 99 1,02 1,04 11,44 5 10 4 40 2,02 4,08 16,32 Итого 50 399 56,968 Точечные оценки находим по формулам (4.1) и (4.2). ;;. правосторонний интервал, . По таблице нормального распределения (Приложение 1) находим . По формуле (4.4) найдем . Следовательно, с вероятностью 0,95 . левосторонний интервал, . Проводим те же вычисления и находим: с вероятностью 0,95 . двусторонний интервал, . Так как интервал двусторонний, квантиль распределения находим для :. По формуле (4.4) найдем . Вычисляем левую и правую границы интервала: ;. Получили: с вероятностью 0,95 .

Если объем выборки небольшой , то методика расчета доверительных интервалов немного изменяется. Для сгруппированных данных выборочное среднее определяем, как и ранее (4.1), а дисперсию по формуле:

. (4.7)

Для не сгруппированных данных используем формулы:

(4.8)

. (4.9)

Величина описывается стандартнымраспределением Стьюдента сстепенями свободы, поэтому для нахождения квантилей распределенияиспользуют таблицыраспределения (Приложение 2).

Предельная ошибка для повторной выборки будет равна

. (4.10)

Пример 4.2. Произведены измерения признака, распределенного на элементах генеральной совокупности неизвестного объема. Результаты измерений и вычислений приведены в таблице. По формулам (4.1) и (4.7) получаем точечные оценки. № п/п 1 6 1 6 1,9 3,61 3,61 2 7 3 21 0,9 0,81 2,43 3 8 3 24 0,1 0,01 0,03 4 9 2 18 1,1 1,21 2,42 5 10 1 10 2,1 4,41 4,41 Итого 10 79 12,9 ;;. правосторонний интервал, . По таблице распределения (Приложение 2) для односторонней критической области и числа степеней свободы находим. По формуле (4.10) найдем . Следовательно, с вероятностью 0,95 . левосторонний интервал, . Находим: с вероятностью 0,95 . двусторонний интервал, . Для двусторонней критической области, квантиль распределения . По формуле (4.10) найдем . Вычисляем левую и правую границы интервала: ;. Получили: с вероятностью 0,95 .

Если задана предельная ошибка и доверительная вероятность, из формул (4.4) и (4.10) можно найти необходимое количество измерений (объем выборки). Например, из (4.4) при заданных находим:

(4.11)

Пример 4.3. В условиях Примера 4.1 определить необходимое число измерений, еслии. Из таблиц (Приложение 1) для двустороннего интервала находим. По формуле (4.11) получаем; то есть.