Плотность потока вероятности

Плотность потока вероятности является важной квантово механической величиной, позволяющей сопоставлять результаты опыта с экспериментом.

Для упрощения выкладок рассмотрим одномерное уравнение Шредингера:

Выполним операцию сопряжения

Напомним, что для комплексных чисел

,

Вычтем из , умножив на , а на

.

Уравнение по своей математической форме совпадает с уравнением неразрывности для жидкости, в котором вместо плотности жидкости стоит плотность вероятности. Тогда величину под знаком пространственной производной в , по аналогииc гидродинамикой, называют плотностью потока вероятности:

.

Плотность потока вероятности численно равна вероятности прохождения (или попадания) частицы через единичную площадку за единицу времени.

Воспользовавшись представлением комплексной волновой функции в виде , из получим

Если умножить на– получим плотность тока, на– плотность потока вещества, на—плотность потока энергии. Следует отметить, что конечность и непрерывность волновой функции также следует из , , поскольку плотность тока не может быть бесконечной.

Принцип причинности в квантовой механике

Поскольку движение микрочастиц невозможно описать с помощью понятие траектории, то может сложится впечатление, что нарушается принцип причинности: при одних и тех же условиях мы может обнаружить частицу в разных местах. Поэтому принцип причинности в квантовой механике модифицируется следующим образом: если известно состояние системы (т.е. волновая функция) в начальный момент времени, то с помощью уравнения Шредингера можно найти ее состояние в любой последующий момент времени (эволюцию волновой функции, т.е. закон изменения вероятностей). Развитие квантовой системы во времени не может быть случайным и однозначно определяется ее физическими свойствами (которые заложены в операторе Гамильтона) и начальным состоянием.

Лекция №4

(Буланчук О.Н., каф. физики ПГТУ )

Стационарное уравнение Шредингера.

Вначале рассмотрим одномерное уравнение Шредингера для частицы движущейся в потенциальном поле:

Если потенциальная энергия явно не зависит от времени, то в левой части стоит только частная производная по времени, а в правой от координаты. Из курса дифференциальных уравнений известно, что тогда для нахождения частных решений используется метод разделения переменных. В этом случае решение ищется в виде произведения двух функций:

,

где – пространственная часть волновой функции,– временная часть волновой функции. Подставим в :

Умножим левую и правую часть на :

В левой и правой части стоят величины зависящие от разных переменных. В этом случае равенство возможно только тогда, когда левая и правая части равны константе, которую обозначим (далее будет показано, что она имеет смысл полной механической энергии). Для временной части запишем:

Константу без потери общности можно положить равной нулю:

Для пространственной части волновой функции будем иметь

– стационарное одномерное уравнение Шредингера.

В трехмерном случае стационарное уравнение Шредингера будет иметь вид:

Волновая функция для свободно движущейся частицы.

Найдем решение для свободно движущейся частицы (тогда ):

Таким образом решение для полной волновой функци приимеет вид:

В первое слагаемое описывает волну, движущуюся слева направо, а второе – справа налево. При этом множитель возле времениимеет смысл частоты, что означает, т.е. константаимеет смысл полной энергии.

Таким образом, волновая функция для частицы, движущейся слева направо, имеет вид:

,

где является амплитудой волны Де Бройля (в общем случае комплексное число). Плотность вероятности, что приводит к парадоксальному выводу: об одинаковой вероятности найти частицу в любой области пространства. В этом случае координата частицы полностью неопределена, однако она имеет точно определённый импульс. Вопрос о нормировкевыходит за рамки данного курса.