![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Лабораторный практикум по приложениям математической статистики
- •Первичная обработка результатов наблюдений Цель и содержание лабораторной работы № 1
- •Этап 1. Группировка данных в вариационный ряд
- •Этап 2. Графические изображения эмпирического закона распределения
- •В условных вариантах в исходных вариантах
- •Лабораторная работа № 2
- •Цель и содержание работы
- •2.1. Краткие теоретические сведения
- •1.Критерий согласия Пирсона
- •4. Критерий согласия Колмогорова
- •2.2. План выполнения работы и алгоритм расчетов
- •Критерий Романовского
- •Критерий Колмогорова
- •Графическая проверка
- •2.3 Образец выполнения работы
- •Приближенная проверка с использованием и
- •24. Вычислим с.К.О. И
- •Этап 4. Построение графиков эмпирических и теоретических распределений
- •2.4. Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа № 3 Установление линейной корреляционной связи между двумя случайными величинами (факторами).
- •3.1. Краткие теоретические сведения
- •3.2. План выполнения работы и алгоритм расчетов
- •3.3. Образец выполнения работы
- •Двухфактроный дисперсионный анализ
Двухфактроный дисперсионный анализ
Однофакторный
дисперсионный анализ легко обобщается
на случай двух факторов. Пусть случайная
величина
зависит от двух признаков (факторов): А
и В. Обозначим
уровни
факторов А и В соответственно. Результаты
измерения случайной величины
представлены в таблице.
|
1 |
2 |
3 |
…. |
|
1 |
|
|
|
… |
|
2 |
|
|
|
…. |
|
… |
… |
…. |
… |
… |
… |
|
|
|
|
… |
|
Для простоты
полагаем, что в каждой клетке таблицы,
т.е. при каждом сочетании уровней
факторов, приведен результат только
одного наблюдения (измерения). Тогда
общее число наблюдений
Обозначим через
математическое ожидание
при уровне А
,
через
математическое
ожидание
при уровне
Если при измерении фактора А сохраняется
равенство
то естественно считать, что величина
не зависит от фактора А; в противном
случае
зависит от фактора А; Аналогично
определяется зависимость от фактора
В.
Однако в априори
(первоначально) значения
и
не известны. Таким образом, проблема
сводится к задаче проверки гипотез:
:
и
:
(влияние факторов отсутствует т.е.
средние значения факторов на всех
уровнях одинаковы). При решении задачи
будем предполагать, что выполняются
следующие условия:
- ошибки наблюдений имеют нулевую среднюю;
наблюдения при различных сочетаниях уровней факторов независимы;
при всех сочетаниях уровней факторов случайная величина
нормально распределена с одной и той же дисперсией
Изменчивость наблюдаемых факторов при переходе от одной клетки таблицы к другой может быть обусловлена как изменением уровней факторов, так и случайными неконтролируемыми факторами. Изменчивость, вызванная случайными неконтролируемыми факторами, называется остаточной.
Вычислим общую среднюю результатов измерений по формуле
Эту величину можно
представить в другой форме, использующей
групповые (факторные) средние
и
:
Точка в индексе
величины
означает, что суммирование ведется по
ой
строке, а точка в индексе величины
- что суммирование ведется по
ому
столбцу. В этих обозначениях среднее
результатов измерений вычисляется по
любому из формул:
Средняя изменчивость, вызванная фактором А, вычисляется по формуле
Аналогично для изменчивости, вызванный фактором В:
Общая изменчивость,
обусловленная случайными факторами,
вычисляется как
-
остаточная дисперсия.
Общая изменчивость
величины
вычисляется как
Доказано, что
.
Понятно, что по
соотношению между
,
и
можно судить о степени влияния факторов
на случайную величину
.
Проверка гипотезы
о не влиянии (влиянии) фактора А
основывается на сравнении величин
и
.
Величина
имеет распределение
Фишера-Снедекора со степенями свободы
(числителя) и
(знаменателя).
Зададимся уровнем
значимости
и найдемправостороннюю
критическую точку
решением
уравнения
Если значение
вычисленное по результатам измерений,
удовлетворяет неравенству
то гипотеза
о не влиянии фактора А принимается . В
противном случае гипотеза
отвергается, и можно заключить, что
изменение фактора А влияет на изменение
величины
Мерой этого влияния является коэффициент
детерминации
который показывает,
какая доля общей изменчивости величины
обусловлена изменением фактора А.
Аналогично
проверяется гипотеза
о не влиянии (влиянии) фактора В, которая
основывается на сравнении величин
и
.
Величина
имеет распределение
Фишера-Снедекора со степенями свободы
(числителя) и
(знаменателя).
