14. 7. 2. Теплоемкость и степени свободы.

Равнораспределение энергии по степеням свободы. Из уравнения состоя­ния и основного уравнения молекулярно-кинетической теории

,

(14.22)

следует, что среднее значение кинетической энергии поступательного движения молекул

.

(14.23)

Заметим, что при построении модели идеальный газ представляли как систему, состоящую из абсолютно твердых молекул-шариков, взаимодействием между которыми мы пренебрегали. В этой модели молекула-шарик может двигаться в любом из трех пространственных направлений в однородном изотропном пространстве. Здравый смысл подсказывает, что ни одно из этих направлений не имеет преимущества перед двумя другими. Поэтому нетрудно сообразить, что в среднем движению в каждом из этих направлений соответствует энергия, пропорциональная , что в сумме дает .

Рассмотрим теперь молекулу, обладающую более сложной структурой.

Предположим, что молекула состоит из двух жестко связанных между собой атомов (рис. 14.5). Центр масс такой молекулы, совершающей поступательное движение, может перемещаться в пространстве в 3-х независимых направлениях, задаваемых осями (рис. 14.5а).

а)	б)
Рисунок 14. 5.

В системе отсчета, начало которой связано с центром масс молекулы, пространственное положение оси молекулы полностью определяется двумя углами: и (рис. 14.5б).

Молекула может произвольно вращаться вокруг своего центра масс. При этом она приобретает дополнительную кинетическую энергию, связанную с вращательным движением, величина которой определяется совокупностью двух членов:

и .

(14.24)

где и - составляющие угловой скорости вращения молекулы.

В теоретической физике доказывается, что в среднем составляющие кинетической энергии

.

(14.25)

Полная энергия такой молекулы

.

(14.26)

Назовем числом степеней свободы число независимых координат, которые следует задать для определения положения молекулы в пространстве.

Для одноатомной и многоатомных молекул всегда ; для рассматриваемой молекулы добавляются еще вращательные степени свободы: .

Т.о., и средняя кинетическая энергия молекулы газа

.

(14.27)

Рассмотрим двухатомную молекулу (рис. 14.6), связь между атомами которой упругая (в предыдущем случае связь меду молекулами предпола-

	галась жесткой). Тогда наряду с 5-тью степенями свободы, определяющими кинетическую энергию двухатомной молекулы с жесткой недеформи­руемой связью, при наличии упругой связи следует задать ещё одну.
Рисунок 14. 6.

Однако колебательное движение характеризуется наряду с кинетической еще и потенциальной энергией. Это означает, что при подсчете степеней свободы двухатомной молекулы с упругой связью между атомами мы должны записать

.

(14.28)

Из теории колебаний известно, что для гармонического осциллятора средние значения кинетической и потенциальной энергии одинаковы. Поэтому, по-прежнему, считая, что на каждую степень свободы молекулы приходится энергия, равная , получаем

.

(14.29)

И, наконец, если молекула является многоатомной и имеет сложную пространственную конфигурацию, то для её описания следует ввести еще одну вращательную степень свободы, т.е. число вращательных степеней свободы становится равным трем: .

В общем случае число степеней свободы молекулы определяется выражением ():

,

где , и , а среднее значение энергии молекулы в соответствии с принципом равнораспределения по степеням свободы равно

.

(14.30)

Это уравнение (14.30) выражает закон классической статистической физики, утверждающий, что на каждую степень свободы системы, находящейся в состоянии термодинамического равновесия, приходится в среднем энергия, равная (закон равнораспределения энергии по степеням свободы).