Цифровая обработка сигналов (сборник книг) / Граничин О.Н. Введения в методы стохастической оптимизации и оценивания, 2003

Усил нный кон ольших чис л (Колмо оро ) [55, ñ. 377]. Пусть 1; 2; : : : посл о т льность н исимых случ йных личин с кон чными торыми мом нт ми, поло ит льны числ n ò êî û, ÷òî n ! 1 ïðè n ! 1;

X Ef( n E2 f ng)2g < 1

n

è

Sn = 1 + : : : + n:

Òî ïðè n ! 1 с роятностью иниц

Sn EfSng ! 0:

n

Ï.1.4. Ñò öèîí ðíû ñëó÷ éíû ïðîö ññû

Посл о т льность f ng случ йных кторо n í û ò- ñÿ ñò öèîí ðíûì ( широком смысл ) ïðîö ññîì, сли ср нн ч ни и ко ри ция н исят от с и по р м ни. Для ст цион рно о широком смысл случ йно о проц сс спр -

ëè î ïð ñò ë íè è ñòîõ ñòè÷ ñêî î èíò ð ë Èòî:

1 1; конст нт ; f g ñëó÷ éíûé ïðîö ññ

< n <

с н корр лиро нными ц нтриро нными прир щ ниями, т. .

ò êîé, ÷òî ïðè ëþ ûõ 1 2 3 4 è èíò ð ë [0; 2 ] ó î ë ò îðÿ ò óñëî èÿì

Ef( 1 2 )( 3 4 )?g = 0;

Ef( 1 2 )( 2 1 )?g = U ( 2) U ( 1)

111

с монотонно н у ы ющ й ( смысл к р тичных форм) симм тричной м тричной функци й U ( ), í û ìîé сп к- тр льной (структурной)функци й ïðîö ññ f ng. Ç ñü ?

строк , компл ксно-сопря нн я к ктору .

Сп ктр льн я функция мо т со р ть син улярную è í ïð ðû íóþ сост ляющи :

U ( ) = U ( ) + U ( ):

л м нты м трицы U ( ) солютно н пр ры ны функ-

ции, т. . при почти с х (по м р Л ) 2 [0; 2 ] ñóù ñò ó ò ïðîè î í ÿ

S ( ) = dU ( ) : d

В осно ной ч сти посо ия р ссм три ются только р улярны ст цион рны проц ссы, сп ктр льны функции которых н им ют син улярных ч ст й. Для т ких проц ссо сп к- тр льную функцию U ( ) ìî íî ïð ñò èòü è

U ( ) = Z S ( )d :

0

Ì òðèö S ( ) í û òñÿ м триц й сп ктр льных плотност й (èëè сп ктр льной плотностью) ïðîö ññ f ng. И опр л ния функции U ( ) ñë ó ò, ÷òî ì òðèö S ( ) н отриц т льно опр л нн я, ля м трицы ко ри ции мо - но пис ть формулу:

Ñò öèîí ðíû ïðîö ññû f ng è f ng í û þòñÿ ст цио- н рно с я нными, сли со окупный проц сс f n; ng ñò öèî-

112

н рный. Для ст цион рно с я нных ц нтриро нных проц с- со f ng è f ng, им ющих сп ктр льны плотности, спр - ли ы соотнош ния

S ( ) со м стн я сп ктр льн я плотность; B (n)

ì òðèö êî ðè öèè ïðîö ññî f ng è f ng. В я компл ксную п р м нную = e i, посл ни формулы у о но п р -

ïèñ òü è

H инт р л по иничной окру ности, ори нтиро н- ный т к, что H d = = 2 i, è

S ( ) = S ( ); S ( ) = S ( ):

П.1.5. Посл о т льности случ йных личин,ли ки к суп рм ртин л м

Ë ìì Ï.1 [34, ñ. 54, ë ìì 10; 76]. Åñëè 0; : : : ; n; : : :

посл о т льность н отриц т льных случ йных ли- чин:

Ef 0g < 1; n 0;

n = 0; 1; : : : ; è

Ef n+1j 0; : : : ; ng (1 n) n + n;

113

f ng è f ng н которы число ы посл о т льности, у о л т оряющи усло иям:

114

П.2. Н которы м тричны соотнош ния

М трично то ст о. Пусть м трицы A; D; A + BTDB

í ûðî íû . Òî

(A + BTDB) 1 = A 1 A 1BT(D 1 + BA 1BT) 1BA 1:

Про рить ыполн ни это о то ст мо но, умно и о ч сти формулы н (A + BTDB).

М трично н р нст о ([45, с. 69]. Пусть м триц ATA н ыро нн я. То ля прои ольной м трицы B соот тст ующ й р м рности

BTB BTA(ATA) 1ATB:

П.3. Ф ктори ция м тричных функций

О щи р ульт ты о сп ктр льной ф ктори ции поло и- т льных оп р торо мо но н йти [47, см. р . 2.3, с. 89 93]. З сь о р ничимся формулиро кой т ор мы, к с ющ йся

но о ч стно о случ я: ф ктори ции ро но-р цион льных функций ( .-р.ф.).