При уровне
значимости
правосторонняя
критическая точка
решение
уравнения
Если значение
вычисленное по результатам измерений,
удовлетворяет неравенству
то гипотеза
принимается. В противном случае гипотеза
отвергается, и можно заключить, что
изменение фактора В влияет на изменение
величины
.
Мерой этого влияния является коэффициент детерминации
который показывает,
какая доля общей изменчивости величины
обусловлена изменением фактора В.
В рамках
двухфакторного дисперсионного анализа
случайная величина
может быть представлена в виде модели
(1)
где
генеральное среднее значение величины
;
слагаемое,
которое описывает эффект влияния
фактора А на случайную величину
на
ом
уровне фактора А;
слагаемое,
которое описывает эффект влияния
фактора В на случайную величину
на
ом
уровне фактора В;
слагаемое,
которое описывает эффект влияния
случайных факторов, полагают, что
В модели (1) эффектом взаимодействия факторов пренебрегается.
Если гипотезы
и
не отвергаются (нет влияние факторов),
то в рассматриваемой модели параметры
и
Величина
представляет собой оценку параметра
,
а величина
- несмещенную оценку параметра
- остаточной дисперсии.
Если гипотезы
и
отвергаются (есть влияние факторов),
то:
оцнека параметра
равна
;
оцнека параметра
равна
;
оцнека параметра
равна
;
несмещенная оценка параметра
равна
.
Пример. Провести двухфакторный анализ таблицы.
|
|
|
|
|
| ||||
|
10,9 |
11,1 |
9,9 |
11,51 |
10,8525 | ||||
|
13,3 |
15,2 |
14,8 |
14,9 |
14,55 | ||||
|
17,3 |
18 |
19,6 |
19,3 |
18,55 | ||||
|
13,83333 |
14,76666667 |
14,76667 |
15,23667 |
|
В примере
- общая средняя.
=
-
средние знчения по фактору А.
=
-средние значения по фактору В.
- дисперсия по
фактору А.
-
дисперсия по фактору В.
-остаточная
дисперсия.
- общая дисперсия.
-
наблюдаемое значение критерия Фишера
по фактору А.
- критическое
значение критерия Фишера (берется из
таблицы Приложения), где
уровень
доверия;
-
степень свободы факторной дисперсии
по А;
степень
свободы остаточной дисперсии.
Гипотеза
о том, что величина
не зависит от фактора А отвергается,
т.к.
,
т.е. 29,73>5,143.
Коэффициент
детерминации фактора А
- наблюдаемое
значение критерия Фишера по фактору В.
- критическое
значение критерия Фишера (берется из
таблицы Приложения), где
уровень
доверия;
-
степень свободы факторной дисперсии
по фактору В;
степень
свободы остаточной дисперсии.
Гипотеза
о том, что величина
не зависит от фактора В принимается ,
т.к.
,
т.е. 0,781<4,757. Коэффициент детерминации
фактора В
Генеральная
средняя
Несмещенная
оценка параметра
Обсуждение
результатов.
Коэффициент детерминации для фактора
А равен
Это означает, что более 94% изменчивости
исследуемой случайной величины
обусловлено изменением этого фактора.
На долю фактора В приходится только
2,5 % изменчивости, поскольку
Независимость
от фактора
позволяет построить уточненную модель
исследуемой случайной величины в виде
где
независимые
случайные величины, распределенные
нормально с нулевыми математическими
ожиданиями и дисперсией
С учетом изложенного, матрица, описывающая влияние факторов на изучаемое явление, имеет вид:
|
|
|
|
|
|
10.852 |
10.852 |
10.852 |
10.852 |
|
14.55 |
14.55 |
14.55 |
14.55 |
|
18.55 |
18.55 |
18.55 |
18.55 |
Остальная часть
элементов исходной матрицы обусловлена
случайными факторами. Например, на
уровнях
и
случайная величина
имеет нормальное распределение
Контрольные вопросы
В терминах проверки статистической проверки гипотез сформулировать математическую постановку задачи двухфакторного дисперсионного анализа.
Записать и пояснить математическую модель двухфакторного дисперсионного анализа.
Записать и пояснить предпосылки применения модели двухфакторного дисперсионного анализа.
Записать формулы для вычисления групповых (факторных) и общих средних.
Записать и пояснить формулу для вычисления общей дисперсии и формулы ее раложения на факторные (А и В) и остатоточную дисперсии.
Записать критериальные формулы для проверки нулевых гипотез по А и В (распределения Фишера-Снедекора).
Записать формулы для вычисления степеней свободы дисперсий по фактору А, фактору В и остаточной дисперсии.
Записать уравнения для определения критических значений
,
критериев
и
. Дать интерпретацию полученных численных результатов.
Записать и пояснить формулы для вычисления коэффициентов детерминации по факторам А и В и пояснить полученные численные результаты.
Записать формулы оценки параметров распределения исследуемой случайной величины.