физика / lektsia_3_1

Глава. 1. Основы квантовой оптики

К концу XIX столетия в физике сложилась ситуация кажущегося благополучия:

1)классическая (ньютоновская) механика приобрела законченный вид;

2)статистические методы приводили к обоснованию эмпирических законов – термодинамики.

3)большинство явлений электромагнетизма объяснялись теорией Максвелла и Друде - Лоренца.

4)победила волновая теория света.

Казалось, что оставалось лишь несколько нерешенных проблем. Например:

1) Фотоэффект (1887 г. – Герц); 2) Линейчатые спектры излучения, полосатые спектры (1885 г. – Бальмер); 3) Стабильность и размер атома; 4) Тепловое излучение.

С обсуждения проблемы теплового излучения мы и начнем работу в этом разделе современной физики.

1. 1. Тепловое излучение.

Тепловое излучение – испускание электромагнитных волн за счет внутренней энергии тела.

Тепловое (температурное) излучение происходит при любой температуре тела и имеет сплошной спектр, положение максимума которого зависит от температуры вещества.

Тепловое излучение может быть равновесным.

Равновесное излучение – процесс, в котором распределение энергии между телом и излучением остается неизменным для каждой длины волны.

Такое состояние системы «тело + излучение» равновесно, поэтому к ней могут быть применены законы термодинамики.

Свойства равновесного излучения:

1) зависит только от температуры тела, которая определяет его спектральный состав и интенсивность; 2) не зависит от материала излучающего тела и

его формы;

3)однородно, изотропно, неполяризовано.

Остальные виды излучения, возбуждаемые за счет Рисунок 1. любого вида энергии, кроме внутренней, называются

люминесценцией. Люминесцентное излучение всегда неравновесно.

1. 1. 1. Количественные характеристики излучения.

Интегральные характеристики: т.е. просуммированы по всем частотам

(ω ) или длинам ( λ ) электромагнитных волн.

1

единицей поверхности тела по всем направлениям, т.е. в телесный угол

Ω = 2π .

Спектральные характеристики теплового излучения:

Испускательная способность тела или спектральная плотность

энергетической светимости

где dRω - поток энергии, испускаемый единицей поверхности в интервале частот от ω до ω + dω (или dRλ - поток энергии, испускаемый единицей поверхности в интервале частот от λ до λ +dλ ).

При этом связь между испускательной способностью и энергетической светимостью:

R(T ) = ∞∫dRω (T ) = ∞∫r(ω,T )dω R(T ) = ∞∫dRλ (T ) = ∞∫r(λ,T )dλ

1. 1. 2. Экспериментальные законы. Абсолютно черное тело. Кирхгоф (1859) на основе опыта сформулировал закон:

Отношение испускательной и поглощательной способностей не зависит от природы тела, оно является для всех тел универсальной (одной и той же)

функцией частоты ω (длины волны λ ) и температуры.

rω,T = f (ω,T) (1.1) aω,T

где f (ω,T ) - универсальная функция Кирхгофа.

Появилась новая задача – найти универсальную функцию f (ω,T ) . Чтобы не работать с двумя характеристиками rω,T и aω,T , нужно ввести

иодель абсолютно черного тела.

Абсолютно черное тело. Тело, полностью поглощающее упавшее на него

излучение всех частот, называется абсолютно черным, aω,T ≡1.

Абсолютно черных тел не бывает в природе. Наиболее близки к ним сажа и платиновая чернь.

Иногда вводят понятие «серое тело» с aω,T = const <1, т.е. такое,

которое поглощает лишь часть энергии, но одинаковую для всех частот. Реализация модели абсолютно черного тела (1861). - устройства, сколь угодно близкое по своим свойствам к модели АЧТ. Такое устройство представляет собой замкнутую полость, снабженную маленьким отверстием, стенки которой поддерживаются при определенной

температуре T . Излучение, попадающее через

Рисунок 2

3

абсолютно черного тела. Это показал в 1884 г. Больцман, исходя из законов классической термодинамики и используя результаты теории электромагнетизма Максвелла.

R* = ∞∫f (ω,T)dω = σT 4

0

Данное соотношение между энергетической светимостью абсолютно черного тела и его термодинамической температурой получило название закона Стефана – Больцмана. Оно означает, что площадь под кривой

f (ω,T ) растет пропорционально T 4 .

Для нечерных тел закон Стефана-Больцмана не выполняется. Однако в некоторых случаях удовлетворительно выполняется соотношение R = γσT 4 или R = σT n ,

1)если ввести коэффициент серости γ <1 .

2)изменить показатель степени n , сделав его больше или меньше 4. Пример.

Сколько всего излучает человек: мощность излучения составляет

P = 4S σT 3 ∆T ≈ 4 1 5,710−8 27 106 10 60 Вт,

1.1. 3. Классическое описание излучения абсолютно черного тела.

Кконцу XIX в. было предпринято большое количество попыток объяснения природы теплового излучения АЧТ в рамках классической физики.

1. 1. 3. 1. Критерий и закон смещения Вина.

Вин, исходя из законов термодинамики и максвелловской теории электромагнетизма, сформулировал (1893г.) общее условие для

универсальной функции (спектрального распределения) f (ω,T ) :

температуре.

Критерий Вина. Любое выражение функции спектрального распределения не должно противоречить формуле Вина, поскольку последняя получена из общих соображений.

Формулу Вина можно записать, используя в качестве переменных длину излучаемой волны λ и температуру тела Т:

где ψ(λT ) - функция переменной λT . Формула Вина позволяет получить

1)Закон Стефана-Больцмана

2)Закон смещения Вина(1896 г.).

λmaxT = b – закон смещения Вина

Закон смещения Вина утверждает, что длина волны λmax , на которую

приходится максимум энергии в спектре равновесного излучения, обратно пропорциональна температуре излучающего тела.

