n1

Коэффициенты С называют частичными емкостями. Как и другие коэффициенты, они удовлетворяют принципу взаимности: Cik Cki.

2.2.Примеры расчета полей простой структуры

2.2.1.Вводные задачи анализа полей

Вразделе приведены задачи, требующие решения или анализа дифференциальных уравнений для определения характера поля, выявления в нем истоков или стоков, а также других его параметров.

Пример 2.1. Указать условия, при которых поле вектора M является потенциальным.

Решение. Условие потенциальности поля вектора М (отсутствие

Дивергенция потенциального поля хотя бы в ограниченном объеме отлична от нуля, т. е. div M 0 .

Таким образом, вектор М должен удовлетворять дифференциальным уравнениям:

rot M 0 ; M grad ; div M 0 .

Пример 2.2. Укажите взаимосвязь вектора E с плотностью заряда в электростатическом поле, если диэлектрическая проницаемость сре-

коэффициенты.

Определить распределение объемной плотности свободных зарядов. Решение. Объемная плотность свободных зарядов связана с по-

тенциалом поля уравнением Пуассона

31

Потенциал исследуемого поля одномерный, поэтому уравнение Пуассона также является одномерным и записывается

2

Дважды дифференцируя по , нетрудно получить св 2 aa Кл/м3.

Пример 2.4. В электрическом поле известны составляющие вектора напряженности в прямоугольной системе координат:

Ex Cy , Ey Cx , Ez 0 ,

где С =const. Определить характер поля вектора Е.

Решение. Характер поля определяется ротором вектора. Для потенциального поля rot Е=0. Определим величину ротора вектора Е.

Впрямоугольных координатах ротор записывается

ij k

Подставляя заданные проекции и дифференцируя, приходим к результату: rot E 2kC . Это означает, что указанное поле не электростатическое (безвихревое), а вихревое.

Ответ: rot E 2kC , поле вихревое.

Пример 2.5. Потенциал поля изменяется по закону:

An cos nx ch ny ,

n

где п – постоянный коэффициент.

Определить, есть ли в этом поле объемный заряд и чему он равен? Решение. Воспользуемся уравнением Пуассона (2.7) и выразим из

Правая часть уравнения равна нулю. Объемный заряд отсутствует.

2.2.2.Определение граничных условий

Вразделе представлены примеры, иллюстрирующие законы изменения векторов электростатического поля при переходе через границу раздела двух сред. При этом полагается, что векторы поля направлены

из среды 1 в среду 2, а углы 1 и 2 - отсчитываются от нормали к границе раздела, направленной также из первой среды во вторую.

попал воздушный пузырек.

Найти максимально допустимую напряженность поля в масле E1max , если максимально допустимая напряженность поля в воздухе

составляет 30 кВ/см.

Решение. На границе раздела сред воздушный пузырек - масло со-

можно считать сферическим, максимальное значение напряженности поля будет в точке, лежащей на оси вращения пузырька, совпадающей с линиями однородного поля. Нормальная составляющая напряженности

пли напряженность поля Е=1000 В/м. Найти поверхностную плотность заряда в этой точке.

Данный раздел составляют задачи, как правило, с осевой или центральной симметрией, решение которых не требует специальных методов расчета. Независимо от того, какие величины подлежат определению, основой расчета служит теорема Гаусса (2.5).

Использование принципа суперпозиции (наложения), а также уравнения взаимосвязи векторов D и E (2.3), позволяют расширить круг решаемых задач.

Пример 2.12. Электростатическое поле создано свободным зарядом, равномерно распределенным тонким слоем (простой слой зарядов) по протяженной плоской поверхности границы раздела двух диэлектри-

ков 1 4,5; 2 1 с плотностью 10 2мкКл/м2 .

Определить напряженность поля E1 на границе раздела сред со

стороны диэлектрика 1 при отсутствии внешнего поля.

Решение. При отсутствии внешнего поля (кроме поля свободного заряда, распределенного на границе раздела сред) векторы электрического поля Е и D в силу симметрии будут иметь только нормальные составляющие, направленные в разные стороны от границы раздела. Вы-

Для любой поверхности радиусом r по теореме Гаусса с учетом сказанного имеем:

DdS Dr dS q ,

где q – заряд, попавший внутрь поверхности S. Поверхность S – сферическая, поэтому

где r0 – орт радиуса r – сферической системы координат.

