Нормальне рівняння прямої

Знак радикала вибирається із умови, що , де . Якщо ввести позначення:

то розглядуване рівняння  записується

.

Для знаходження відстані  точки  до прямої застосовується формула

.

Відстань від точки до прямої на площині.

Відстань від точки до прямої — дорівнює довжині перпендикуляра, опущеного з точки на пряму.

Якщо задане рівняння прямої Ax + By + C = 0, то відстань від точки M(M_x,M_y) до прямої можна знайти, використавши наступну формулу

d=	|A·Mx+ B·MyC|
	√A2+ B2

Відстань від точки до прямої в просторі.

Відстань від точки до прямої — дорівнює довжині перпендикуляра, опущеного з точки на пряму.

Якщо s ={m;n;p} - напрямний вектор прямої l, M₁(x₁, y₁, z₁) - точка що належить прямій, тоді відстань від точки M₀(x₀, y₀,z₀) до прямої lможна знайти, використовуючи формулу

d=	|M0M1×s|
	|s|

18. Рівняння площини, яка проходить через точку М0(х0, у0, z0)

перпендикулярно до вектора n (A, B,C).

Рівняння площини, що проходить через точку, перпендикулярно вектору нормалі

Щоб скласти рівняння площини, за координатами точки площини M(x₀, y₀, z₀) і вектора нормалі площини n = {A; B; C}

 можна використати наступну формулу.

A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) = 0

19. Рівняння площини у відрізках на осях.

Якщо площина перетинає осі OX, OY і OZ в точках з координатами (a, 0, 0), (0, b, 0) і 0, 0, с), то вона може бути знайдена, якщо використати формулу рівняння площини в відрізках

x	+	y	+	z	= 1
a		b		c

20. Нормальне рівняння площини. Відстань від точки до площини.

Нормальне рівняння площини

, де  – радіус-вектор довільної точки площини,  – одиничний вектор, що має напрям перпендикуляра, опущеного на площину із початку координат,  – кути, утворені згаданим перпендикуляром з осями координат ,  – довжина перпендикуляра.

В координатній формі рівняння  записується 

Відстань від точки до площини знаходять за формулою

21. Кут між двома площинами.

Двогранний кут між площинами дорівнює куту утвореному нормальними векторами цих площин.

Двогранний кут між площинами дорівнює куту утвореними прямими l₁ і l₂, що лежать в відповідних площинах і перпендикулярні лінії перетину площин.Якщо задані рівняння площин A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 і A₂x + B₂y + C₂z + D₂= 0, то кут між площинами можна знайти, використавши наступну формулу

cos α =	|A1·A2 + B1·B2 + C1·C2|
	(A12 + B12 + C12)1/2(A22 + B22 + C22)1/2

22. Параметричні рівняння прямої в просторі. Канонічні рівняння прямої в

просторі.

Канонічне рівняння прямої

 – називається канонічним рівнянням прямої, яка проходить через точку  паралельно до вектора , який називається напрямним.

Параметричні рівняння прямої

 — параметричні рівняння прямої, де параметр . Ці рівняння одержують із канонічного рівняння прямої.

23. Рівняння прямої в просторі, яка проходить через дві задані точки М1(х1,

у1, z1) і М2(х2, у2, z2).

Рівняння прямої, що проходить через дві різні точки в просторі

Якщо пряма, що проходить через дві точки A(x₁, y₁, z₁) і B(x₂, y₂, z₂), такі що x₁ ≠ x₂, y₁ ≠ y₂ і z₁ ≠ z₂ то рівняння прямої можна знайти, якщо використати наступну формулу

x -x1	=	y-y1	=	z -z1
x2 -x1		y2 -y1		z2 -z1

24. Умови паралельності і перпендикулярності прямих в просторі.

Умова паралельності прямих

або

Умова перпендикулярності прямих

 

або

 

25. Кут між прямою і площиною. Умови паралельності і перпендикулярності

прямої і площини.

Кут між прямою та площиною — це кут між прямою та її проекцією на цю площину

Формула обчислення кута між прямою та площиною

Якщо в просторі задані напрямний вектор прямої Ls = {l; m; n}і рівняння площини

Ax + By + Cz + D = 0,

то кут між цією прямою і площиною можна знайти використав формулу

sin φ=	| A · l + B ·m + C ·n |
	√A2 + B2 + C2 · √l2 +m2 +n2

26. Еліпс, його рівняння.

