Прохождение частицы через низкий потенциальный барьер.

Определение:потенциальным барьером называется область пространства, в которой потенциальная энергия больше чем в соседних областях.

На рисунке 1 изображён потенциальный барьер бесконечной ширины (при, при). Такого типа барьеры иногда называют потенциальной стенкой. Если, то потенциальный барьер называется низким (такой барьер возникает при явлении термоэмиссии электронов из металла, явлении внешнего фотоэффекта). Прохождение частицы через низкий потенциальный барьер характеризуется с помощью коэффициентов прохожденияи отражения.

,

где — плотность потока падающих частиц; — плотность потока прошедших частиц; — плотность потока отражённых частиц. Коэффициенты прохождения и отражения определяют вероятности прохождения и отражения.

Из следует, что в области волновая функция имеет вид :

,

где .

В области :

,

где

Найдём коэффициент отражения :

Выразим через, используя свойство непрерывной дифференцируемости волновой функции :

при :

Подставим , в :

Аналогично можно получить:

По аналогии с оптикой, прохождение частицы через низкий потенциальный барьер можно охарактеризовать с помощью относительного показателя коэффициента преломления.

Прохождение и отражение частиц от потенциального барьера можно интерпретировать, как прохождение и отражение волн Де-Бройля (волн вероятности) через границу раздела полупространств с различными показателями преломления. Наличие оражения (надбарьерное отражение) специфическое квантовомеханическое явление, аналогичное частичному отражению световой волны от границы раздела двух прозрачных сред.

Замечание 1:из и следует, что коэффициенты отражения и прохождения симметричны относительно. Это означает чтобудут иметь одинаковые значения при движении частицы как слева направо, так и справа налево. Особенно необычным (с классической точки зрения), кажется то, чтопри движении частицы справа налево (когда она скатывается с потенциального барьера). С классической точки зрения частица должна ускориться, а вместо этого существует вероятность, что она отразится от потенциального барьера.

Всвязи с вышесказанным может появится желание рассчитать вероятность отражения классического объекта, от потенциального барьера. Рассмотрим велосипедиста массойкг, который скатывается с холма высотойм (Рис.4.3).

Оценим коэффициент отражения

Дж, Дж

Неужели вероятность того, что велосипедиста отбросит назад, настолько велика? Почему же тогда никто этого не наблюдал? Дело в том, что переход от квантово механических формул к классическим можно осуществить, если длина волны Де-Бройля частицы оказывается значительно меньше характерного размера объекта, с которым частица взаимодействует (). При получении предполагалось, что барьер имеет вид ступеньки, т.е. характерный размер неоднородности потенциала(Рис.4.2) полагался равным нулю. В этой ситуации предельный переход к классическому случаю осуществить в принципе невозможно. Однако, в реальных ситуациях кривая потенциальной энергии имеет наклон конечной ширины. И барьер можно приближенно полагать ступенчатым, если его ширина значительно меньше за длину волны Де Бройля частицы. Это значит, что для того что бы квантовые эффекты были существенными импульс должен удовлетворять неравенству:

кгм/с

Даже для очень маленьких макрочастиц кгм/с, что значительно превышает. Для электрона в атоме водородакгм/с и условие выполняется. Это означает, что формулами , нельзя пользоваться для макрочастиц и можно для микрочастиц. В связи с этим возникает вопрос о соответствии законов квантовой механики законам классической физики при условиях, когда вторые оказываются правильными.