Этот закон является следствием формулы Вина.

Константа b носит название постоянной Вина. b = 2,898 10−3 м К . Пример.

1) Если человека рассматривать как АЧТ, то при T = 300 K максимум

его светимости приходится на длину волны λ ≈10 мкм, т.е. лежит в инфракрасном диапазоне.

2) Сколько всего излучает человек: мощность излучения составляет

P = 4S σT 3 ∆T ≈ 4 1 5,710−8 27 106 10 60 Вт,

1.1. 3. 2. Теория Релея-Джинса.

В1900 г. Релей и Джинс, основываясь на теореме классической статистики о равномерном распределении энергии по степеням свободы,

нашли выражение для функции спектрального распределения f (ω,T ) .

Равновесное электромагнитное поле (излучение) можно представить как систему стоячих волн, с частотами, заполняющими весь спектр излучения.

Рэлей и Джинс предположили, что на каждую стоячую волну будет

электрическую и магнитную компоненты электромагнитной волны.

Релей и Джинс получили выражения для спектральной плотности излучения:

1.1. 4. Формула Планка.

Воктябре 1900 г. немецкий физик М.Планк (1858 – 1947 гг.) сначала эмпирически, а затем обосновав теоретически, записал формулу для излучения черного тела. Распределение Планка полностью описывает эмпирическую кривую.

Сначала Планк получил просто интерполяционным путем (комбинация закона Рэлея-Джинса и формулы Вина) формулу для универсальной функции

где =- коэффициент пропорциональности между энергией и циклической частотой, получивший название постоянной Планка. Численное значение

постоянной Планка = =1,054 10−34 Дж с было определено из опыта.

Однако при теоретическом выводе ему пришлось ввести гипотезу квантов.

1. 1. 4. 1. . Гипотеза квантов.

Планк дал теоретический вывод своей формулы на заседании Немецкого физического общества. Это случилось 14 декабря 1900 г. и стало днем рождения квантовой физики.

При выводе формулы Планк выдвинул гипотезу, в корне противоречащую всему построению классической физики: излучение (позже, и поглощение)

происходит не непрерывно, а конечными порциями - квантами света или квантами энергии.

Осцилляторы (атомы, молекулы) могут находиться только в некоторых избранных стационарных состояниях, в которых их энергия является целым

кратным некоторого наименьшего количества энергии εo,2εo,...,nεo . Т.е.

энергия микроскопических систем может принимать только дискретные, строго определенные значения.

Переход из одного стационарного состояния в другое может происходить скачком в результате излучения (поглощения) осциллятором такого же кратного количества энергии:

εo ,2εo ,3εo ,..., nεo ,

испускаемых осциллятором на частоте ω . Динамическое равновесие осуществляется посредством постоянного обмена квантами между полем

8

излучения и телом-осциллятором. При данной температуре Т все энергетические уровни возбуждены с разными вероятностями. Поэтому

требуется вычислить среднюю энергию осциллятора ε в этом состоянии

статистического равновесия.

Постоянная Планка имеет размерность «энергия × время». Поэтому её иногда называют квантом действия по аналогии с величиной в классической механике.

Из доклада М.Планка на заседании 14 декабря 1900 г.

«Квант действия… либо фиктивная величина, и тогда вывод закона излучения был в принципе ложным и представлял собой всего лишь пустую игру в формулы, лишенную смысла, либо же вывод закона излучения опирается на некую физическую реальность, и тогда квант действия должен приобрести фундаментальное значение в физике и означает нечто совершенно новое и неслыханное, что должно произвести переворот в физике…».

Вывод закона излучения по методу Планка во многом основан на законах классической физики и лишь частично использует квантовые представления. Поглощение и испускание света осциллятором рассчитывалось с помощью классической электродинамики, в то время как при нахождении средней энергии осциллятора использовалась квантовая гипотеза о его дискретных энергетических уровнях.

1.1. 4. 2. Свойства формулы Планка:

1)Согласуется с экспериментом при всех значениях частоты ω (длины

волны λ ).

2)Удовлетворяет критерию Вина

3)В предельном случае больших частот излучения (ω → ∞, малые

длины волн λ ) переходит в формулу Вина:

В предельном случае малых частот (ω → 0 , большие длины волн λ ) переходит в формулу Рэлея-Джинса

4)Интегрируя по всем частотам, получаем закон Стефана-Больцмана:

7) Закон смещения Вина:

Контрольные вопросы:

1. Что понимают под термином «тепловое излучение»?

2Что называют поглощательной способностью тела?

3Что называют энергетической светимостью тела?

способность или спектральная плотность энергетической светимости

5Что называют спектральной плотностью энергетической светимости тела?

6Какое условие справедливо только для абсолютно черного тела?

7Какая из кривых, показанных на рисунке соответствует спектральному распределению энергии в абсолютно черного тела при наиболее высокой температуре?

8.У какого тела максимум излучения будет приходиться на наименьшую длину волны?

9.Укажите формулировку закона Кирхгофа для теплового излучения.

10.Какая формула выражает закон Кирхгофа для теплового излучения?

11.Какие тела обладают большей спектральной плотностью энергетической светимости при одной и той же температуре?

12.На каких основаниях замкнутую плоскость с малым отверстием считают моделью абсолютно черного тела?

13.Какие тела (по их свойствам) считают близкими к абсолютно черным телам?

14.Какое неучтенное обстоятельство привело к затруднениям классической теории теплового излучения?

15.Какая гипотеза лежит в основе закона Планка для теплового излучении?

16.Укажите формулу Планка

18. Какие законы можно рассматривать как частные случаи законов Планка? 20. Укажите формулу закона смещения Вина 19. Укажите формулу закона Стефана – Больцмана