1.1. Основные формулы

Средняя скорость и среднее ускорение: ;.

где S– путь, пройденный точкой за интервал времениt.

Путь Sв отличие от разности координатx = x₂ – x₁не может убывать и принимать отрицательные значения, т.е.S0.

Величина мгновенной скорости и мгновенного ускорения при прямолинейном движении соответственно:

или ;

Тангенциальная и нормальная составляющая ускорения при криволинейном движении:

; , гдеR– радиус кривизны траектории.

Полное ускорение ;

Кинематическое уравнение равнопеременного движения материальной точки (центра масс твердого тела) вдоль оси X:

,

где х_о– начальная координата движущейся точки в момент времениt= 0;

_o– скорость точки в данный момент времени;

а – мгновенное ускорение.

Скорость и путь равнопеременного поступательного движения:

.

Угловая скорость и угловое ускорение при вращательном движении:

; .

Кинематические уравнения равнопеременного вращательного движения:

Связь между линейными и угловыми величинами при вращательном движении: длина дуги, пройденная точкой:

,

где – угол поворота точки,R– радиус вращения точки;

; ;.

Импульс (количество движения) материальной точки массой m, движущейся со скоростью:

.

Основное уравнение динамики поступательного движения:

.

Силы, рассматриваемые в механике:

а) сила упругости:

,

где k– коэффициент упругости;

x– абсолютная деформация;

б) сила трения скольжения:

,

где f– коэффициент трения;

N– сила нормального давления;

в) сила гравитационного взаимодействия (сила тяготения):

,

где G – гравитационная постоянная;

m₁иm₂– массы взаимодействующих тел;

r– расстояние между телами (тела рассматриваются как материальные точки);

г) сила, действующая на тело, движущееся по дуге окружности радиуса R:

.

Закон сохранения импульса (количества движения) для замкнутой (изолированной) системы:

,

или для двух тел (i= 2):

,

где и– скорости тел в начальный момент времени (до взаимодействия);

и – скорости тех же тел после их взаимодействия.

Кинетическая энергия тела, движущегося поступательно:

, или .

Потенциальная энергия:

а) упруго деформированного тела:

,

где k – коэффициент упругости (жесткость) тела;

x– абсолютная деформация;

б) гравитационного взаимодействия тел:

;

в) тела, поднятого над поверхностью Земли:

,

где g– ускорение свободного падения;

h– высота тела над уровнем, принятым за нулевой (формула справедлива при условииh<<R_З, гдеR_З – радиус Земли).

Закон сохранения полной механической энергии (для замкнутой системы, где действуют консервативные силы):

W = W_к+W_П= const.

Работа А, совершаемая внешними силами, определяется как мера изменения энергии системы (тела):A = W = W₂ - W₁

Работа:

а) постоянной силы F:

,

где - угол между направлениями силыи перемещения;

б) переменной силы F:

в) упругой силы

.

Мощность:

а) средняя за время t

;

б) мгновенная

, или .

Момент инерции материальной точки

,

где r– расстояние от точки до оси вращения.

Момент инерции системы (тела):

, или ,

где dm– элементарная масса тела;

dV– элементарный объем тела;

 – плотность вещества тела.

Моменты инерции некоторых тел массой mотносительно оси, проходящей через центр масс (центр симметрии):

а) полого (тонкостенного) и сплошного цилиндров (или диска) радиуса R:

; ;

б) шара радиуса R:

;

в) тонкого стержня длиной l, если ось вращения перпендикулярна стержню:

;

то же, но ось вращения проходит через один из концов стержня:

;

г) тела относительно произвольной оси (теорема Штейнера):

,

где I₀– момент инерции тела относительно оси, параллельной данной и проходящей через его центр инерции;

b– расстояние между параллельными осями.

Момент силы относительно неподвижной точки вращения:

, или M = F d,

где – радиус-вектор точки приложения силы;

d– плечо силыF.

Момент импульса материальной точки относительно неподвижной точки:

, или .

Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела:

.

Проекция на ось Z момента импульса тела, вращающегося относительно неподвижной оси Z:

L_z = I_z, или,

где - угловая скорость тела.

Закон сохранения момента импульса (количества движения) для изолированной системы:

,

где I_i– момент инерции тел относительно оси Z_i;

_i– угловая скорость вращения тел системы вокруг оси Z.

Кинетическая энергия вращающегося тела относительно неподвижной оси

, или .

Работа силы при вращательном движении:

dA = Md,

где d– угол поворота тела.

Кинематическое уравнение гармонических колебаний материальной точки:

,

где х– смещение колеблющейся точки от положения равновесия;

А– амплитуда колебаний;

 – круговая или циклическая частота;

₀– начальная фаза колебаний;

t– время.

,

где Т– период колебаний точки;v– частота колебаний.

Скорость и ускорение материальной точки, совершающей гармонические колебания согласно уравнения :

–Asin(t+₀);

–A²cos(t+₀) = –²x.

Сила, под действием которой точка массой mсовершает гармоническое колебание (возвращающая сила):

,

где (m– масса точки).

Кинетическая и потенциальная энергии колеблющейся точки согласно уравнения :

; .

Полная энергия колеблющейся точки:

Е = W_к+W_П=.

Период собственных колебаний:

а) математического маятника

,

где l– длина маятника; g– ускорение свободного падения;

б) пружинного маятника

где m– масса колеблющегося тела;k– жесткость пружины;

в) физического маятника

,

где I– момент инерции колеблющегося тела относительно оси колебаний;

а– расстояние от центра тяжести маятника до оси колебаний;

–приведенная длина физического маятника.

Уравнение затухающих колебаний (в среде, где сила сопротивления прямо пропорциональна первой степени скорости,)

x = A_oe^{-β t}sin(t+₁) илиx = A_oe^{-β t}cos(t+₂),

где А– амплитуда в момент времениt = 0;е– основание натурального логарифма;β=– коэффициент затухания.

Логарифмический декремент затухания

где А_t = A_oe^{-β t} – амплитуда в момент времениt.

При сложении гармонических колебаний одного направления с одинаковой частотой (периодом), но разными амплитудами и начальными фазами ,результирующее колебание описывается уравнением:

,

где – амплитуда результирующего колебания;

–его начальная фаза.

При сложении двух взаимно перпендикулярных колебаний одинакового периода, но разных амплитуд и начальных фаз ,, траектория результирующего колебания задается уравнением:

.

В зависимости от разности фаз и амплитуд это будет либо прямая, либо эллипс, либо окружность.

Длина волны

,

где Т – период колебания;

–скорость распространения волны;

v– частота колебаний.

Уравнение плоской бегущей волны:

y = Acos(t – ); у= Acos(t – kx),

где y– смещение любой точки среды,x– расстояние точки от источника колебаний (рис. 1);

–скорость распространения колебаний в среде;

–волновое число;

 –длина волны.

Р

Рис. 2

Рис. 1

азность фаз двух колеблющихся точек, находящихся на расстоянияхх₁их₂от источника колебаний:

.

При падении плоской волны y₁ = Asin(t –kx) на границу раздела двух сред возникает отраженная волна,y₂ = Asin(t +kx) которая, складываясь с падающей волной, образует стоячую волну.

Уравнение стоячей волны у=у₁+ у₂:

y = 2Acoskxsint,

где A(x) = 2Acoskx– амплитуда стоячей волны.