Ò îð ì (ò îð ì 3.Ï.6 è [44, ñ. 182]). Пусть S( )

ðî íî-ð öèîí ëüí ÿ (м тричн я) функция с щ ст нными коэффици нт ми м тричных эл м нт х, опр л нн я и н отриц т льн я при с х j j = 1. То сущ ст у т устойчи я .-р.ф. ( ), ò ê ÿ, ÷òî ñïð ëè î ïð ñò ë -

íè

S( ) = ( ) ( 1)T

П.4. Схо имость р курр нтных л оритмо

В этом р л при о ятся н сколько о щих р ульт то по иссл о нию с ойст оц нок, ост ля мых р курр нтными л оритм ми. И хотя т кст посо ия н т прямых ссылок н эти р ульт ты, их формулиро к пол н с ц лью иллюстр ции р ноо р ных о мо ност й н ли оц нок, которы мо но исполь о ть льн йш м и уч нии.

Ï.4.1. Ëèí éíûé ñëó÷ é

И ло ни этом р л сл у т р от [31], которойля н ли р курр нтных стох стич ских л оритмо при- м ня тся по хо , н ло ичный п р ому м то у Ляпуно

т ории устойчи ости.

Р ссмотрим ит р ти ный проц сс и

^

n íîì ð èò ð öèè; f ng посл о т льность r-м рныхкторо ; n 0 т рминиро нны ск ляры; B ì òðèö

р м рностью r r; искомо р ш ни ; n ïîì õè.

^

 ê ÷ ñò ì ðû ëè îñòè ïðè ëè íèÿ n к у м р с- см три ть м трицу

Ñë óþù ÿ ò îð ì õ ð êò ðè óþò ïî íè ì òðèö Sn:

Ò îð ì [31, ò îð ìû 1 2]. Пусть ыполн ны сл ующи усло ия:

1)ì òðèö ( B) устойчи , т. .

Re i > 0

ëÿ ñ õ ñî ñò ííûõ í ÷ íèé i м трицы B;

116

ро ны и имно н исимы; 3) èñï ðñèÿ ïîì õè êîí ÷í , ïðè÷ ì

Ef n(X) nT(X)g W + T(X )(X )TTT;

ñü W è T r r-м трицы; W н отриц т льно опр - л нн я симм тричн я м триц ;

í ÷ ëüíî ïðè ëè íè ^0 мо т ыть т рминиро-

4)

ííûì èëè ñëó÷ éíûì; ïîñë í ì ñëó÷ ïð ïîë òñÿ, ÷òî ñóù ñò ó ò

Åñëè n ! > 0 ïðè n ! 1. Òî í é òñÿ ò êî , ÷òî ïðè 0 < <

Sn S1 + Vn;

S1 р ш ни м трично о ур н ния

BS + SBT = (W + BSBT + TSTT)

è Vn ! 0.

Åñëè n ; 0 < < , òî kVnk < cn; < 1. В ч стности, сли n , T = 0, òî

Vn = (I B)n(S0 S1)(I B)n:

Åñëè n ! 0 ïðè n ! 1, посл о т льность fnng монотонно о р ст т и nn ! > =2 ïðè n ! 1( î - ìî íî, = 1), òî

Sn nS + Vn;

kVnk = o( n), S 0 р ш ни м трично о ур н ния

BS + SBT = 1S + W:

117

П.4.2. М то стох стич ской функции Ляпуно

Для н ли р курр нтных стох стич ских л оритмо н лин йном случ мо но исполь о ть по хо , н ло ичныйторому м то у Ляпуно т ории устойчи ости. П р ый о щий р ульт т, получ нный т ким о р ом, прин л ит Д . Блюму [61].

Р ссмотрим р курр нтный л оритм простр нст Rr :

^ = ^

n n 1 nYn;

íîì ð èò ð öèè; ^n -м рны кторы; n 0 n r

т рминиро нны ск лярны мно ит ли ( личины р м - р ш о ); Yn случ йны r-м рны кторы (н пр л нияи ния).

И уч ни схо имости проц сс постро ния оц нок про -м с помощью ск лярной функции V (X) н ло функции Ляпуно .

В сл ующ й т ор м сформулиро ны осно ны р уль-

^

т ты о схо имости посл о т льности оц нок f ng:

Ò îð ì [30, ò îð ìû 1 3]. Пр поло им, что ыполн ны сл ующи усло ия:

1) èò ð òè íûé ïðîö ññ èì ò ì ðêî ñêèé õ ð êò ð, ò. .

^

ð ñïð ë íè ñëó÷ éíî î êòîð Yn исит только от n 1

= ( ^ )

è n: Yn Gn !; n 1 ;

2)функция V (X) н отриц т льн , inf V (X) = 0, V (X)

ифф р нциру м , р и нт у о л т оря т усло ию Г ль р поря к (0 < 1):

krV (X) rV ( )k AkX k ;

3) усло и пс о р и нтности:

hrV (X);EfGn(!; X)gi ÆnV (X) n;

118

с н которыми посл о т льностями Æn > 0; n 0; 4)óñëî è í Gn( ; ):

EfkGn(!; X)k +1g n+1 + nV (X); n 0; n 0:

E (^ )

fV n g

119

120