Определим величину заряда q для двух случаев r R и r R . В первом случае свободный заряд, попавший внутрь поверхности интег-

Подставляя данные значения в формулу для вектора Е, получаем:

распределенным внутри непроводящей сферы, совпадает с полем проводящей сферы того же радиуса, на поверхности которого равномерно распределен тот же заряд q, а также с полем точечного заряда q, помещенным в центре сферической системы координат.

Пример 2.14. По поверхности протяженного металлического цилиндра кругового сечения, помещенного в однородный диэлектрик ( а), равномерно распределен электрический заряд с линейной плотностью .

36

Определить закон изменения напряженности электрического поля Е и потенциала , принимая радиус цилиндра равным R.

Решение. Поверхность цилиндра имеет всюду один и тот же потенциал (эквипотенциальна). Внутри цилиндра поля нет: Е=0. Из соображений симметрии для протяженного цилиндра следует принять, что вектор напряженности поля перпендикулярен оси цилиндра и в точках, равноудаленных от оси цилиндра, имеет одинаковые значения.

Проведя замкнутую цилиндрическую поверхность S радиусом r R , охватывающую единицу длины цилиндра, и применив к ней теорему Гаусса, можно записать:

Через основания цилиндра поток вектора Е отсутствует (вектор нормален оси цилиндра), а его боковая поверхность единичной длины

r R совпадает с полем равномерно заряженной нити (заряженной оси) с линейной плотностью 2 R , помещенной на оси цилиндра. В отличие от поля цилиндра поле заряженной оси существует во всем пространстве.

Пример 2.15. В весьма протяженном цилиндрическом конденсаторе потенциал внутренней обкладки с радиусом R1 равен нулю. Потенциал наружной обкладки – радиусом R2 равен 2.

37

38

определяются суммой напряженностей и потенциалов каждого из отдельно взятых зарядов.

Очевидно, что максимальная напряженность поля достигается в точках поверхностей проводов со стороны кратчайшего расстояния между ними (с внутренней стороны). В этих точках она равна арифметической сумме напряженностей от каждого из линейных зарядов, т.к. составляющие напряженности поля направлены одинаково:

Потенциалы поверхностей проводов линии от каждого из линейных зарядов определяем по (2.20) , приняв постоянную А равной нулю:

В точке а напряженность поля определяется геометрической суммой равных по величине векторов E и E . Так как угол между векторами поля прямой, то модуль искомой напряженности будет равен

Замечания. 1. Если расстояние между проводами 2а соизмеримо с радиусами проводов R, то положение электрических осей не будет совпадать с геометрическими осями проводов.

2. Если расстояние от оси + до любой произвольно выбранной точки М обозначить r1, а от оси - обозначить r2 (рис. 2.5, а), то потен-

(в плоскости симметрии) потенциал принят равным нулю.

нение эквипотенциальной линии. Согласно теореме Аполлония геомет-

39

Для указанного на рис. 2.5, а положения заряженных осей окружности, соответствующие k >1, расположены слева от плоскости нулевого потенциала (s < 0), при k <1 окружности располагаются справа (s > 0).

Из формулы (2.21) следует, что поле двух круглых цилиндров с параллельными несовпадающими осями совпадает с полем двух заряженных осей. При известном положении электрических осей можно построить силовые линии поля (Vk=соnst). Семейство этих линий должно начинаться и заканчиваться на заряженных осях (или на поверхностях цилиндров) и пересекать семейство эквипотенциальных поверхностей под прямым углом (пунктирная линия на рис. 2.5, а). Силовые линии представляют собой дуги окружностей, проходящих через точки х= а; у=0. Уравнение этих окружностей:

x2 ( y b)2 a2 b2 ,

где b – ордината центра окружности.

Пример 2.17. Протяженные цилиндрические оболочки радиусами R1 и R2 с параллельными осями заполнены ионизированным газом с

объемной плотностью зарядов 1 и 2 , соответственно (рис. 2.6). Найти напряженность поля и потенциал на оси малого R2 цилиндра (точка

0), если расстояние между осями равно а.

Решение. Воспользуемся методом наложения и представим заданную систему совокупностью 2-х отдельных цилиндрических оболо-

40