1.3. Класичні задачі варіаційного числення

Задача про максимальну швидкодію (задача про брахістохрону).

Однією з перших задач варіаційного числення була задача Івана Бернуллі про брахістохрону (1696 р.). У вертикальній площині задано дві точки і(рис.3). Необхідно знайти таку криву, яка сполучає ці точки, що матеріальна точка, рухаючись по ній під дією сили тяжіння з точкиA без початкової швидкості досягне точки B за найменший проміжок часу.

Аналітичне формулювання цієї задачі: серед неперервно диференційовних функцій знайти таку, яка доставляє мінімум функціоналу

при крайових умовах

a b

Рис. 3.

Задача про геодезичні лінії. Нехай на поверхні задано дві точкиі. Серед всіх ліній, які лежать на даній поверхні і з'єднують точкиA і B, вибрати ту, дуга AB якої має найменшу довжину.

Аналітичне формулювання цієї задачі: серед неперервно диференційовних функцій параметраt знайти такі, які задовольняють рівняння зв'язку і доставляють мінімум функціоналу

при крайових умовах

Ізопериметрична задача (задача Дідо). Нехай на осі задано дві точки і. Серед всіх ліній заданої довжини, які з'єднують на площиніці точкиі, вибрати таку, що разом з відрізкомAB обмежує найбільшу площу (рис.4).

Аналітичне формулювання цієї задачі: серед неперервно диференційовних функцій вибрати таку, яка задовольняє рівняння зв'язкуі доставляє максимум функціоналупри крайових умовах

Рис. 4.

1.4. Варіація функції та приріст функціоналу. Неперервність. Лінійний функціонал

Нехай функціонал визначений на класі функційD, і— довільні функції даного класуD. Функція, яка дорівнює різниці функцій і, називаєтьсяприростом або варіацією аргументу функціоналуі позначається:.

Тоді .

Різниця називаєтьсяприростом функціоналу , який відповідає варіаціїаргументу.

Зазначимо, що похідна варіації функції дорівнює варіації похідної: Дійсно,

Якщо нескінченно малому приросту функції відповідає нескінченно малий приріст функціоналу,то такий функціонал називаєтьсянеперервним. Точніше, функціонал називаєтьсянеперервним на кривій в смислі відстані kтого порядку, якщо за довільно заданому знайдеться таке, що при виконанні умовисправджується нерівність

Функціонал називаєтьсялінійним, якщо виконуються умови:

1. Функціонал від алгебраїчної суми функцій дорівнює відповідній алгебраїчній сумі функціоналів:

2. Сталий множник можна виносити за знак функціоналу:

1.5. Перша та друга варіації функціоналу

Якщо для довільно малої варіації аргументу приріст функціоналуможна подати у вигляді суми головної частини, лінійної відносно, та нескінченно малої вищого порядку порівняно з:де— лінійний відноснофункціонал,— нескінченно малий вищого порядку порівняно зфункціонал:, тобто,дето сам функціоналназиваєтьсяварійовним, а головна лінійна відносно частина його приростуназиваєтьсядиференціалом або варіацією функціоналу і позначається :де. (Перше означення варіації функціоналу).

При дослідженні функціоналів варіація функціоналу відіграє роль, аналогічну тій, яку виконує при дослідженні функцій диференціал. В таблиці 1 наведено відповідність понять диференціального та варіаційного числень.

Таблиця 1

№ п/п	Диференціальне числення	Варіаційне числення
	Аргумент — числова змінна х	Аргумент — числова функція
	Залежна змінна — числова y	Залежна змінна — числова I
	Приріст аргументу	Варіація аргументу
	Приріст функції	Приріст функціоналу
	Диференціал функції	Варіація функціоналу
	Другий диференціал функції	Друга варіація функ­ціоналу
	Необхідна умова екстремуму	Необхідна умова екстремуму
	Стаціонарна точка функції	Стаціонарна фун­кція (допустима екстре­маль) функціоналу
	Достатня умова екстремуму:	Достатня умова екстремуму:

Варіацію називають такожваріацією першого порядку або першою варіацією функціоналу . Варіацію другого порядку введемо аналогічно тому, як це робиться для диференціала другого порядку функції.

Візьмемо довільну допустиму функцію і довільну її варіаціютаку, що функціяє допустимою функцією. Зафіксуємотаі розглянемо однопараметричну сім'ю функцій, де— деяке число. Функціонална вказаній сім'ї функцій є функцією параметра:

.

Розкладемо цю функцію за формулою Тейлора до квадратичного члена включно в околі точки :

де залишковий член є нескінченно малою вищого порядку порівняно з:.

Тоді варіаціям першого та другого порядку можна дати такі означення.

Варіацією або першою варіацією функ­ціоналу називається значення першої похідної функції при:

(Друге означення варіації функціоналу).

Можна показати, що це означення першої варіації рівносильне наведеному раніше. На практиці зручніше користуватись останнім означенням.

Другою варіацією функціоналу або варіацією другого порядку називається значення другої похідної функції при:

Приклад 3. Знайти варіацію функціоналу а) б) в) користуючись першим означенням як головної лінійної відносночастини приросту.

Розв'язання. а) Знайдемо приріст функціоналу :

За першим означенням

б) Знайдемо приріст функціоналу :

За першим означенням .

в) Знайдемо приріст функціоналу :

За першим означенням .

Приклад 4.Знайти варіацію функціоналу а) б) в) користуючись другим означенням варіації функціоналу як похідної по параметру.

Розв'язання.У відповідності з другим означенням варіації функціоналу маємо:

а) 

б) 

в)