- •Электромагнетизм
- •Электростатика в вакууме.
- •Закон Кулона
- •Напряженность электрического поля.
- •Силовые линии электрического поля.
- •Теорема Гаусса.
- •Дифференциальная форма теоремы Гаусса.
- •Работа сил электростатического поля.
- •Теорема о циркуляции вектора .
- •Потенциал.
- •Связь потенциала и напряженности электростатического поля.
- •Проводники в электрическом поле.
- •Энергия электрического поля.
Силовые линии электрического поля.
Поле вектора можно представить графически в виде линий тока вектора, или силовых линий. Силовые линии – кривые в пространстве, касательные к которым совпадают с направлением вектора напряженности поля в данной точке:
|
|
Рисунок 18.2. Силовые линии поля точечного положительного заряда |
Рисунок 18..3. Силовые линии поля точечного отрицательного заряда |
Густота силовых линий, т.е. число линий, пронизывающих единичную площадку, перпендикулярную линиям в данной точке, графически определяет модуль вектора напряженности электрического поля (пропорциональна модулю вектора ).
| |
Рисунок 18..4. Силовые линии поля диполя
|
Рисунок 18..5. Силовые линии однородного электрического поля |
Теорема Гаусса.
Поток вектора через поверхность.
|
Рассмотрим маленькую площадку с единичным вектором нормали: , в пределах которой вектор напряженности электрического поля имеет постоянное значение: . Для замкнутых поверхностей принято выбирать внешнюю нормаль, |
Рисунок 18..6. |
т.е. нормаль , направленную наружу охватываемой поверхностью области.
В этом случае элементарный поток вектора через площадкуопределяется как скалярное произведение вектора поля на вектор элементарной площадки:
(18.9) |
Т.о., поток вектора есть скалярная величина.
Поток вектора через конечную поверхность равен:
(18.10) |
Поток вектора через замкнутую поверхность.
Рисунок 18.7. |
Рассмотрим для начала точечный заряд, окруженный сферической поверхностью с центром, совпадающим с точечным зарядом. Т.к. для любого элемента рассматриваемой поверхности , то |
Для элемента произвольной замкнутой поверхности
, |
(18.11) |
где – телесный угол. Этот угол может принимать как
положительные, так и отрицательные значения в зависимости от направления нормали (значения угла ), т.е. является величиной алгебраической. Из рисунка видно, что входящий и один из выходящих через поверхности, ограниченные телесным углом, потоков «компенсируют» друг друга, так что отличным от нуля остается только один выходящий в телесном углепоток. | |
Рисунок 18.8 |
Тогда полный поток вектора через произвольную замкнутую поверхность равен
(18.12) |
|
Теперь пусть поле создается любой системой зарядов. Тогда всю систему можно разбить на точечные заряды и для каждого из них в отдельности найти потоки через выбранную замкнутую поверхность. Пользуясь принципом суперпозиции, получим, что уравнение |
Рисунок 18.9. |
может быть обобщено для любой системы зарядов, расположенных произвольным образом, причем стоящий в правой части уравнения заряд будет складываться только из зарядов, находящихся внутри рассматриваемой замкнутой поверхности.
Т.о., получаем:
, |
(18.13) |
т.е. из геометрического правила сложения векторов следует, что их потоки, как и заряды, складываютсяалгебраически.
Итак, электростатическая теорема Гаусса:
. |
(18.14) |
где суммарный заряд внутри поверхности.
Поток вектора сквозь замкнутую поверхность равен с точностью до множителяалгебраической сумме зарядов внутри этой поверхности.
Для непрерывного распределения заряда с объемной плотностью , зависящей от координат, имеем
(18.15) |
Применение теоремы Гаусса для расчета полей.
Рассмотрим практическое применение теоремы Гаусса для расчета электрических полей.
а) Поле бесконечной равномерно заряженной с поверхностной плотностью плоскости (Рисунок 18.10):
Вектор напряженности поля бесконечной равномерно заряженной плоскости направлен перпендикулярно плоскости, что следует из симметрии рассматриваемой задачи, т.е.(нормаль к плоскости) или(элемент поверхности плоскости). В качестве поверхности, которую мы | |
Рисунок 1810. |
используем для расчета, выберем цилиндрическую поверхность (см. рисунок).
|
Поскольку поле по обе стороны плоскости одинаково (Рисунок 18.11), а поток через боковую поверхность цилиндра равен нулю (из-за равенства нулю скалярного произведения и элемента боковой поверхности), получаем , или | |
Рисунок 1811. | ||
(18.16) |
б) Поле бесконечного равномерно заряженного с линейной плотностью цилиндра (нити):
|
Из соображений симметрии следует, что в рассматриваемом случае поле имеет радиальный характер, т.е. вектор в каждой точке перпендикулярен оси цилиндра, а модуль вектора напряженности зависит только от расстоянияот оси цилиндра. Поэтому в качестве вспомогательной замкнутой поверхности выбираем в форме коаксиального прямого цилиндра, как показано на рисунке 18.12 |
Рисунок 18.12. |
По теореме Гаусса для случая получаем
|
откуда
, (). |
(18.17) |
Использование теоремы Гаусса для расчета полей эффективно лишь в случаях, где поле обладает специальной симметрией (чаще плоской, сферической, цилиндрической), чтобы можно было найти достаточно простую замкнутую поверхность, окружающую заряды и использовать простой способ вычисления потока вектора .
В тоже время теорема Гаусса имеет фундаментальное значение для теории. Она выражает тот факт, что электрические заряды, заключенные внутри замкнутой поверхности являются источниками (стоками) электростатического поля
|
При этом поток вектора напряженностии заряд, ограниченный замкнутой поверхностью, могут рассматриваться как суммарная алгебраическая мощность источников и стоков поля.
Представим теперь теорему Гаусса применительно к бесконечно малому объему, расширив её возможности как инструмента исследования электрического поля.