Дискретний ряд розподілу проданого товару за цінами

Ціна, грн. ()	1,5	3,5	7,5	12,5	Разом
Кількість товару (f)	84	69	25	2	180

Середня ціна обчислюється за формулою середньої арифметичної зваженої:

.

Тоді середня ціна за даними вибіркового спостереження:

грн.

Гранична помилка для безповторного випадкового відбору розраховується за формулою:

,

де t – довірче число (або квантиль розподілу), яке для великої за обсягом вибірки (більше 30 одиниць) для ймовірності 0,954 дорівнює 2

–дисперсія вибірки

n – обсяг вибірки

N – обсяг генеральної сукупності.

Дисперсія вибірки обчислюється за формулою:

,

де – середина окремого інтервалу

–середня арифметична (середня ціна)

f_i – частота (кількість проданого товару) кожного окремого інтервалу.

Таким чином, дисперсія вибірки:

Тепер можна визначити граничну помилку:

.

Таким чином, = 3,2 грн.  = 0,32; і з імовірністю 0,954 можна стверджувати, що при середній ціні за одиницю проданого товару у вибірковій сукупності 3,2 грн., у генеральній сукупності коливання навколо неї становитиме 0,32 грн., тобто межі довірчого інтервалу становитимуть:

3,2 – 0,32 ≤ ≤ 3,2 + 0,32 ,

це означає, що середня ціна за одиницю проданого товару може коливатися від 2,88 до 3,52 грн. у генеральній сукупності, яка складається із 3254 одиниць товару.

Приклад 2

Під час безповторного вибіркового спостереження в одному з судів з метою дослідження термінів позбавлення волі засуджених за тяжкі злочини були отримані такі дані :

Розподіл засуджених за тяжкі злочини

за терміном позбавлення волі (дані умовні)

Термін позбавлення волі, років (Х)	5	6	7	8	9	Разом
Кількість засуджених (f)	12	24	40	26	8	110

Визначити середній термін позбавлення волі та довірчий інтервал з імовірністю 0,954. Загальна кількість засуджених за тяжкі злочини протягом досліджуваного періоду в цьому суді становила 986 осіб.

Розв’язання

Маємо дискретний ряд розподілу, тому середній термін позбавлення волі за тяжкі злочини на підставі вибіркових даних обчислюється за формулою середньої арифметичної зваженої:

.

Тоді

(років).

Для визначення довірчого інтервалу спочатку потрібно обчислити граничну помилку за формулою:

,

де t – довірче число, або квантиль розподілу, який для великої за обсягом вибірки (n > 30) визначається з таблиць нормального розподілу та для ймовірності 0,954 дорівнює 2

–дисперсія вибірки

n – обсяг вибірки

N – обсяг генеральної сукупності.

Для визначення граничної помилки потрібно розрахувати дисперсію вибірки, яка обчислюється за формулою:

,

==1,181.

Тепер обчислюється гранична помилка:

.

Довірчий інтервал можна записати таким чином:

, або .

Відповідь: середній термін позбавлення волі за тяжкі злочини за даними вибіркової сукупності дорівнює 6,9 років з імовірністю 0,954 можна стверджувати, що середній термін позбавлення волі за тяжкі злочини у генеральній сукупності не менше як 6,7 років та не перевищує 7,1 років (або знаходиться в межах від 6,7 до 7,1 років).

Приклад 3

За звітний період у суді було розглянуто 480 кримінальних справ, за якими проходило 650 злочинців. Розподіл засуджених за віком у 10% вибірці наведений у таблиці. Визначити частку неповнолітніх злочинців та довірчий інтервал частки цих засуджених з імовірністю 0,954.

Розподіл засуджених за віком за звітний період (дані умовні)

Вік засудженого, років	До 18	18 – 25	25 – 35	35 – 50	50 і старші	Разом
Кількість засуджених	14	20	10	15	6	65

Розв’язання

Частка неповнолітніх злочинців визначається як питома вага кількості злочинців відповідної вікової групи у загальному обсязі вибіркової сукупності, тобто:

р = х_і /  х_і,

де х_і – кількість неповнолітніх злочинців у вибірці;

 х_і – загальна кількість злочинців, які потрапили до вибірки.

Тоді: р = 14 / 65 = 0,215 і т.д..

Оскільки обсяги генеральної сукупності та вибірки великі, то для визначення граничної помилки використаємо формулу:

∆_w = = ,

де t – квантиль розподілу береться з таблиць нормального розподілу й для імовірності 0,954 t = 2;

p – частка неповнолітніх злочинців у вибірці;

q – частка повнолітніх злочинців у вибірці;

n – обсяг вибірки.

Оскільки сумарна кількість неповнолітніх та повнолітніх злочинців дорівнює обсягу вибірки, то q = 1 – p, тоді: q = 1 – 0,215 = 0,785.

Тоді довірчий інтервал:

= 0,1.

Довірчий інтервал записується у вигляді: р = 0,215 0,1 або 0,115 р0,315.

Таким чином, з імовірністю 0,954 можна стверджувати, що частка неповнолітніх злочинців становить 0,215, а довірчий інтервал – р = 0,215 0,1 або 0,115р0,315, тобто у загальній сукупності із 650 злочинців частка неповнолітніх злочинців може коливатися в межах від 11,5 до 31,5 %.

Приклад 4

Визначити оптимальний обсяг вибірки для повторного механічного відбору з імовірністю 0,954 за умови, що вік працюючих у генеральній сукупності коливається від 16 до 62 років, а гранична помилка середнього віку працюючих не повинна перевищувати 2 роки.

Розв’язання

Оптимальний обсяг вибірки для повторного механічного відбору обчислюється за формулою:

,

де t – квантиль розподілу береться з таблиць нормального розподілу й для імовірності 0,954 t = 2;

–дисперсія генеральної сукупності;

 – гранична помилка.

Оскільки дисперсія генеральної сукупності невідома й відсутні дані щодо аналогічних досліджень, то для визначення дисперсії скористаємося правилом трьох сигм, тобто:

.

Тоді: = 1 / 6 (62 – 16) = 7,7.

Тоді оптимальний обсяг вибірки становитиме: n = 2 ² × 7,7 ² / 2 ² = 60.

Оскільки гранична помилка не повинна перевищувати 2 роки, то обсяг вибірки округлюємо у більший бік незалежно від того, яка цифра стоїть після цілого числа.

Таким чином, можна зробити висновок – з імовірністю 0,954 можна стверджувати, що оптимальний обсяг вибірки має бути 60 одиниць.

Приклад 5

Визначити оптимальний обсяг вибірки для безповторного механічного відбору для визначення частки якісної продукції з імовірністю 0,954 за умови, що обсяг генеральної сукупності дорівнює 2740 виробів, а гранична помилка якісної продукції не повинна перевищувати 0,2.

Розв’язання

Оптимальний обсяг вибірки для повторного механічного відбору обчислюється за формулою:

,

де t – квантиль розподілу береться з таблиць нормального розподілу й для імовірності 0,954 t = 2;

N – обсяг генеральної сукупності;

–дисперсія генеральної сукупності;

 – гранична помилка.

Для частки (альтернативної ознаки), коли відсутня будь-яка інформація про структуру сукупності, вважають, що частка р = 0,5, отже:

= 0,5 × 0,5 = 0,25.

Тоді оптимальний обсяг вибірки:

= = 25.

Таким чином, можна зробити висновок – з імовірністю 0,954 можна стверджувати, що за таких умов оптимальний обсяг вибірки має бути 25 одиниць.