- •Лекция 6.
- •5. Динамика вращательного движения
- •5.1. Момент силы.
- •5. 1. 1. Момент силы относительно неподвижной точки.
- •5. 1. 2. Момент силы относительно неподвижной оси
- •5. 2. Момент импульса.
- •5. 2. 1. Момент импульса(кол-ва движения)материальной точки относительно неподвижной точки.
- •5. 2. 3. Момент импульса тела относительно неподвижной точки.
- •5. 2. 4. Момент импульса механической системы относительно неподвижной оси.
- •5. 2. 5. Момент импульса тела относительно неподвижной оси.
- •5. 3. Момент инерции.
- •5. 3. 1. Момент инерции системы относительно неподвижной оси.
- •5. 3. 2. Теорема Гюйгенса - Штейнера.
- •5. 3. 3. Моменты инерции однородных тел простейшей формы.
- •5. 4. Основной закон динамики вращательного движения.
- •5. 5. Закон сохранения момента импульса.
- •5. 5. 1. Вывод основного закона динамики вращательного движения и закона сохранения момента импульса.
- •5. 6. Кинетическая энергия вращающегося тела.
- •5. 7. Работа при вращательном движении.
- •5. 8. Сравнение параметров и законов движения материальной точки и вращения твёрдого тела относительно оси.
- •5. 9. Кинетическая энергия твёрдого тела при сложном движении.
5. 3. 2. Теорема Гюйгенса - Штейнера.
Момент инерции тела относительно оси зависит не только от массы, формы и размеров тела, но и от положения тела по отношению к этой оси.
Теорема Гюйгенса-Штейнера.
Момент инерции I тела относительно произвольной оси равен сумме главного момента инерции - момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела на квадрат расстояния d между осями:
|
(5.21) |
5. 3. 3. Моменты инерции однородных тел простейшей формы.
Тело |
Положение оси вращения |
Момент инерции I |
1. Полый тонкостенный цилиндр, обруч. |
Ось цилиндра |
|
2. Сплошной цилиндр (диск). |
Ось цилиндра |
|
3. Прямой тонкий стержень. |
Ось перпендикулярна стержню и проходит через его середин |
|
4. Прямой тонкий стержень. |
Ось перпендикулярна стержню и проходит через его конец |
|
5.Шар |
Ось проходит через центр шара |
|
5. 4. Основной закон динамики вращательного движения.
Из законов Ньютона следует, что первая производная по времени t от момента импульса механической системы относительно любой неподвижной точки О равна главному механическому моменту внешних сил относительно той же точки О.
|
(5.22) |
В проекциях на оси неподвижной декартовой системы координат с началом в точке О закон изменения момента импульса можно записать в виде:
; ;; |
(5.23) |
Здесь и - моменты импульса системы и главные моменты внешних сил относительно соответствующих осей координат.
Если твердое тело вращается вокруг неподвижной оси ОZ с угловой скоростью , то его момент импульса относительно этой оси можно представить в виде:
и |
(5.24) |
Основной закон динамики вращательного движения приобретает вид:
|
(5.25) |
5. 5. Закон сохранения момента импульса.
Момент импульса замкнутой системы относительно любой неподвижной точки не изменяется с течением времени, т. е.:
и |
(5.26) |
Соответственно, момент импульса замкнутой системы относительно её центра масс не изменяется с течением времени:
и |
(5.27) |
Подобно законам сохранения импульса и энергии, закон сохранения момента импульса выходит далеко за границы классической механики. Этот закон принадлежит к числу фундаментальных физических законов, так как связан с определённым свойством симметрии пространства – его изотропностью.
Изотропность пространствапроявляется в том, что физические свойства и законы движения замкнутой системы не зависят от выбора направления осей координат инерциальной системы отсчёта.
Согласно современным представлениям моментом импульса могут обладать не только частицы и тела микромира, но так же и поля.
Элементарные частицы и их системы, например, атомные ядра могут иметь момент импульса, не связанный с движением этих частиц в пространстве. Собственный момент импульса частиц называется спином.