1.1. Основные формулы

Средняя скорость и среднее ускорение: ; .

где S – путь, пройденный точкой за интервал времени t.

Путь S в отличие от разности координат x = x₂ – x₁ не может убывать и принимать отрицательные значения, т.е. S0.

Величина мгновенной скорости и мгновенного ускорения при прямолинейном движении соответственно:

или ;

Тангенциальная и нормальная составляющая ускорения при криволинейном движении:

; , где R – радиус кривизны траектории.

Полное ускорение ;

Кинематическое уравнение равнопеременного движения материальной точки (центра масс твердого тела) вдоль оси X:

,

где х_о – начальная координата движущейся точки в момент времени t = 0;

_o – скорость точки в данный момент времени;

а – мгновенное ускорение.

Скорость и путь равнопеременного поступательного движения:

.

Угловая скорость и угловое ускорение при вращательном движении:

; .

Кинематические уравнения равнопеременного вращательного движения:

Связь между линейными и угловыми величинами при вращательном движении: длина дуги, пройденная точкой:

,

где  – угол поворота точки, R – радиус вращения точки;

; ; .

Импульс (количество движения) материальной точки массой m, движущейся со скоростью :

.

Основное уравнение динамики поступательного движения:

.

Силы, рассматриваемые в механике:

а) сила упругости:

,

где k – коэффициент упругости;

x – абсолютная деформация;

б) сила трения скольжения:

,

где f – коэффициент трения;

N – сила нормального давления;

в) сила гравитационного взаимодействия (сила тяготения):

,

где G – гравитационная постоянная;

m₁ и m₂ – массы взаимодействующих тел;

r – расстояние между телами (тела рассматриваются как материальные точки);

г) сила, действующая на тело, движущееся по дуге окружности радиуса R:

.

Закон сохранения импульса (количества движения) для замкнутой (изолированной) системы:

,

или для двух тел (i = 2):

,

где и – скорости тел в начальный момент времени (до взаимодействия);

и – скорости тех же тел после их взаимодействия.

Кинетическая энергия тела, движущегося поступательно:

, или .

Потенциальная энергия:

а) упруго деформированного тела:

,

где k – коэффициент упругости (жесткость) тела;

x – абсолютная деформация;

б) гравитационного взаимодействия тел:

;

в) тела, поднятого над поверхностью Земли:

,

где g – ускорение свободного падения;

h – высота тела над уровнем, принятым за нулевой (формула справедлива при условии h<<R_З , где R_З – радиус Земли).

Закон сохранения полной механической энергии (для замкнутой системы, где действуют консервативные силы):

W = W_к+W_П = const.

Работа А, совершаемая внешними силами, определяется как мера изменения энергии системы (тела): A = W = W₂ - W₁

Работа:

а) постоянной силы F:

,

где  - угол между направлениями силы и перемещения ;

б) переменной силы F:

в) упругой силы

.

Мощность:

а) средняя за время t

;

б) мгновенная

, или .

Момент инерции материальной точки

,

где r – расстояние от точки до оси вращения.

Момент инерции системы (тела):

, или ,

где dm – элементарная масса тела;

dV – элементарный объем тела;

 – плотность вещества тела.

Моменты инерции некоторых тел массой m относительно оси, проходящей через центр масс (центр симметрии):

а) полого (тонкостенного) и сплошного цилиндров (или диска) радиуса R:

; ;

б) шара радиуса R:

;

в) тонкого стержня длиной l, если ось вращения перпендикулярна стержню:

;

то же, но ось вращения проходит через один из концов стержня:

;

г) тела относительно произвольной оси (теорема Штейнера):

,

где I₀ – момент инерции тела относительно оси, параллельной данной и проходящей через его центр инерции;

b – расстояние между параллельными осями.

Момент силы относительно неподвижной точки вращения:

, или M = F d,

где – радиус-вектор точки приложения силы;

d – плечо силы F.

Момент импульса материальной точки относительно неподвижной точки:

, или .

Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела:

.

Проекция на ось Z момента импульса тела, вращающегося относительно неподвижной оси Z:

L_z = I_z, или ,

где  - угловая скорость тела.

Закон сохранения момента импульса (количества движения) для изолированной системы:

,

где I_i – момент инерции тел относительно оси Z_i;

_i – угловая скорость вращения тел системы вокруг оси Z.

Кинетическая энергия вращающегося тела относительно неподвижной оси

, или .

Работа силы при вращательном движении:

dA = Md,

где d – угол поворота тела.

Кинематическое уравнение гармонических колебаний материальной точки:

,

где х – смещение колеблющейся точки от положения равновесия;

А – амплитуда колебаний;

 – круговая или циклическая частота;

₀ – начальная фаза колебаний;

t – время.

,

где Т – период колебаний точки; v – частота колебаний.

Скорость и ускорение материальной точки, совершающей гармонические колебания согласно уравнения :

–Asin(t+₀);

–A²cos(t+₀) = –²x.

Сила, под действием которой точка массой m совершает гармоническое колебание (возвращающая сила):

,

где (m – масса точки).

Кинетическая и потенциальная энергии колеблющейся точки согласно уравнения :

; .

Полная энергия колеблющейся точки:

Е = W_к+W_П = .

Период собственных колебаний:

а) математического маятника

,

где l – длина маятника; g – ускорение свободного падения;

б) пружинного маятника

где m – масса колеблющегося тела; k – жесткость пружины;

в) физического маятника

,

где I – момент инерции колеблющегося тела относительно оси колебаний;

а – расстояние от центра тяжести маятника до оси колебаний;

– приведенная длина физического маятника.

Уравнение затухающих колебаний (в среде, где сила сопротивления прямо пропорциональна первой степени скорости, )

x = A_oe^{-β t}sin(t+₁) или x = A_oe^{-β t}cos(t+₂),

где А – амплитуда в момент времени t = 0; е – основание натурального логарифма; β = – коэффициент затухания.

Логарифмический декремент затухания

где А_t = A_oe^{-β t} – амплитуда в момент времени t.

При сложении гармонических колебаний одного направления с одинаковой частотой (периодом), но разными амплитудами и начальными фазами , результирующее колебание описывается уравнением:

,

где – амплитуда результирующего колебания;

– его начальная фаза.

При сложении двух взаимно перпендикулярных колебаний одинакового периода, но разных амплитуд и начальных фаз , , траектория результирующего колебания задается уравнением:

.

В зависимости от разности фаз и амплитуд это будет либо прямая, либо эллипс, либо окружность.

Длина волны

,

где Т – период колебания;

– скорость распространения волны;

v – частота колебаний.

Уравнение плоской бегущей волны:

y = Acos(t – ); у= Acos(t – kx),

где y – смещение любой точки среды, x – расстояние точки от источника колебаний (рис. 1);

– скорость распространения колебаний в среде;

– волновое число;

 – длина волны.

Р

Рис. 2

Рис. 1

азность фаз двух колеблющихся точек, находящихся на расстояниях х₁ и х₂ от источника колебаний:

.

При падении плоской волны y₁ = Asin(t – kx) на границу раздела двух сред возникает отраженная волна, y₂ = Asin(t + kx) которая, складываясь с падающей волной, образует стоячую волну.

Уравнение стоячей волны у=у₁ + у₂:

y = 2A cos kx sin t,

где A(x) = 2A cos kx – амплитуда стоячей волны.