![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Міністерство освіти та науки України
- •Передмова
- •Вибір варіанту, рекомендації до виконання і вимоги до оформлення робіт
- •3. Динаміка Основні поняття
- •Алгоритм розв’язування задач динаміки, що пов’язані із складанням динамічних рівнянь руху
- •Завдання д-1. Інтегрування диференціальних рівнянь руху матеріальної точки, що знаходиться під дією постійних сил
- •Приклад д-1
- •Розв'язування.
- •Завдання д-2. Динамічні рівняння руху тіл
- •Завдання д-3. Теорема про зміну кінетичної енергії
- •Завдання д-4. Принцип д’Аламбера
- •Згідно до основного закону динаміки точки:
- •Розв’язування.
- •Розв’язування.
- •Розв’язування.
- •Розв’язування.
- •4. Література
- •П р и м і т к и
Завдання д-4. Принцип д’Аламбера
Умова
завдання. Вертикальний
вал
(рис.
Д4.0 – Д4.9, табл. Д4), що обертається з
постійною кутовою швидкістю
,
закріплений підп’ятником в точці
та циліндричним підшипником в точці,
що вказана в табл. Д4 в стовпці 2
До вала жорстко прикріплені невагомий
стержень 1 довжиною
з вантажем масою
на
кінці та однорідний стержень 2 довжиною
,
що має масу
;
обидва стержня знаходяться в одній
площині. Точки кріплення стержнів до
вала та величини кутів
і
вказані в таблиці.
Визначити. Реакції підп’ятника та підшипника, нехтуючи вагою вала.
Табл.Д4
Номер умови |
Пiдшипник в точцi |
Закрiплення |
|
|
Номер умови |
Пiдшипник точцi |
Закрiплення |
|
| ||
стержня 1 в точцi |
стержня 2 в точцi |
стержня 1 в точцi |
стержня 2 в точцi
| ||||||||
0 |
B |
D |
K |
30 |
45 |
5 |
D |
K |
B |
30 |
45 |
1 |
D |
B |
E |
45 |
60 |
6 |
E |
B |
K |
45 |
30 |
2 |
E |
D |
B |
60 |
75 |
7 |
K |
E |
B |
60 |
75 |
3 |
K |
D |
E |
75 |
30 |
8 |
D |
E |
K |
75 |
60 |
4 |
B |
E |
D |
90 |
60 |
9 |
E |
K |
D |
90 |
45 |
Теоретичне обґрунтування : [5] § 133 – 135 ; [6] Розд.III. Гл.5. § 1 ;
[7] § 106 - 111 ; [8]; [9]; [12]; [13].
Методичні
вказівки.
Завдання Д-4 на тему “Принцип Д’Аламбера
для механічної
системи». Введемо поняття сил інерції
точки. Сила інерції
зумовлена прискореним рухом матеріальної
точки, дорівнює добуткові маси точки
на її прискорення і спрямована протилежно
вектору прискорення. Тобто
(Д4.1)
Згідно до основного закону динаміки точки:
,
(Д4.2)
де
-
рівнодійна активних сил,
-
рівнодійна сил реакцій в’язей.
З
(Д4.2) маємо:
Або з урахуванням (Д4.1):
(Д4.3)
Вираз
(Д4.3) є рівнянням умовної рівноваги
точки, тобто рівноваги з урахуванням
умовно прикладеної сили
.
Таким чином , принципД’Аламбера
полягає
в тому, що
в кожний момент часу геометрична сума
активних сил, сил реакцій в’язей, що
діють на рухому матеріальну точку, та
умовно прикладеної до точки сили інерції
дорівнюють нулю.
Приклад Д-4
З
невагомим
валом
,що
обертається
з постійною
кутовою швидкістю
,
жорстко
скріплений стержень
довжиною
і масою
,
що має на кінці вантаж
масою
(рис. Д4.а).
Дано:
Визначити:реакції підп’ятника
та підшипника
.
Розв’язування.
Розглянемо
рух механічної системи, що складається
з вала
,
стержня
та вантажу
.Для визначення невідомих
реакцій застосуємо принцип Д’Аламбера.
Проведемо осі
,
що обертаються разом з валом, таким
чином, щоб стержень знаходився в площині
,
та зобразимо діючі на систему зовнішні
сили: сили ваги
, складові
реакції підп’ятника і реакцію
підшипника (рис.Д4.б).
За
принципом Д’Аламбера прикладемо сили
інерції елементів стержня та вантажу,
вважаючи його матеріальною точкою.
Враховуючи, що вал обертається рівномірно
,
елементи стержня мають тільки нормальні
прискорення
,
спрямовані до осі обертання, чисельно:
,
де
відстань
елемента від осі.
Тоді
сили інерції
будуть спрямовані від осі обертання і
чисельно:
,
де
маса
елемента.
Оскільки
всі
пропорційні
,
то епюра цих паралельних сил є трикутник
і їх можна замінити рівнодійною
,
лінія дії якої проходить через центр
ваги цього трикутника, тобто на відстані
від вершини
,
де
(
,
тобто
)
.
