Раздел V элементы многомерного математического анализа

Вопросы для подготовки к тестированию:

1. Что называется n-мерным евклидовым пространством и каковы его типы?

2. Что называется функцией нескольких переменных?

3. Что называется функцией двух переменных, ее областью определения?

4. Что называется пределом функции двух переменных в точке?

5. Как определяются частные производные? Сформулируйте правила нахождения частных производных функции нескольких переменных.

6. Когда функция называется дифференцируемой в данной точке? Что называется полным дифференциалом этой функции в данной точке?

7. Напишите формулы для нахождения сложной функции, где.

8. Запишите формулы дифференцирования неявной функции и.

9. Сформулируйте определение частных производных высших порядков.

10. Что называется градиентом функции ?

11. Что называется касательной плоскость к поверхности в данной точке М?

12. Запишите уравнение касательной плоскости, проведенной в точке для поверхностиS,задаваемой равенством.

13. Запишите уравнение касательной плоскости, проведенной в точке для поверхностиS,задаваемой уравнением.

14. _{Что называется нормалью к поверхности?}

15. Запишите каноническое уравнение нормали к поверхности в точке.

16. Запишите каноническое уравнение нормали к поверхности в точке.

17. Запишите формулы дл вычисления производной по направлению, определяемому вектором _.

18. Сформулируйте необходимое и достаточное условия экстремума функции двух переменных.

19. Что называется условным экстремумом функции ? Сформулируйте необходимое и достаточное условия условного экстремума функции двух переменных.

20. Опишите процедуру исследования функции на условный экстремум.

21. Опишите процедуру нахождения наибольшего и наименьшего значения функции в замкнутой области.

22. В чем состоит метод наименьших квадратов при нахождении функции на основании экспериментальных данных?

Задачи для подготовки к тестированию:

1. Найти частные производные функций:

а) ; б); в); г).

Ответ: а) ; б); в).

2. Найти полный дифференциал функций:

а) ; б); в).

Ответ: а) ; б).

3. Найти частные производные второго порядка следующих функций:

а) ; б).

Ответ: а); б).

4. Найти частные производные неявных функций:

а) ; б); в).

Ответ: а) ; б);

5. Найти градиент функции:

а) ; б).

Ответ: а) ;.

6. Вычислить градиент функции в точке М:

а)

Ответ: (1, 0).

7. Найти точки экстремума функции:

Ответ: а) (0, 0) – точка минимума, - точка максимума.

Раздел VI интегральное исчисление

Вопросы для подготовки к тестированию:

1. Какая функция называется первообразной для функции ?

2. Укажите геометрический смысл совокупности первообразных функций. Что называется неопределенным интегралом?

3. Перечислите основные свойства неопределенного интеграла.

4. Напишите таблицу основных интегралов.

5. Напишите формулу замены переменной в неопределенном интеграле.

6. Напишите формулу интегрирования по частям для неопределенного интеграла.

7. Сформулируйте понятия правильной и неправильной рацинальной функции.

8. Изложите методы нахождения интегралов вида ,.

9. Изложите правило разложения правильной рациональной функции на простейшие дроби.

10. Изложите суть метода неопределенных коэффициентов.

11. Изложите методы нахождения интегралов вида ,

12. Изложите методы нахождения интегралов вида, гдеnиm– натуральные числа.

13. Изложите методы нахождения интегралов вида .

14. Изложите методы нахождения интегралов вида ,.

15. Изложите методы нахождения интегралов вида, где подынтегральная функция рациональна относительно переменной интегрированияи различных радикалов из.

16. Изложите методы нахождения интегралов вида

17. Запишите решение интеграла .

18. Запишите решение интеграла .

19. Дайте определение определенного интеграла и укажите его геометрический, физический и экономический смысл.

20. Перечислите основные свойства определенного интеграла.

21. Напишите формулу замены переменной в определенном интеграле.

22. Напишите формулу интегрирования по частям в определенном интеграле.

23. Напишите формулы для определения площади плоской фигуры с помощью определенного интеграла.

24. По каким формулам находится объем тела вращения ?

25. Дайте понятие несобственных интегралов.

26. Какие интегралы называют несобственными интегралами первого и второго рода.? Какой интеграл называется сходящимся, расходящимся ?

Задачи для подготовки к тестированию:

1. Найти интегралы:

а) ; б).

Ответ: а) ; б).

2. Найти интегралы:

а) ; б); в); г).

Ответ: а) ; б); в);

г) .

3. Найти интегралы:

а) ; б); в).

Ответ: а) ;

б) ; в).

4. Найти интегралы: а) ; б).

Ответ: а) ; б).

5. Найти интегралы а) ; б).

Ответ: а) ; б).

6. Вычислить интегралы:

а) ; б); в).

Ответ: а) 20/3; б) ; в) 8.

7. Найти площадь фигуры ограниченной линиями:а) осьюОхи прямыми; б).

Ответ: а) 24 ; б) 13, 5.

8. Вычислить несобственные интегралы: а) ; б).

Ответ: а) ; б).