Еліпсом називають множину всіх точок площини, сума відстаней яких від двох даних точок цієї площини, які називаються фокусами, є величина стала і більша від відстані між фокусами.

27. Гіпербола, її рівняння.

Гіпербола — крива другого порядку з ексцентриситетом більшим за одиницю.

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид , где   – положительные действительные числа. 

28. Парабола, її рівняння.

Пара́бола (греч. παραβολή — приложение) — геометрическое место точек, равноудалённых от данной прямой(называемой директрисой параболы) и данной точки (называемой фокусом параболы).

29. Множина. Функції, послідовності, границя послідовності.

30. Границя функції. Основні теореми.

31. Похідна функції. Диференціал функції. Геометричний зміст похідної і

диференціалу.

Похідною функції y = f(x) у точці Х називають число, до якого прямує відношення

Диференціал в математиці — головна лінійна частина приросту функції або відображення

де dy/dx позначає похідну від y по змінній x. Ця формула підсумовує інтуїтивне твердження, що похідна y по змінній x це границя відношення приростів Δy/Δx де Δx прямує до нуля.

Геометричний зміст похідної: значення похідної функції y = f(x) у точці x₀ дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка функції в точці з абсцисою x₀: y' = f'(x₀) = k = tgα.

Геометричний зміст диференціала 

Нехай ,та існує. За означенням диференціала.

Скористаємося геометричним змістом похідної: . З трикутника маємо:або. Але, тому. Отже, диференціал функції в точцівизначає приріст ординати дотичної до кривої в точціпри переході від абсцисидо абсциси

32. Основні теореми диференціального числення.

Теорема Ферма

Нехай функція визначена на інтерваліі в деякій точцімає найбільше або найменше значення. Тоді якщо в точцііснує похідна, то вона дорівнює нулю, тобто.

Теорема Ролля

Якщо функція 

1) неперервна на відрізку ,

2) має рівні значення на кінцях цього відрізка,

3) диференційовна в усіх точках інтервалу ,

то в цьому інтервалі існує принаймні одна точка ,, в якій похідна функції дорівнює нулю

 

.

Теорема Лагранжа (теорема про скінченні прирости)

Якщо функція 

1) неперервна на відрізку ,

2) диференційовна в інтервалі ,

то в цьому інтервалі існує принаймні одна така точка ,, що має місце рівність:

 

.

Теорема Коші (Cauchy theorem) (про відношення приростів двох функцій)

Якщо функції і

1) неперервні на відрізку ,

2) диференційовані в інтервалі , причому,

то в цьому інтервалі існує точка ,така, що має місце рівність:

 

.                              

 Правила Лопіталя розкриття невизначеностей 

 

(І правило Лопіталя). Якщо:

1) функції ідиференційовні на інтервалі,для всіх;

2) ;

3) існує скінченна або нескінченна границя ,

то існує границя , причому має місце рівність:

 

. 

33. Обчислення границь за правилом Лопіталя.

Правила Лопіталя розкриття невизначеностей 

 

(І правило Лопіталя). Якщо:

1) функції ідиференційовні на інтервалі,для всіх;

2) ;

3) існує скінченна або нескінченна границя ,

то існує границя , причому має місце рівність:

 

. 

34. Формули Тейлора і Маклорена.

Полученное выражение называется формулой Маклорена для многочлена степени .

Это выражение называется формулой Тейлора для многочлена в окрестности точки .

35. Область визначення функції. Неперервність функції. Точки розриву 1-го

та 2-го роду.

Область визначення - множина допустимих значень аргументу функції. Позначатиметься як D(y), якщо вказується область визначення функції y=f(x).

Якщо задана: числова множина та правило , що дозволяє поставити у відповідність кожному елементу з множини певне число, то говорять, що задана функція з областю визначення .

Тобто, визначення області значень є необхідна умова для визначення функції.

Функція називаєтьсянеперервною в точці (continuous function at point), якщо:

1) вона визначена в цій точці і в деякому її околі;

2) нескінченно малому приростові аргументу відповідає нескінченно малий приріст функції:

 

, або 

Функція називаєтьсянеперервною в точці , якщо вона має в цій точці границю, яка дорівнює значенню функції в точці, тобто

. 

Точка х₀ називається точкою розриву першого роду функції у = f(x), якщо існують скінчені односторонні границі справа    та зліва

Точка х0 називається точкою розриву другого роду функції у= f(x), якщо границя справа або зліва не існує або нескінченна.

36. Асимптоти функції.