Але, як звісно, рівнодійна будь якої системи дорівнює її головному вектору, а чисельно головний вектор сил інерції стержня:
,
де
прискорення
центра мас стержня.
Як і будь-який елемент стержня, центр його мас має тільки нормальне прискорення:
Таким чином отримаємо:
Аналогічно,
сила інерції
вантажу спрямована від осі обертання,
а чисельно:
.
Всі
діючі на систему сили і сили інерції
знаходяться в одній площині
,
тому і реакції підп’ятника
і підшипника
також знаходяться в цій площині, що було
враховано при їх зображенні.
За принципом Д’Аламбера, прикладені активні сили, сили реакції та сили інерції складають зрівноважену систему сил. Таким чином, для отриманої плоскої системи сил , складемо три рівняння умовної рівноваги:
(4.1)
(4.2)
(4.3)
Підставимо
числові значення, та знайдемо невідомі
реакції. Через те, що
,
приймаючи
,
з рівняння (4.2) знайдемо
:
.
З
рівняння (4.3) знайдемо
:
Підставимо
отримане
в рівняння (4.1) і знайдемо
:
.
Відповідь:
.
Знаки вказують на те, що сили
та
спрямовані протилежно показаним на
рис. Д4.б
Завдання Д-5. Загальне рівняння динаміки
Умова
завдання. Механічна
система складається з однорідних
ступінчастих шківів 1 і 2, обмотаних
нерозтяжними нитками, вантажів 3 – 6,
прикріплених до цих ниток, та невагомого
блока (рис. Д5.0 – Д5.9, табл. Д5). Система
рухається у вертикальній площині під
дією сил ваги та пари сил з моментом
,
прикладеної до одного з шківів. Радіуси
ступенів шківа 1 дорівнюють:
,
а шківа 2 –
;
радіуси інерції відносно осей обертання
дорівнюють відповідно
та
.
Вага тіл
задана в табл. Д5. Вантажі, вага яких
дорівнює нулю, на рисунку не зображати,
шківи 1 і 2 зображати завжди.
Визначити. Прискорення вантажу, що має найбільшу вагу, нехтуючи тертям.
Табл. Д5
№ умови |
|
|
|
|
|
|
|
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 |
10 0 20 0 30 0 40 10 0 30 |
0 40 30 20 0 10 0 20 40 0 |
20 0 40 10 20 30 0 0 10 40 |
30 10 0 30 0 40 20 40 0 20 |
40 20 10 0 40 20 30 0 30 10 |
0 30 0 40 10 0 10 30 20 0 |
10 12 16 18 12 16 10 18 12 16 |
Теоретичне обґрунтування : [5] § 137 – 141; [6] Розд.III. Гл.6. § 1 – 3 , 8;
[7] § 112, 117, 118 ; [8]; [9]; [12]; [13] .
Методичні вказівки. Завдання Д-5 на тему «Загальне рівняння динаміки». Для систем з геометричними, стаціонарними ідеальними в’язями означене рівняння має вигляд:
,
(Д5.1)
де
сума
можливих робіт активних сил, що діють
на систему;
сума
можливих робіт сил інерції.
(У наведених вище сумах під можливою роботою розуміється робота сил на якомусь можливому переміщенні системи).
Сили
інерції точок, з яких складаються тверді
тіла, можна звести до головного вектора
та головного моменту сил інерції відносно
вибраного центру зведення (в динаміці
за центр зведення беруть точку
- центр мас тіла). Для тіл, що виконують
поступальний, обертальний або плоский
рухи головний вектор і головний момент
сил інерції визначаються за правилами.
Для тіла, що виконує поступальний рух:
-
головний вектор
,
головний момент
,
(Д5.2)
де
маса
тіла,
прискорення
центру мас тіла.
Головний вектор сил інерції та прискорення центру мас спрямовані протилежно.
Для тіла, що виконує обертальний рух навколо нерухомої центральної осі:
-
головний вектор
,
головний момент
,
(Д5.3)
де
осьовий
момент інерції,
кутове
прискорення тіла.
Головний момент сил інерції та кутове прискорення спрямовані протилежно.
Для тіла, що виконує плоский рух:
-
головний вектор
,
головний момент
,
(Д5.4)
Головний вектор і головний момент сил інерції спрямовані протилежно відповідним прискоренням.
Приклад Д-5
Механічна
система (рис. Д5.а) складається із з’єднаних
нерозтяжними нитками блока 1 радіуса
і ступінчастого шківа 2 (радіуси ступіней
і
,
радіус інерції відносно осі обертання
),
а також вантажів 3 і 4, прикріплених до
цих ниток. Система рухається у вертикальній
площині під дією сил ваги та пари сил
з моментом
,
прикладеної до блока 1.
Дано:
Визначити:прискорення вантажу 3, нехтуючи тертям.